第二十二章 二次函数 单元练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 ❶二次函数的图象和性质 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.抛物线 的开口方向是 ( ) A.向下 B.向左 C.向上 D.向右 2.已知函数:①y=2x-1;②y=-2x²-1;③y=3x³-2x²;④y= 2x²-x - 1;⑤y= 其中一定为二次函数的个数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.在平面直角坐标系中，将函数 的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后，得到的图象的函数解析式为 ( ) A. y=-(x+1)²+5 C. y=-(x+1)²-5 4.对于抛物线 下列说法正确的是 ( ) A.开口向上，顶点坐标为(-5，3) B.开口向上，顶点坐标为(5，3) C.开口向下，顶点坐标为(-5，3) D.开口向下，顶点坐标为(5，3) 5.已知二次函数 的图象如图所示,则点P(b,c)所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=-1，则这个二次函数的解析式为 ( ) 7.如图,抛物线经过(1,0),(2,-2)和(4，0)三点，则抛物线与y轴的交点坐标是 ( ) A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2.5) D.(0,2) 8.已知二次函数 1(m≠0)在-2≤x≤2时的最小值为-4,则m等于( ) A.5 B.-5或5一8 C.5或 D.-5或 二、填空题(每小题3分，共12分) 9. 设题新角度 开放性试题已知一条抛物线经过点(0，1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的解析式可以是 (写出一个即可). 10.二次函数 c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x -3 -2 -1 0 1 y=ax²+ bx +c t m -2 -2 n 则该二次函数图象的对称轴为 . 11. 如图，P是抛物线 在第四象限内的一点，过点P分别向x轴和 轴作垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 . 12.如图，两条抛物线 与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 . 三、解答题(共14分) 13.(6分)已知二次函数 (1)填写下列表格： x 0 1 2 3 4 y 3 0 (2)在图中所示的坐标系中画出该二次函数的图象； (3)写出该二次函数的一条性质. 14.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上. (1)抛物线的对称轴是x= ； (2)若M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)为抛物线上两点，满足 当a>0时,判断y₁与y₂的大小关系，请直接写出结果； (3)已知点D的横坐标为1，且点D在直线y=(4a+3)x-a+1上,点C的坐标为 若抛物线与线段CD恰有一个公共点，求a的取值范围. ❷ 二次函数与一元二次方程 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.若抛物线 与x轴的交点坐标为(m，0)，则代数式 的值为( ) A.118 B.119 C.120 D.121 2.如图是二次函数 c的图象，则 的解的情况为( ) A.有两个相等的实根 B.有两个不相等的实根 C.无实根 D.无法确定 3.下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 a 0.59 1.16 那么方程 的一个近似根的取值范围为 ( ) A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 4.将二次函数 的图象向上平移，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则平移的距离为 ( ) A.3个单位长度 B.2个单位长度 C.1个单位长度 D.4个单位长度 5.如图，以(1，-4)为顶点的二次函数y= 的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程 的正数解的范围是 ( ) A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 6.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 AB为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为( ) A.3 7.已知二次函数 方程( 的两个根分别为x₁=n 方程 的两个根分别为 判断m，n，p，q的大小关系是 ( ) A. p<m<n<q B. m<p<q<n C. m<n<p<q D. p<q<m<n 8.二次函数 0)的图象如图所示，下列结论： ①abc<0;②2a+b>0;③b²-4ac >0;④3a+c<0;⑤ax²+ bx+c-3=0有两个不相等的实数根.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分，共9分) 9.若二次函数 的图象如图所示，则方程(ax²+bx+c=0的解为 . 10.如图所示，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面AB宽为20m，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4m.如果此时水位上升3m就达到警戒水位CD,那么CD宽为 . 11.如图，一段抛物线y=-x(x﹣4)(0≤x≤4),记为C₁,它与x轴交于点O,A₁.将C₁绕点A₁顺时针旋转180°得到C₂；将C₂绕点A₂顺时针旋转180°得到C₃;…;如此进行下去，得到一条连续的曲线.若点P(2023,n)在这条曲线上,则n的值为 . 三、解答题(共17分) 12.(8分)已知抛物线的解析式为 (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线y=x -3m+4的一个交点在y轴上，求m的值. 13.(9分)如图，抛物线 bx+c与x轴的两个交点分别为A(1，0),B(5,0). (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点P在该抛物线上，当△PAB的面积为8时，求点P的坐标； (3)当y≥-5时,求x的取值范围. ❸ 实际问题与二次函数 一、选择题(每小题3分，共21分) 1.为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12h的温度，记时间为t(单位：h)，温度为y(单位:℃).当4≤t≤8时,y关于t的函数关系式为 则4≤t≤8时该地区的最高温度是 ( ) A.11℃ B.27℃ C.35℃ D.36℃ 2.如图1是一个酒杯，酒杯的上半部分以抛物线为模型设计而成，且为轴对称图形.从正面看酒杯的上半部分是一条抛物线,若AB=4,CD=3,以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的解析式为 ( ) 3.某工厂今年的一种产品的年产量是2000件，如果每年的年产量比上一年增加相同的百分率x，那么第三年产品的年产量y(件)关于每年增加的百分率x的函数关系式为 ( ) A. y=2000(1-x)² B. y=2000+2x C. y=2000(1+ x)² 4.某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆.若该爆竹点燃后离地高度h(单位：m)关于离地时间t(单位：s)的函数解析式是h=20t-5t²，则其中t的取值范围是 ( ) A. t≥0 B.0≤t≤2 C.2≤t≤4 D.0≤t≤4 5.图2是图1景观桥的示意图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40m，拱肋的最大高度CD为16m(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5m的景观灯杆MN的高度为( ) A.13m B.14m C.15m D.16m 6.在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是( ) A.1月份 B.2月份 C.5月份 D.7月份 7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m³)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系 如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水旋钮的旋转角度x与所需燃气量y的三组数据.根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能为下列选项中的 ( ) A.33度 B.36度 C.42度 D.49度 二、填空题(每小题3分，共6分) 8.如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 则小明此次实心球训练的成绩为 m. 9.如图，用长为12 m的铝合金条制成矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 (中间横框所占的面积忽略不计). 三、解答题(共23分) 10.(11分)某商店销售一种小兔子毛绒玩具，每件进价为30元，经过试销发现，该玩具每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间满足如下关系:y=-x+60. (1)求该商店销售这种毛绒玩具每天获得的利润w(元)与x(元/件)之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种毛绒玩具每天想获得200元的利润，且最大限度让利给顾客，则销售单价应定为多少? 11.(12分)如图1，小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为 其中x(单位：m)是水柱距喷水头的水平距离，y(单位：m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的解析式； (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 二次函数的综合应用 一、选择题(每小题3分，共21分) 1.如图，在平面直角坐标系中，直线y= mx+n与抛物线 c交于.A(-1,p),B(2,q)两点，则关于x的不等式 的解集是( ) A. x<-1 B. x>2 C.-1<x<2 D. x<-1或x>2 2.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线 上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ( ) C.(2,2) D.(2，) 3.如图，平面直角坐标系内有一顶点为A的抛物线，与直线y=2交于B，C两点，△ABC为等边三角形.若点A坐标为(-3，0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为 ( ) C.(0,9) D.(0,19) 4.如图，抛物线 与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，点A(a，-5)在抛物线上.若点E在y轴上，且∠BEO=∠BAC,则点E的坐标为( ) B.(0 C.(0,1) D.(0,1)或(0,-1) 5.抛物线 与x轴的两个不同的交点分别是点O和点A，抛物线的顶点B在直线 上，则关于△OAB的判断正确的是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线 的图象上，则a的值为 ( ) 7. 如图，等腰直角三角形ABC中∠B=90°,AC=4,正方形ADEF中AF=2,F,A,C在同一直线上,正方形ADEF沿射线FA方向平移，直到点F与点C重合.若点F的平移距离为x，平移过程中两个图形重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是( ) 二、填空题(每小题3分，共12分) 8.已知在同一平面直角坐标系中有二次函数 若直线y=n只与l₁，l₂的图象同时有交点，则n的取值范围是 . 9.如图，抛物线顶点C的坐标为(1，4)，抛物线交x轴于点A(3,0),交y轴于点B,则△ABC的面积为 . 10.如图，抛物线 经过点A(-3,0),B,C,点C在y轴上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是 . 11.如图,抛物线y=(x+4)(x-1)与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ.则线段OQ的最小值是 . 三、解答题(共17分) 12.(17分)如图,抛物线 与x轴交于A(-2,0),D两点,与y轴交于点C，对称轴x=3与x轴交于点B. (1)求抛物线的解析式. (2)M是x轴上方抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点E.设点M的横坐标为m，用含m的代数式表示线段ME的长，并求出线段ME的最大值. (3)若点P在y轴的正半轴上，连接PA，过点P作PA的垂线，交抛物线的对称轴于点Q.是否存在点P，使以P，A，Q为顶点的三角形与△BAQ全等?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$