精品解析：北师大版2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

九年级（下）数学 期中复习卷 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会开幕，习近平代表第十九届中央委员会向党的二十大作报告，报告中提到，十年来，我国人均国内生产总值从三万九千八百元增加到八万一千元，八万一千用科学记数法可以表示为（　　） A B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 为调查某班学生每天使用零花钱情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ） A. 20、15 B. 20、17.5 C. 20、20 D. 15、15 6. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 8. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 10. 如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. π C. π D. 2π 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 写出一个在1到3之间的无理数：_________． 12. 一个圆锥底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为________． 13. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 14. 如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为___________． 15. 如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则 __________． 16. 如图，在中，点是边上一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为______，的值为______． 三、解答题（本大题有8小题，17~19题每题8分，20~22题每题10分，23题12分，24题14分，共80分） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 18. 如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，以点A，B为顶点画一个等腰三角形，其中点C在格点上． （2）在图2中，以点为边画一个平行四边形，其中点D，E在格点上． 19. 为提倡节约用水，自来水公司实行民用水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查共抽取______户用户的用水量数据，扇形统计图中“吨”部分的圆心角为______度． （2）补全频数直方图． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，请估计该地区150万用户中享受基本价格的用户数． 20. 如图1，半径为的内接一个正十边形，是其中一条边． （1）用和含的三角函数的式子表示边长. （2）如图2，作的平分线与半径交于点，试猜想（1）中的三角函数和黄金比有怎样的关系，并说明理由． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长． 22. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)．与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一点． ①当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； ②若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围． 24. 某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”． （1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝　 　，BC＝　 　；如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝　 　，BC＝　 　； （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． （3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（下）数学 期中复习卷 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会开幕，习近平代表第十九届中央委员会向党的二十大作报告，报告中提到，十年来，我国人均国内生产总值从三万九千八百元增加到八万一千元，八万一千用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用科学记数法的形式表示即可． 【详解】解：八万一千． 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A．不等式两边都减2，不等号的方向不改变，故该选项不符合题意； B．不等式两边都乘−，不等号的方向改变，故该选项符合题意； C．∵a≤b， ∴−a≥−b， ∴−a＋1≥−b＋1，故该选项不符合题意； D．∵a≤b， ∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 5. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ） A. 20、15 B. 20、17.5 C. 20、20 D. 15、15 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据. 【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元; 30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元. 故选B. 【点睛】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错 6. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长． 【详解】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点． ∵AB=CD=8， ∴BM=DN=4， 由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3， ∵AB，CD是互相垂直的两条弦， ∴∠DPB=90° ∵，， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是正方形， ∴OP==， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 7. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 【答案】D 【解析】 【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】解：由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故A选项正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ， ∴∠MCD=， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故C选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点． 8. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质．直接利用关于轴对称点的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得出答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为：． 故选：A． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论． 【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误； B、矩形的对角线相等，故错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确， 故选D． 【点睛】熟练掌握特殊平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形． 10. 如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. π C. π D. 2π 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC， ∴AB=OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB= 故选A． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 写出一个在1到3之间的无理数：_________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解． 【详解】解：1和3之间的无理数如． 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分． 12. 一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，扇形的面积，圆的周长，先求出圆锥的底面周长，再根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，进而求出扇形的面积，即可得出答案． 【详解】∵圆锥的底面半径是8cm， ∴圆锥的底面周长为， ∴， 解得． 可知扇形的半径为，扇形的圆心角为， ∴， 所以此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 13. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是，即， 故答案为：． 14. 如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义．过点作轴于，过点作轴于，根据反比例函数比例系数的几何意义得，再由，得，证相似得，则，可设，，再证和相似得，则，由此可得的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， ， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即：， 轴， ∴， ， ， ， 轴， ∴， ， ， 即， ， ， 可设，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 15. 如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则 __________． 【答案】4 【解析】 【分析】设交于点，作于点，作于点，根据平行线的判定和性质得出，根据折叠得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，根据三角形内心的定义得出，，根据矩形的性质得出，，求得，，等量代换得出，结合平行线的性质得出，根据等腰直角三角形的定义得出，根据等边对等角得出，推得，，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等得出，结合三角形的外角性质得出，根据正切的定义的得出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设交于点，作于点，作于点，则，如图： ∴， ∴， 根据折叠可得， ∵，， ∴，， ∵点为的内心， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内心的定义，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正切的定义等．正确地作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 16. 如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为______，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出，进而得出，延长交的延长线于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据，证明，求得，进而勾股定理求得，，根据得出，进而勾股定理求得，根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵将沿翻折得， ∴，,， 设 ∵恰好平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴； 如图所示，延长交的延长线于点，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在中， ∴ 解得： 则， 在中， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，17~19题每题8分，20~22题每题10分，23题12分，24题14分，共80分） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解一元一次不等式组； （1）根据实数混合运算的法则计算即可； （2）根据求不等式组解集的法则计算即可； 熟知实数混合运算的法则和求不等式组解集的法则是关键． 【详解】解：（1） （2）； 解得： 解得： ∴不等式组的解集为：． 18. 如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，点A，B均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，以点A，B为顶点画一个等腰三角形，其中点C在格点上． （2）在图2中，以点为边画一个平行四边形，其中点D，E在格点上． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作等腰三角形与平行四边形，涉及等腰三角形的判定与平行四边形的判定，熟记等腰三角形与平行四边形的判定是画图的关键； （1）由等边三角形的性质取格点C，可得，则即为所画的三角形； （2）取格点D，E，由等边三角形的性质可得，，可得四边形即为所画的平行四边形． 【小问1详解】 解：如图，即为所画的等腰三角形； 【小问2详解】 如图，四边形即为所画平行四边形； 19. 为提倡节约用水，自来水公司实行民用水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查共抽取______户用户的用水量数据，扇形统计图中“吨”部分的圆心角为______度． （2）补全频数直方图． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，请估计该地区150万用户中享受基本价格的用户数． 【答案】（1）100； （2）见解析 （3）万 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体； （1）根据统计图可知“10吨吨”的用户10户占，从而可以求得此次调查抽取的户数；求出“吨”部分用户所占百分比即可求得圆心角度数； （2）根据统计图的信息求出“15吨吨”部分用户人数，然后补全图形即可； （3）先求出样本中享受基本价格的用户数，然后用样本估计总体即可． 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【小问1详解】 解：由统计图可得， （户） 即此次调查抽取了100户的用水量数据； 扇形统计图中“吨”部分的圆心角为： 故答案为：100； 【小问2详解】 （吨） 如图，频数直方图如下： 【小问3详解】 由题意可得， （万人） 即该地区150万用户中享受基本价格的用户数有万． 20. 如图1，半径为的内接一个正十边形，是其中一条边． （1）用和含的三角函数的式子表示边长. （2）如图2，作的平分线与半径交于点，试猜想（1）中的三角函数和黄金比有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）为黄金比的一半，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过作于，得到，且为等腰三角形，所以得到，，根据三角函数计算即可； （2）由是的角平分线，得到，，证得，即，进而得到，得，即，得到，于是，根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 解：过作于， 由正十边形内接于圆，所以得到， 又， 所以，， 在中，， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知： ，， 是的角平分线， ， ，， ， 所以， 是等腰三角形， 也是等腰三角形， ， 在中，， 所以， 所以得到， 即， ， 由（1）可知：， ， 即为黄金比的一半． 【点睛】本题目考查了正多边形与圆的关系，相似三角形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是能够从图中找到相应的相似三角线及相关的比例线段． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 分析】（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，从而得出结论； （2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面积公式求出DF，再根据圆周角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM即可． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠AOD＝90°， 即OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）过点D作DF⊥AC于F， ∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN， ∴ON＝OA＝×6＝2， ∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4， ∴CD＝3DN＝12， 在Rt△CDN中， CN＝＝＝4， 由三角形的面积公式可得， CN•DF＝DN•CD， 即4DF＝4×12， ∴DF＝， 又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°， ∴在Rt△DFM中， DM＝DF＝×＝． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提． 22. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元 【解析】 【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可； （2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米 由题意得 解得， ∴，经检验为分式方程的解 ∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米 （2）设建类摊位个，则类个，费用 ∵ ∴ ， ∵110>0， ∴z随着a的增大而增大， 又∵a为整数， ∴当时z有最大值，此时 ∴建造90个摊位的最大费用为10520元 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)．与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一点． ①当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； ②若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①D点坐标为(2，5)或(2，﹣1)；②点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y＜ 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式； (2)易得BC的解析式为y=﹣x+3，先证明ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，则EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P(t，﹣4t+3)(1＜t＜3)，则G(t，﹣t+3)，接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=，然后利用二次函数的性质解决问题； (3)①如图2，抛物线的对称轴为直线x=2，设D(2，y)，利用两点间的距离公式得到，讨论：当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，，分别解方程求出t即可得到对应的D点坐标； ②由于BCD是以BC为斜边的直角三角形有，解出y的值，得到此时D点的坐标，然后结合图形可确定BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：把B(3，0)，C(0，3)代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设BC的解析式为y=kx+b, 将点B、C代入解析式得：， 解得：， ∴y=﹣x+3， ∵直线y=x﹣m与直线y=x平行， ∴直线y=﹣x+3与直线y=x﹣m垂直， ∴∠CEF=90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， 作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1， △EPG为等腰直角三角形，PE=PG， 设P(t，﹣4t+3)(1＜t＜3)，则G(t，﹣t+3)， ∴PF=PH=t， PG=， ∴PE=PG=， ∴PE+EF =PE+PE+PF =2PE+PF = = =， 当t=2时，PE+EF的最大值为； 【小问3详解】 ①如图2，抛物线的对称轴为直线x==2， 设D(2，y)，则， ， ， 当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时， ，即， 解得y=5，此时D点坐标为(2，5)； 当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时， ，即， 解得y=﹣1，此时D点坐标为(2，﹣1)； 综上所述：D点坐标为(2，5)或(2，﹣1)． ②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时， ，即， 解得y1=，y2=， 此时D点坐标为(2，)或(2，)， ∴△BCD是锐角三角形， 点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y＜． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题． 24. 某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”． （1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝　 　，BC＝　 　；如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝　 　，BC＝　 　； （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． （3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长． 【答案】（1）6，6，2，2；（2）AC2+BC2＝5AB2，见解析；（3）GF＝ 【解析】 【分析】（1）如图1，由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=6，根据三角形中位线的性质和平行线分线段成比例定理可得PE=PF=3，利用勾股定理可得AC和BC的长；如图2，根据特殊三角函数值可得∠BAP=30°，计算PB和AP的长，同理由中线的性质和勾股定理可得结论； （2）设 PF=m，PE=n 则AP=2m，PB=2n，根据勾股定理分别列等式，可得结论； （3）如图4，作辅助线，证明四边形EFCG是平行四边形，得Q是FG的中点，根据中垂三角形的定义可知：△FCG是中垂三角形，利用（2）中三边的关系可得GF的长． 【详解】（1）解：如图1，∵AF⊥BE， ∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°， ∵∠PAB＝45°，AB＝6， ∴AP＝PB＝6， 如图1，连接EF， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB．且 EF＝AB， ∴， ∴PE＝PF＝3， 由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3， ∴AC＝BC＝2AE＝6， 如图2，∵sin∠PAB＝，AB＝4，AF⊥BE， ∴∠PAB＝30°， ∴BP＝AB＝2，AP＝2， ∵AF、BE是△ABC的中线， ∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝， 由勾股定理得：AE＝＝＝， BF＝＝＝， ∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2， 故答案为：6，6，2，2； （2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2， 证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n 则AP＝2m，PB＝2n， 在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①， 在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②， 在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③， 由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（ m2+n2）＝， ∴AC2+BC2＝5AB2； （3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q， ∵FN∥BG，BG⊥AC， ∴FN⊥AC， ∵F是BC的中点， ∴N是CG的中点， ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE＝FC，DE∥FC， ∵ED＝EG， ∴EG＝FC，EG∥FC， ∴四边形EFCG是平行四边形， ∴Q是FG的中点， ∴△FCG是中垂三角形， ∵AB＝4，BC＝2， ∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝， 由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2， 即5×5＝（2）2+FG2， ∴GF＝． 【点睛】本题考查三角形综合题、中垂三角形的定义和应用、勾股定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造中垂三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$