小升初典型奥数：环形路线问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

环形路线问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 第二部分 典型例题 例题1：小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看作追及问题来解答．第一次相遇时，小李比小张多跑一圈400米，即追及路程，所以用400除以它们的速度差就是追及时间． 【解答】解：400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） （分钟） 答：出发后经过分钟两人第一次相遇． 【点评】此题属于较复杂的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”列式；关键是明确第一次相遇时，小李比小张多跑一圈的距离． 例题2：小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】小红的爸爸妈妈同时从起点出发，到他们第一次在起点相遇的时间，是他们各自跑一圈所用时间6分钟和8分钟的最小公倍数。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是： 2×2×2×3＝24 答：他俩24分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】在起点处相遇，就是爸爸用若个8分和妈妈用若干个6分相好相等，从出发到第一次在起点处相遇的时间就是6分和8分的最小公倍数。 例题3：小明和小华沿着环湖跑道散步，他们从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是80米/分，小华的速度是90米/分，18分钟后两人相距80米。这条跑道长多少米？（两人均未走完一整圈） 【答案】3140米。 【分析】两人均未走完一整圈，说明两人还没相遇，那么他们走的路程和加上相距的80米就是跑道的长度。根据“路程＝速度×时间”，先分别求出他们两人所走的路程，再加上两人相距的80米，由此解答。 【解答】解：80×18+90×18 ＝（80+90）×18 ＝3060（米） 3060+80＝3140（米） 答：这条跑道长3140米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 例题4：甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可求解； （2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地的路程，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有 3x+150＝200×3， 3x+150＝600 3x＝450 x＝150 150+200＝350（米） 答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米． （2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2 ＝（600﹣360）÷1.2 ＝240÷1.2 ＝200（米）， 200﹣150＝50（米）． 答：乙的速度至少要提高每分钟50米． 【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度． 第三部分 高频真题 1．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 2．某地有一圈环湖栈道。晓军跑一圈需要6分钟，爸爸走一圈需要40分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后晓军超出爸爸一整圈？ 3．李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 4．小欧和爸爸去操场上散步。小欧走一圈要8分钟，爸爸走一圈需要10分钟。如果两人同时从同一个地方出发，背向而行，相遇时他们都走了多少分钟？ 5．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 6．假期里，慧慧和妈妈每天都在环湖路上跑步锻炼身体。环湖路长840米，妈妈每分跑110米，慧慧每分跑130米。 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么经过几分两个人相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，那么几分后慧慧超过妈妈一整圈？ 7．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 8．小乐和妈妈在小区里的一条环形小路上跑步锻炼。他们同时从同一地点出发，同向而行，小乐的速度是3米/秒，妈妈的速度是2米/秒，经过2分钟，小乐第一次追上了妈妈。这条环形小路长多少米？ 9．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？ 10．一个环形跑道长360m，淘淘、壮壮、龙一鸣三人从同一地点同时同方向骑车而行．淘淘每秒行3m，壮壮每秒行4m，龙一鸣每秒行2m．至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 11．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？ 12．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 13．甲、乙两人在周长250米的环形跑道上的同一点同时同向出发沿跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，那么从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是多少秒？ 14．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？ 15．小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米。 （1）如果她们从400米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？ （2）如果她们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小婷比小颖整整多跑1圈？ 16．小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点朝同一方向出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？ 17．小明和小红两人同时从同一地点出发，沿着400米的环形跑道同方向跑步，小明每分钟90米，小红每分钟110米，经过多少分钟小明和小红第一次相遇？ 18．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？ 19．甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿A﹣B﹣C﹣D﹣A的方向行走．甲的速度每分钟50米，乙的速度是每分钟46米．则甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 20．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 21．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？ 22．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 23．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 24．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 25．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）百家湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？ 26．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？ 27．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 28．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 29．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？ 30．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 31．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 32．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 33．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分．经过多少分钟甲第一次追上乙？ 34．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 35．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 36．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 37．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 38．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？ 39．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 40．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？ 41．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 42．王刚与李明在600米的环形操场上跑步．两人同时出发，反向而行．王刚每秒跑7米，李明每秒跑8米．多少秒后两人相遇？ 43．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？ 44．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 45．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘了带计时表，立刻骑上自行车给小明送表，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练给小明送表至少需要多少小时？ 46．李叔叔和王叔叔在操场的环形跑道上快走，两人从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔的速度是4米/秒，王叔叔的速度是3米/秒，50秒后两人第一次相遇，环形跑道长多少米？ 47．如图，公园步道长3000米，小明和小军从步道上一点出发，同时向相反方向跑步。小明每分钟跑155米，小军每分钟跑145米。多长时间后两人第一次相遇？ 参考答案与试题解析 1．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 【答案】300米。 【分析】直接根据数量关系式：路程＝速度和×相遇的时间，列式解答即可。 【解答】解：（4+6）×30 ＝10×30 ＝300（米） 答：跑道的周长是300米。 【点评】此题主要考查速度、时间、路程三者之间的关系解决实际问题。 2．某地有一圈环湖栈道。晓军跑一圈需要6分钟，爸爸走一圈需要40分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后晓军超出爸爸一整圈？ 【答案】（1）分钟； （2）分钟。 【分析】（1）将栈道的总长看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出两人的速度，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入求解即可； （2）根据追及时间＝追及距离÷速度差，列式计算即可。 【解答】解：（1）将栈道的总长看作单位“1”， 晓军的速度为：1÷6， 爸爸的速度为：1÷40， 相遇时间： 1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟后相遇。 （2）1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟后晓军超出爸爸一整圈。 【点评】本题主要考查了环形跑道，区分开要求问题是相遇问题还是追及问题，是本题解题的关键。 3．李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 【答案】（1）3120米；（2）432米。 【分析】（1）用李明和王冬的速度和乘二人走的时间，即可求出这个圆形场地的周长； （2）先用李明2分钟走的路程除以二人的速度差，求出王冬追上李明用的时间；再用王冬的速度乘王冬追上李明用的时间，求出王冬追上李明时走的路程；最后用李明20分钟走的路程减去王冬追上李明时走的路程，即可求出当王冬追上李明的时候距离A点的米数。 【解答】解：（1）（72+84）×20 ＝156×20 ＝3120（米） 答：这个圆形场地的周长是3120米。 （2）72×2÷（84﹣72） ＝144÷12 ＝12（分钟） 72×20﹣84×12 ＝1440﹣1008 ＝432（米） 答：到他追上李明的时候，距离A点432米。 【点评】解答本题需熟练掌握相遇问题和追及问题的解答方法，明确相遇问题公式“路程＝速度和×时间”及追及问题公式“追及距离÷速度差＝时间”，灵活解答。 4．小欧和爸爸去操场上散步。小欧走一圈要8分钟，爸爸走一圈需要10分钟。如果两人同时从同一个地方出发，背向而行，相遇时他们都走了多少分钟？ 【答案】分钟。 【分析】在操场背向而行第一次相遇，就是说两人行驶的路程和是操场的长度，把操场的长度看作单位“1”，先表示出两人的速度，再求出两人的速度和，最后根据“时间＝路程÷速度”即可解答。 【解答】解：1÷（） ＝1 （分钟） 答：相遇时他们都走了分钟。 【点评】解答本题的关键是明确：两人行驶的路程和是操场的长度，解答依据是等量关系式：时间＝路程÷速度。 5．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即7：9；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的（），然后根据分数除法的意义解答即可． 【解答】解：50÷（） ＝50 ＝400（米） 答：学校环形跑道的周长是400米． 【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可． 6．假期里，慧慧和妈妈每天都在环湖路上跑步锻炼身体。环湖路长840米，妈妈每分跑110米，慧慧每分跑130米。 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么经过几分两个人相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，那么几分后慧慧超过妈妈一整圈？ 【答案】（1）3.5分钟；（2）42分钟。 【分析】（1）根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答即可． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，慧慧超出妈妈一整圈正好是840米，根据追及时间＝路程÷速度差，据此列式解答。 【解答】解：（1）840÷（110+130） ＝840÷240 ＝3.5（分钟） 答：经过3.5分两个人相遇。 （2）840÷（130﹣110） ＝840÷20 ＝42（分钟） 答：42分钟后慧慧超出妈妈一整圈。 【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，以及环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同。 7．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么相遇的时候正好行了环湖路一圈的长度，然后除以两个人的速度和就是相遇时间． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，依依超出妈妈一整圈正好是840米，然后除以以两个人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）840÷（108+92） ＝840÷200 ＝4.2（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2分钟后相遇． （2）840÷（108﹣92） ＝840÷16 ＝52.5（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5分钟后依依超出妈妈一整圈． 【点评】此题主要考查了环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同． 8．小乐和妈妈在小区里的一条环形小路上跑步锻炼。他们同时从同一地点出发，同向而行，小乐的速度是3米/秒，妈妈的速度是2米/秒，经过2分钟，小乐第一次追上了妈妈。这条环形小路长多少米？ 【答案】120米。 【分析】小乐追上妈妈，要比妈妈多行一圈，用速度差乘追及时间就是追及距离，即这条环形小路的长度。据此解答。 【解答】解：2分钟＝120秒 （3﹣2）×120 ＝1×120 ＝120（米） 答：这条环形小路长120米。 【点评】熟练掌握追及路程、追及时间、追及速度三者之间的关系是解决此题的关键。 9．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？ 【答案】6次。 【分析】先用往返一次的路程除以每步的米数求出各自的步数，再根据狗跑2步等于兔子跑3步，再把狗跑的步数转化为兔子跑的步数，然后进一步解答即可。 【解答】解：兔子跑一个往返需要： 50×2÷1＝100（步） 狗跑一个往返需要： 50×2÷1.5≈67（步） 狗跑的步数相当于兔子跑了： 67÷2×3≈101（步） 因此兔子折返1次领先： 101﹣100＝1（步） 6÷1＝6（次） 答：兔子折返6次后刚好比狗快6米。 【点评】此题解答的关键是求出狗和兔子跑一个来回需要的步数。 10．一个环形跑道长360m，淘淘、壮壮、龙一鸣三人从同一地点同时同方向骑车而行．淘淘每秒行3m，壮壮每秒行4m，龙一鸣每秒行2m．至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程÷速度＝时间这一关系式，先求得淘淘、壮壮、龙一鸣三人骑车1圈所用的时间分别是多少；求至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发；就相当于求他们骑车1圈所用的时间的最小公倍数，然后分解因数解答即可． 【解答】解：360÷3＝120（秒） 360÷4＝90（秒） 360÷2＝180（秒） 120＝30×2×2 90＝30×3 180＝30×2×3 120，90和180的最小公倍数是：30×2×2×3＝360 360秒＝6分钟 答：至少经过6分钟，三人再次从原出发点同时出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用；关键是求出三人骑车1圈所用的时间分别是多少． 11．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？ 【答案】200秒。 【分析】已知甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，则乙同学第一次追上甲同学时，乙同学比甲同学多跑了1圈，即乙同学比甲同学多跑了400米，根据相遇时间＝路程差÷速度差，即可求出。 【解答】解：400÷（7﹣5）＝200（秒） 答：经过200秒乙同学第一次追上甲。 【点评】本题的关键是当乙同学第一次追上甲时，乙同学比甲同学多跑了一圈。 12．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇． 【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2） ＝900÷100 ＝9（分钟） 答：9分钟后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差． 13．甲、乙两人在周长250米的环形跑道上的同一点同时同向出发沿跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，那么从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是多少秒？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在起点相遇一次，两人第8次相遇，则甲跑5×8＝40圈，乙正好跑3×8＝24圈，先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘以其跑的圈数，然后解答即可． 【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈， （250÷5）×（5×8） ＝50×40 ＝2000（秒） 答：从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是2000秒． 【点评】此题属于复杂的追及应用题，解答此题的关键是根据速度比是5：3，所以甲5圈，乙正好3圈，两人就在起点相遇一次，求出8次甲或乙跑的圈数，进一步解答即可． 14．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先用李军的速度加上王亮的速度，求出两人的速度之和是多少；然后用它乘两人相遇用的时间，然后再加上40米，即可求出水库四周的道路长多少米． 【解答】解：（225+215）×18+40 ＝440×18+40 ＝7920+40 ＝7960（米） 答：水库四周的道路长7960米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之和是多少． 15．小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米。 （1）如果她们从400米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？ （2）如果她们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小婷比小颖整整多跑1圈？ 【答案】（1）40秒；（2）200秒。 【分析】（1）小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米，先求出两人的速度和，再依据“时间＝路程÷速度”即可解答。 （2）根据题意可知，两人速度差为每秒2米，路程差为400米，根据关系式：路程差÷速度差＝追及时间，解决问题。 【解答】解：（1）400÷（6+4） ＝400÷10 ＝40（秒） 答：40秒后两人相遇。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小婷比小颖整整多跑1圈。 【点评】本题主要考查学生依据速度、时间以及路程之间数量关系解决问题的能力。 16．小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点朝同一方向出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？ 【答案】12分钟。 【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，小刚回到起点用的时间是6分钟的整数倍，则第一次同时回到起点就是6和4的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：6＝2×3 4＝2×2 所以6和4的最小公倍数是：2×3×2＝12（分钟） 答：至少经过12分钟又能在起点相遇。 【点评】灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。 17．小明和小红两人同时从同一地点出发，沿着400米的环形跑道同方向跑步，小明每分钟90米，小红每分钟110米，经过多少分钟小明和小红第一次相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人同向，两人第一次相遇就是小红第一次追上小明需要的时间，用一圈的长度除以他们的速度差，就是经过多少分钟小明和小红第一次相遇． 【解答】解：400÷（110﹣90） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：经过20分钟小明和小红第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道的追及问题，根据路程差（一周的长度）÷速度差＝追及时间进行求解即可． 18．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？ 【答案】AD。 【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，两次相遇所走的路程比就是速度比，甲的速度是乙的速度的3倍，甲走过的路程也就是乙走过路程的3倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，乙走了个边长，即在CD中点相遇，从第二次相遇开始，两点两次相遇间走过的路程和是正方形4个边长，甲走3个边长，乙走1个边长，第二次相遇在AD中点，第三次相遇在AB中点，第四次相遇在BC中点，第五次相遇在CD中点，和第一次相遇地点相同，所以，每4组为一个循环，计算2018除以4的余数，便可知道第2018次相遇在哪边。 【解答】解：设正方形边长为a， 因为甲的速度是乙的速度的3倍， 所以时间相同，甲、乙的路程比为3：1， 第一次相遇，两点路程和为2a，则甲走了a，乙走了a，相遇地点为CD中点； 第二次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AD中点； 第三次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AB中点； 第四次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为BC中点； 第五次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为CD中点； …… 可以发现，每四次循环一次， 2018÷4＝504……2 所以，第2018次相遇地点和第二次的相同，即AD中点。 答：它们第2018次相遇在AD边上。 【点评】本题主要考查了环形跑道多次相遇问题，根据速度比得出两点的路程比，结合正方形四边相等的特性，得出前几次相遇的地点，发现变化规律，是本题解题的关键。 19．甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿A﹣B﹣C﹣D﹣A的方向行走．甲的速度每分钟50米，乙的速度是每分钟46米．则甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要使两人在同一边行走，甲乙两人相距距离必须要小于一条边的长度．水池边长：1600÷4＝400米，甲追上乙需要的时间：400÷（50﹣46）＝100分钟，此时甲行了50×100＝5000米，共走了5000÷400＝12条…200米，所以出发之后还要行走200÷50＝4分钟，共计走了100+4＝104分钟；此时甲乙两个人相距400×2﹣104×（50﹣46）＝384米，乙还剩400﹣384＝16米，所以第一次在同一条边上走了16÷46分钟． 【解答】解：1600÷4＝400（米） 400÷（50﹣46）＝100（分钟） 50×100＝5000（米） 5000÷400＝12（条）…200（米） 200÷50＝4（分钟） 100+4＝104（分钟） 故甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟． 400×2﹣104×（50﹣46） ＝800﹣416 ＝384（米） 400﹣384＝16（米） 16÷46（分钟） 答：甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的104分钟，第一次在同一边上行走了分钟． 【点评】本题考查环形跑道问题，要理解整个行走过程，理解在一条边上行走的条件． 20．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米； （2）31400平方米。 【分析】（1）根据明明和亮亮从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，相遇时两人走的路程就是圆的周长，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米，用速度和乘4分钟，计算即可得到圆形场地的周长，然后根据圆的周长＝πd，用圆的周长÷3.14即可得到这个圆形场地的直径是多少米； （2）根据圆的面积＝πr2和r＝d÷2，代入数据计算即可得到这个圆形场地的面积。 【解答】解：（1）（73+84）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【点评】解决本题关键是明确两人走的路程和就是圆的周长，再根据圆的周长和圆的面积公式进行解答即可。 21．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？ 【答案】30分钟。 【分析】由于每相遇一次，快者都比慢者多行300米，则甲乙每次相遇时间是：300÷（120﹣100）＝15分钟，甲丙每相遇一次需要300÷（120﹣70）＝6分钟，乙丙每相遇一次需要300÷（100﹣70）＝10分钟，则他们同时相遇需要的时间应是6、10、15的公倍数。6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。 【解答】解：300÷（120﹣100） ＝300÷20 ＝15（分钟） 300÷（120﹣70） ＝300÷50， ＝6（分钟） 300÷（100﹣70） ＝300÷30 ＝10（分钟） 6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。 答：至少30分钟后，三人又可相聚。 【点评】首先根据路程差÷速度差＝追及时间分别求出三人相遇一次需要的时间是完成本题的关键。 22．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即300米，所以两人相遇所用时间是300÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了300÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米． 【解答】解：300÷（5﹣4.4）×4.4 ＝300÷0.6×4.4 ＝2200（米）， 2200÷300＝7（圈）…100（米） 答：两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米． 【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第一次相遇所需时间是完成本题的关键． 23．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 【答案】（1）； （2）20。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追击时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝20（分钟） 答：20分钟后小明超出老师一整圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 24．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 【答案】62.8米。 【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。 【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42） ＝157÷31.4×12.56 ＝5×12.56 ＝10×6.28 ＝62.8（米） 答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。 【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。 25．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）百家湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？ 【答案】（1）8500米；（2）20分钟。 【分析】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间。 （2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。 【解答】解：（1）（160+180）×25 ＝340×25 ＝8500（米） 答：百家湖跑道全长8500米。 （2）400÷（180﹣160） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：如果相遇后改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。 【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。 26．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲乙两人第一次相遇．甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD，因此，这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍，据此解答即可． 【解答】解：A与D之间的距离为：60×2＝120（千米）， 甲行第二次相遇时，甲行的路程为：60×3＝180（千米）， B、D之间的距离为：（180﹣120）÷2＝30（千米）， 从A地到B地的全程是：30+120＝150（千米）， 答：从A地到B地的全程是150千米． 【点评】本题主要考查了行程问题中的路程、速度与时间的关系，解答本题的关键是理清二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍以及A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍． 27．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 【答案】20秒。 【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。 【解答】解：200÷（5.2+4.8） ＝200÷10 ＝20（秒） 答：经过20秒两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。 28．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发． 【解答】解：240×2＝480（米） 480÷4＝120（秒）， 480÷5＝96（秒）， 480÷3＝160（秒）， 120、96、160的最小倍数是480； 答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用． 29．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？ 【答案】不能相遇。 【分析】本题中两人如果能相遇时，两个人的总路程等于环形跑道的长度；小敏的速度加上妈妈的速度得到两人一分钟行走的路程，再乘行走的时间，求出两人的总路程，然后与环形跑道的长度比较即可。 【解答】解：（65+75）×8 ＝140×8 ＝1120（米） 1120米＜1260米 答：8分钟后她们两人不能相遇。 【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。 30．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】求出6和8的最小公倍数，即可求出她们可以在该起点第一次相遇的时间。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数24，所以24分钟相遇她们可以在该起点第一次相遇。 答：至少24分钟后她们可以在该起点第一次相遇。 【点评】解答本题的关键是求出6和8的最小公倍数。 31．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两人同时同地出发反向跑步，两人在第一次相遇时，由于小强的速度比小明的速度快，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方；据此画图即可； （2）在环形跑道上同时同地同向而行，当小明第一次遇时，也就是小明和小强共跑一圈，先求出两人的速度和，再依据时间×速度＝路程列方程即可解答． 【解答】解：（1）150＞130，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方； （2）设x分钟后两人第一次相遇， （150+130）x＝5600 280 x＝5600 x＝20 答：20分钟后两人第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据“路程÷速度和＝相遇时间”解决问题． 32．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 【答案】20分钟。 【分析】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。 【解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5） ＝1 ＝20（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。 【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。 33．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分．经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑1圈，即600米，根据路程差÷速度差＝追及时间，列式为：600÷（270﹣240）． 【解答】解：600÷（270﹣240） ＝600÷30 ＝20（分钟） 答：经过20分钟甲第一次追上乙． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是理解同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙，那么甲比乙多跑1圈就是路程差是环形跑道的周长． 34．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看作相遇问题来解答．第一次相遇时，他俩跑过的路程和是环形跑道一圈的长度，即400米，所以根据速度和＝路程÷相遇时间求出速度和，再减去小丽的速度即可． 【解答】解：400÷40﹣4.5 ＝10﹣4.5 ＝5.5（米/秒） 答：小华每秒跑5.5米． 【点评】此题属于环形跑道上的相遇问题，考查了“路程÷相遇时间＝速度和”这一知识的灵活应用． 35．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【答案】7。 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。 【解答】解：400÷24（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒。 x+x+2 2x+2 2x x＝7 答：甲原来的速度是7米/秒。 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。 36．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）分钟；（2）40分钟。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）小明超出爷爷一整圈，即400米，把400米看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（1÷8+1÷10） ＝1 （分钟） 答：相背而行，分钟后相遇。 （2）1÷（1÷8﹣1÷10） ＝1 ＝40（分钟） 答：相向而行，40分钟后小明超出爷爷整整一圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 37．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设最慢的速度为x千米/分钟，则最快的速度为1.2x千米/分钟．速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，说明35分钟速度最快的运动员比速度最慢的运动员多行7千米．根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员35分钟行的距离，根据此路程之差等于7千克即可列方程求出速度最慢的运动员的速度． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最快运动员的速度是1.2千米/分钟．设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米，根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员所行的路程，据此即可列方程解答． 【解答】解：（1）设最慢的运动员的速度为x千米/分钟，则最快的运动员的速度为1.2x千米/分钟 1.2x×35﹣x×35＝7 35×（1.2x﹣x）＝7 35×0.2x＝7 35×0.2x÷35＝7÷35 0.2x＝0.2 0.2x÷0.2＝0.2÷0.2 x＝1 答：最慢运动员的速度是1千米/分钟． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最块运员的速度是1.2千米/分钟 设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米 1.2y﹣y＝1 0.2y＝1 0.2y÷0.2＝1÷0.2 y＝5 35+5＝40（分钟） 答：经过40分钟，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米． 【点评】关键明白，第一次相遇时，快者比慢者多行1周，即7千米；第二次相距1千米时，快者比慢者多行了2千米．根据路程、速度、时间三者之间的关系即可列方程解答． 38．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？ 【答案】990米。 【分析】两人同时从同一地点出发，反向而行．李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，每秒两人共跑5+6＝11（米），然后根据速度×时间＝路程解答即可。 【解答】解：（5+6）×90 ＝11×90 ＝990（米） 答：天鹅湖的周长是990米。 【点评】本题考查了行程问题，根据总路程＝速度和×相遇时间进行解答即可。 39．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 40．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？ 【答案】4分钟。 【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在P点相遇一次，然后先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘其跑的圈数即可。 【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈， 250÷5×5＝250（秒） 250秒＝4（分钟） 答：从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是4分钟。 【点评】此题属于复杂的环形跑道问题，解答此题的关键是明确圈数比和速度比的关系。 41．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可． 【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟 1÷（） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇． 【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答． 42．王刚与李明在600米的环形操场上跑步．两人同时出发，反向而行．王刚每秒跑7米，李明每秒跑8米．多少秒后两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人反向而行，求相遇时间，就用总路程除以速度和，先把两人的速度相加，求出速度和，再用总路程除以速度和即可求解． 【解答】解：600÷（7+8） ＝600÷15 ＝40（秒） 答：40秒后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道的相遇问题，相遇时间＝总路程÷速度和． 43．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为两人是反向跑步，第二次相遇就是两人共跑了2圈，每一圈用时100÷2＝50秒，然后根据“速度和×相遇时间＝路程”列式可求出跑道长（5+3）×50＝400（米）． 【解答】解：（5+3）×（100÷2） ＝8×50 ＝400（米） 答：跑道长400米． 【点评】此题属于相遇问题，考查了“速度和×相遇时间＝路程”这一知识．关键是求出一次相遇时间． 44．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 【答案】6分钟。 【分析】由已知条件可知，二人第一次相遇时，乙比甲多跑一周，即600米，又知乙每分钟比甲多跑（400﹣300）米，即可求第一次相遇时经过的时间。 【解答】解：600÷（400﹣300） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：经过6分钟两人第一次相遇。 【点评】明确当两人第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周是完成本题的关键。 45．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘了带计时表，立刻骑上自行车给小明送表，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练给小明送表至少需要多少小时？ 【答案】0.5小时。 【分析】分两种情况讨论，如两人同向行驶，是追及问题，则利用路程差除以速度差等于追击时间；如两人相向行驶，是相遇问题，则路程和除以速度和等于相遇时间，再比较即可。 【解答】解：同向而行时，需要： 15×1÷（25﹣15） ＝15÷10 ＝1.5（小时） 相向而行时，需要： （35﹣15×1）÷（15+25） ＝（35﹣15）÷40 ＝20÷40＝0.5（小时）0.5＜1.5答：教练给小明送表至少需要0.5小时。 【点评】解题关键是环形跑道上，教练追上小明有两种走法：一是同向而行；二是相向而行；分别算出所用时间对比即可得解。 46．李叔叔和王叔叔在操场的环形跑道上快走，两人从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔的速度是4米/秒，王叔叔的速度是3米/秒，50秒后两人第一次相遇，环形跑道长多少米？ 【答案】350米。 【分析】由题意可知，两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度；根据“路程＝速度×时间”，用二人的速度和乘50，即可求出环形跑道的长。 【解答】解：（4+3）×50 ＝7×50 ＝350（米） 答：环形跑道长350米。 【点评】解答本题需熟练掌握路程、速度和时间之间的关系。 47．如图，公园步道长3000米，小明和小军从步道上一点出发，同时向相反方向跑步。小明每分钟跑155米，小军每分钟跑145米。多长时间后两人第一次相遇？ 【答案】10分钟。 【分析】两人第一次相遇，共行了3000米，然后除以速度和即可。 【解答】解：3000÷（155+145） ＝3000÷300 ＝10（分钟） 答：10分钟后两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确：路程÷速度和＝相遇时间。 学科网（北京）股份有限公司 $$