精品解析：江西省宜春市丰城拖船中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

高三第一次月考数学试题 命题人：罗剑锋 一、选择题 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再求出，从而可求出的子集的个数 【详解】解：由，得或，所以或， 因为， 所以， 所以的子集的个数为， 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 3. 已知下列四个关系：①； ②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①②③利用不等式的性质分别求解即可;④构造幂函数，然后利用函数单调性求解即可. 【详解】①当时，，故错误； ②当时，可知，故错误； ③当，得，因为，所以，故正确； ④构造幂函数，所以在单调递减，又因为，所以，即，故正确； 故选：B 4. 给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤. 其中正确的导数式共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】由初等函数的导数公式求各项对应函数的导函数，即可判断它们的正误. 【详解】由，①正确； 由，②错误； 由，③正确； 由，④错误； 由，⑤错误； 正确的共有2个. 故选：A 5. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】有题目所给解析式及函数的奇偶性，可以求解出的解析式，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】①, , 为奇函数，为偶函数 ， ②， ①+②得， ①-②得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为， 故选：B. 6. 已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（ ）． A. 3 B. 5 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的值域求出的关系，根据不等式的解集可得的两根为，由根与系数的关系列方程组，解方程组即可得的值. 【详解】由函数的值域为， 得方程有两个相等的实根，则，即， 由不等式的解集为， 得方程的两根为， 于是，即， 所以. 故选：B 7. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可； 【详解】因为，故， 其中，因此为减函数， 因为，故， 所以， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可. 【详解】令， 则. 若，则在上恒成立，则在上单调递减， 则，不符合题意. 若，则当时，，单调递减， 则，不符合题意. 若，则在上恒成立，则在上单调递增， 即，符合题意. 故的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可. 二、多选题 9. （多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ） A. 物理好数学不一定好 B. 数学好物理不一定好 C. 数学不好物理一定不好 D. 物理不好数学一定不好 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知命题得出A,D错误，再转化B,C为集合关系即可得出命题为真. 【详解】设：物理好，：数学好，由题意，“若，则”为真命题，A，D不正确． 如果将物理好的学生定义为集合，数学好的学生定义为集合， 则，或许存在，但，即数学好物理不一定好，B正确； 设为全集，则，因此可以说数学不好的物理一定不好，C正确； 故选：BC． 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 对于三次函数 ，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____. 【答案】2019 【解析】 【分析】令，求得的对称中心是，进而得到求解. 【详解】因为， 所以，， 令，得， 又， 所以的对称中心是， 所以， 所以， ， ， 故答案为：2019 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解拐点即为对称点，由求得对称中心. 13. 对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用赋值法先判定的周期性，化，再利用赋值法计算即可. 【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）. 令，得，则， 则，则，则. 又因为，所以，则， 从而. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定的周期性，再利用赋值法计算函数值即可. 14. 对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得符合条件的直线应为在的公切线，据此计算验证即可． 【详解】因为，且， 若在区间上优于， 可知符合条件的直线应为在的公切线， 则，可得， 则切线方程为， 令在上恒成立， 令，求导可得， 令， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【小问1详解】 不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； 【小问2详解】 （2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 16. 已知函数，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-∞，-1），（-，+∞） 【解析】 【分析】（Ⅰ）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当时，令，得，，分三种情况①，②当，③当，讨论的单调区间． 【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，． 当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0， 所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0． （Ⅱ）f′（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）． （1）当a≤0时，aex-1＜0， 所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0． 所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）． （2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna． ①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0， 所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间； ②当-lna＜-1，即a＞e时， 当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0． 所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）； ③当-lna＞-1，即0＜a＜e时， 当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0． 所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值及方程的解； （2）当时，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1）；； （2）最小值；最大值. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数可得 ，从而得 ， 解方程即可的结果； （2） 先求出 ，然后利用二次函数配方法可得结果. 【小问1详解】 ∵是奇函数， ∴，即， 所以，（或直接由求得） 由得， 所以， 所以，即方程的解为； 【小问2详解】 当时，， ∵， ∴当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求解析式，主要方法有两个： 一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解； 二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 18. 已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，通过向量的数量积求出动点的轨迹的方程； （2）设点为轨迹C上一点，直线为轨迹的切线，与椭圆方程联立，利用判别式求出，设，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求解斜率乘积即可． 【小问1详解】 设，则，有，，，， 从而由题意，得， 所以动点的轨迹的方程； 【小问2详解】 设点且为轨迹上一点，直线为轨迹的切线， 有，消去得， 其判别式，解得，有， 设， 联立得，所以， 可得，解得， 所以为定值. 19. 设函数， （1）证明：有两个零点； （2）记是的导数，为的两个零点，证明：． 【答案】（1） 由，得，即，令， 函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 又，因此使得，使得， 所以函数有两个零点. （2） 由（1）知函数的零点满足：， 求导得，要证，即证，即证明， 令，求导得 ， 函数在上单调递减，则，由，得， 即，由，得，且在上单调递增， 因此，即，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用零点的意义，构造函数，利用导函判断函数单调性，借助零点存在性定理即可推理得证. （2）求出的导数，化不等式为，利用（1）中函数构造函数，结合零点的意义及单调性推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式转化成求证，然后再利用构造函数利用函数单调性证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一次月考数学试题 命题人：罗剑锋 一、选择题 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知下列四个关系：①； ②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤. 其中正确的导数式共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（ ）． A. 3 B. 5 C. 9 D. 12 7. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ） A. 物理好数学不一定好 B. 数学好物理不一定好 C. 数学不好物理一定不好 D. 物理不好数学一定不好 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题 12. 对于三次函数 ，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____. 13. 对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______. 14. 对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ________． 四、解答题 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 16. 已知函数，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值及方程的解； （2）当时，求函数的最大值与最小值. 18. 已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值. 19. 设函数， （1）证明：有两个零点； （2）记是的导数，为的两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $