精品解析：重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期数学定时训练试题

初三上数学定时训练1 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：A：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 平面直角坐标系中的点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 【详解】解：点关于轴对称的点是． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，积的乘方运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，掌握基础的运算法则是解本题的关键． 4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算即可．本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， 的周长与的周长比是， 与的相似比是， 的面积与的面积比是， 的面积为， 的面积等于， 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是(　　)． A. 一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形； B. 对角线相等的四边形是矩形； C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形； D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断． 【详解】解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A=∠C， ∴∠C+∠B=180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确； B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误； C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握． 6. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ） A. 24 B. 30 C. 35 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，解题的关键是依次求出图形中小正方形的个数，并发现其规律． 根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中小正方形的个数为：； 第2个图形中小正方形的个数为：； 第3个图形中小正方形的个数为：； …， 依次类推，第n个图形中小正方形的个数为个． 第6个图形中小正方形的个数是， 故选：D． 7. 设为正整数且，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算和二次根式的运算，利用无理数的估算得到即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的值为6， 故选：B． 8. 今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点 、点 分别是和 边的中点，连接 、 交于点，连接 和，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质及应用,全等三角形判定与性质；延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，． 【详解】解：延长，交于，如图： 四边形是正方形， ，， ，是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ； 故选：A． 10. 有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论： ①第5项为； ②； ③若，则； ④当时，第项的值为． 以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意表示出第n个整式及是解题的关键． 依次求出各整式及…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 整式中的第2项为：， ， 整式中的第3项为：， …… ， 整式中的第n项为：（n为正整数）， 所以整式中的第5项为：， 故①正确． 当时， ， 故②正确． 当时， ， 则， 故③正确． 当时， 令整式中的第k项的值为M， 则， ， 两式相减得： ， ， 故④正确； 故选：D． 二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和去绝对值，然后计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 12. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将代入即可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，即：， 故答案为：． 13. 正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角和内角，设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x，列出关于x的方程式，求得x，,再根据多边形的外角和为即可求出答案． 【详解】解：设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x， ， 解得：， ， 则． 故答案为：3． 14. 已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．熟记相关结论是解题关键．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 15. 如图，在中，，，，点是边上一点，连接，若将沿直线翻折，使得的顶点恰好落在边上的点处，则__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，推出是解题的关键．先求出的长，再证明出，得到，由可得到的长． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使得的顶点恰好落在边上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 16. 如图，点E为矩形的边上一点，连接，，连接，交于点F、若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，得到，根据矩形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 17. 若关于x 的不等式组 至少有四个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数的和是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解题意是关键，本题先解不等式组根据解集的情况可得，再解分式方程结合解的情况可得且，再结合为整数，为非负整数，从而可得答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 解得：， ∵关于的不等式组至少有四个整数解， ∴四个整数解为，，，； ∴， 解得：； ∵， 去分母得：， 整理得：， ∵关于的分式方程的解是非负整数， ∴且， 解得：且， ∴且， ∵为整数，为非负整数， ∴的值为， ， ∴； 故答案为：1 18. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据“平衡数”的定义，列式得到可求出a、b的值；再根据“平衡数”定义， 确定和的值，再由为整数分情况讨论求值即可． 本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． 【详解】解： ． 则 ∵a、b为自然数， 则 ， ， ∴， x、y不可以是1和5， m和n不可以是2和3， 为整数， 当时，最大是17， (舍去)， m，n无解， 当时，最大值是17， (舍去)， (舍去)， ∴k的最大值是 故答案为：，． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，分式的化简，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算即可求解； （2）运用分式混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 21. 如图，在中，过点A、C作，，分别交、的延长线于点F和E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点O，点G是线段的中点，若，，求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：在中，，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，得到，结合，，推出，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质和点G是线段的中点可得是的中位线，，根据勾股定理可得的长，从而得到的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 点G是线段的中点，， 是的中位线，， 又，， 在中，， ， 矩形的周长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 22. 如图1，在等腰中，，，于点，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，连接，设，请解答下列问题： （1）直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出的图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知直线的图象如图2所示，结合函数图象，直接写出当时的取值范围．（结果精确到，误差） 【答案】（1） （2） 画图如下： 该函数的性质不唯一，如： 增减性：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 最值：当时，有最大值；无最小值； （3）或 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，函数图象与不等式的关系，能正确分段讨论是解题的关键． （1）分段讨论：点在上运动时，点在点时（不存在），点在上运动时，再结合几何性质求解即可； （2）根据图象画图，注意不存在的点用空心点，再根据图象写性质即可； （3）利用函数图象与不等式的关系即可得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 当点在上运动时，即时，如图， ∵， ∴， ∴； 当点在点时，不存在； 当点在上运动时，即时，如图， 过点作于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，即的图象在的图象下方时， 根据图象直接可得或时，． 23. 中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 【答案】（1）一盒咸粽的价格为元，一盒甜粽的价格为元 （2）乙公司最多购买盒咸粽 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系． （1）设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元，根据“爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍”，列出分式方程即可求解； （2）设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：一盒咸粽的价格为元，则一盒甜粽的价格为元； 【小问2详解】 设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司最多购买盒咸粽． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可求解； （2）交直线于，过点作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可； （3）求出平移后的函数解析式为，求出、，分点在的上方和下方两种情况讨论； 【小问1详解】 解：将点、代入， 得：， 解得， ； 【小问2详解】 如图1，交直线于，过点作于， 在中，， ，， 平分， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， ， 在中，， 是正三角形， 平分， ， 在，， 在正中，， 是中线， ， ， ， 故当取最大值时，最大， ， 在中，且， ， 或（舍去）， ， 设直线解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， ， ， 即， 当时，有最大值； 【小问3详解】 ， 对称轴为， 将向左平移个单位后新抛物线， 、，的对称轴为直线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， ， ， ， 与重合， 当在下方时， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ， 点的坐标为或． 26. 在中，点G是直线上一点，，连接． （1）如图1，若交于点H，，求的长； （2）如图2，若，的平分线交于点E，过点E作，交的平分线于点F，连接，且，请猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若，是边长为2的等边三角形，将绕点D顺时针旋转得到，点K是线段的中点．在旋转的过程中，当线段得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 延长交于H，连接，如图2， 平分， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ． 又四边形是平行四边形， ， ， ， 则四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， 是菱形， ， ， 、都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理首先求出的长，再求出即可； （2）延长交于H，连接，先通过三角形全等证明是等边三角形，证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，得，则都是等边三角形，再利用证明，从而说明是等边三角形，可得，再证得，由，利用等量代换即可证得结论； （3）由旋转性质可得是边长为2的等边三角形，可得，在旋转过程中，，当点K落在边上时，为最小值，过点G作于Q，过点D作于H，利用等腰直角三角形性质可得，得出，即可求得答案． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是边长为2的等边三角形， 旋转后的是边长为2的等边三角形， 是线段的中点， ， 在旋转过程中，，如图3， 当点K落在边上时，为最小值，如图4，过点G作于Q，过点D作于H， 则， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，根据旋转性质求解，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学定时训练1 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中的点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是(　　)． A. 一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形； B. 对角线相等的四边形是矩形； C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形； D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． 6. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ） A. 24 B. 30 C. 35 D. 48 7. 设为正整数且，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点 、点 分别是和 边的中点，连接 、 交于点，连接 和，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论： ①第5项为； ②； ③若，则； ④当时，第项的值为． 以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则k的值为______． 13. 正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为______． 14. 已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则_____________． 15. 如图，在中，，，，点是边上一点，连接，若将沿直线翻折，使得的顶点恰好落在边上的点处，则__． 16. 如图，点E为矩形的边上一点，连接，，连接，交于点F、若，则的长为_____________． 17. 若关于x 的不等式组 至少有四个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数的和是_______． 18. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） ； （2）． 20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 21. 如图，在中，过点A、C作，，分别交、的延长线于点F和E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点O，点G是线段的中点，若，，求矩形的周长． 22. 如图1，在等腰中，，，于点，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，连接，设，请解答下列问题： （1）直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出的图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知直线的图象如图2所示，结合函数图象，直接写出当时的取值范围．（结果精确到，误差） 23. 中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 26. 在中，点G是直线上一点，，连接． （1）如图1，若交于点H，，求的长； （2）如图2，若，的平分线交于点E，过点E作，交的平分线于点F，连接，且，请猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若，是边长为2的等边三角形，将绕点D顺时针旋转得到，点K是线段的中点．在旋转的过程中，当线段得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $