2.1.1 有理数的加法 课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

2.1.1 有理数的加法 第二章 有理数的运算 人教版初中数学/七年级上册 授课教师：XXX 日期：XXX 学习目标 1．理解并掌握有理数加法的运算律； 2．灵活运用运算律进行有理数的加法运算； 3．经历探索有理数加法的运算律的过程，体验探索归纳的数学方法。 复习回顾 1. 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得 0. 3. 一个数与0相加，仍得这个数. 说一说：有理数加法法则 复习回顾 1.回忆小学学习过的加法的运算律. 2.用符号表示小学学习过的加法运算律. 加法交换律 加法结合律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 对于有理数的加法，它们还成立吗？ 预习检测 1. 判断对的打“√”错的打“×” (1)有理数的加法运算律中的a, b, c表示任意有理数. ( ) (2)进行有理数的加法运算时，必须运用运算律. ( ) (3)三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加. ( ) √ × √ 预习检测 2. 计算 （1）30+（-10）= （3）[9+（-2）]+（-3）= （2）（-20）+50= （3）9+[（-6）+（-5）]= 20 30 -2 4 新知探究 探究 计算 30+（-20）= ，（-20）+30= . 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ 10 10 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的 位置 ，和不变。 加法交换律：a+b=b+a 注意：用加法交换律时，一定要连同加数的符号一起交换。 新知探究 探究 计算 [8+（ -5 ）]+（ -4 ）= ，8+[（ -5 ）+（ -4 ）] = . 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ -1 -1 有理数的加法中，三个数相加，先把 前两个数 相加，或者先把 后两个数 相加，和不变。 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 新知探究 根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加. 有理数的加法运算中的“五法”： (1)互为相反数的两个数先相加---“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加---“同号结合法”； (3)分母相同的分数先相加---“同分母结合法”； (4)多个数相加能得到整数的数先相加---“凑整法”； (5)整数与整数分数与分数分别相加---“同形结合法”. 典例解析 例2 计算 （1）8+（-6）+（-8）； = -6. 解：8+（-6）+（-8） = [8+（-8）]+ （ -6 ） = 0 +（-6） 互为相反数的两个数先相加 ---“相反数结合法” 典例解析 例2 计算 （2）16+（-25）+24+（-35）； = -20. 解：16+（-25）+24+（-35） = （16+24）+[（-25）+（-35）] = 40+（-60） 怎样使计算简化的？这样做的根据是什么？ 把正数和负数分别相加，从而使计算简化，它的依据是加法交换律和加法结合律. 典例解析 例3 10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克? 解法一：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5. 再计算总计超过多少千克： 502.5-50×10=2.5 典例解析 例3 10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克? 解法二：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数. 10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6，+0.9，+0.4. 0.5+0.5+0.8+（-0.5）+0.6+0.7+（-0.8）+（-0.6）+0.9+0.4 =[0.5+（-0.5）]+[0.8+（-0.8）]+[0.6+（-0.6）]+（0.5+0.7+0.9+0.4） =2.5 50×10+2.5=502.5 答：10袋小麦一共502.5kg，总计超过2.5kg. 典例解析 在求多个较大加数的和时，可以先选取一个适当的数为标准，然后求出每个加数与标准数的差值，并灵活运用运算律，可以 使运算过程简便且不容易出错. 解法2把互为相反数的数结合起来相加，可以使计算简化。这种解法使用的是加法交换律和加法结合律. 比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？ 归纳小结 1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 回顾以上例题的解答，思考：将怎样的加数结合在一起，可使运算简便？ 课堂练习 1. 计算： （1）23+(-17)+6+(-22)； （2）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)； 解：23+(-17)+6+(-22) = (23+ 6)+[ (-17)+(-22)] = 29+ (-39) = -10 解：(-2)+3+1+(-3)+2+(-4) [(-2)+2]+[3+(-3)] +[ 1+(-4)] = -3 = 课堂练习 1. 计算： （3）1+(- )+ +(- )； 2 1 3 1 6 1 （4）3 +(-2 )+5 +(-8 )； 5 3 4 3 5 2 解： 1+(- )+ +(- ) 2 1 3 1 6 1 = [1+(- )]+[ +(- )] 2 1 3 1 6 1 = + 2 1 6 1 = 3 2 解： 3 +(-2 )+5 +(-8 ) 4 1 5 3 4 3 5 2 = [ 3 + 5 ] +[(-2 ) +(-8 )] 4 1 5 3 4 3 5 2 4 1 = + (- ) 4 36 5 55 = -2 课堂练习 利用有理数的加法解题： 2. 某银行储蓄卡中存有人民币450元，先取出80元，随后又存入150元，储蓄卡中还存有多少元？ 解：450+（-80）+150=520（元） 3.一架飞机从9000m的高度先下降300m，再上升500m，这时飞机的飞行高度是多少米? 解：9000+（-300）+500=9200（m） 答：这是飞机的飞行高度是9200m。 答：储蓄卡中还存有520元。 技巧总结 有理数加法在实际中的应用： 1．将实际问题转化为数学问题. 2．弄清问题的实质，列式计算，解答实际问题. 考点解析 有一批食品罐头，标准质量为每听454克.现抽取10听样品进行检测，结果如下表(单位：克)： 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 这10听罐头的总质量是多少？请尝试用简便方法解决. 提示：超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数. 即-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10. 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 标准质量为每听454克，如何表示所抽取的10听样品与标准质量的差值？ 考点解析 解：这10听罐头与标准质量差值的和为： ____________________________ ____________________________ _________， 因此，这10听罐头的总质量为： ______________________________. (-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10 ＝[(-10)+10]+[5+(-5)]+5+5 ＝10(克) 454×10+10 = 4540+10=4550(克) 听号 1 2 3 4 5 质量 444 459 454 459 454 听号 6 7 8 9 10 质量 454 449 454 459 464 考点解析 思 考 如果这10听罐头与标准质量的差值和为0，那么这10听罐头的总质量是多少克？ 提示：这10听罐头的总质量是 454×10 + 0 = 4540 (克) . 变式练习 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下： ＋9,－3,－5,＋4,－8,＋6,－3,－6,－4,＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 变式练习 即又回到了出发地． 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下： ＋9,－3,－5,＋4,－8,＋6,－3,－6,－4,＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 解：(1)＋9＋(－3)＋(－5)＋(＋4)＋(－8)＋(＋6)＋(－3)＋(－6)＋(－4)＋(＋10) ＝9＋10＋(－3)＋(－5)＋(－8)＋(－3)＋6+(－6)＋4＋(－4) ＝19+(-19) ＝ 0 (千米) 变式练习 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下： ＋9,－3,－5,＋4,－8,＋6,－3,－6,－4,＋10. (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 解：(2) |＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3|＋|－6|＋|－4|＋|＋10| 所以，营业额为58×2.4＝139.2(元)． = 58(千米) = 9+3+5+4+8+6+3+6+4+10 考点解析 某电力检修小组从A地出发，在一条东西走向的路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中的行驶记录如下 (单位:km)： -4，+7，-9，+8，+6，-4，-3. (1)收工时距A地多远？ (2)距A地最远时是哪一次？ (3)若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L，从出发到收工该车共耗油多少升？ 考点解析 (1) 收工时距A地多远？ (2) 距A地最远时是哪一次？ (3) 若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L，从出发到收工该车共耗油多少升？ 解题思路分析 -4，+7，-9，+8，+6，-4，-3. 终点与起点的相对位置 转化 所有记录数据的和 距原点最远的那一次 转化 按顺序累加数据，比较绝对值 整个运动过程的路程和 转化 所有记录数据绝对值的和 考点解析 -4，+7，-9，+8，+6，-4，-3. (1) 收工时距A地多远？ 解: (-4)+(+7)+(-9)+(+8)+(+6)+(-4)+(-3) = (7+8+6)+[(-4)+(-9)+(-4)+(-3)] =1. 答：收工时距A地1km. 考点解析 -4，+7，-9，+8，+6，-4，-3. (2) 距A地最远时是哪一次？ 解：第一次距A地 | -4 |= 4(km)； 第二次距A地 | (-4)+(+7) | = | 3 | = 3(km)； 第三次距A地 | 3+(-9) | = | -6 |= 6(km)； 第四次距A地 | (-6)+(+8) | = | 2 |= 2(km)； 第五次距A地 | 2+(+6) | = | 8 | = 8(km)； 第六次距A地 | 8+(-4) | = | 4 | = 4(km)； 第七次距A地 | 4+(-3) | = | 1 | = 1(km). 答：第五次距A地最远. 考点解析 -4，+7，-9，+8，+6，-4，-3. (3) 若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L，从出发到收工该车共耗油多少升？ 解：| -4 | + | +7 | + | -9 | + | +8 | + | +6 | + | -4 | + | -3 | = 4 + 7 + 9 + 8 + 6 + 4 + 3 = 41(km). 41×0. 1=4.1(L). 答:从出发到收工该车共耗油4.1L. 变式练习 一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运.规定向东为正，向西为负，行车里程(单位:km)依先后次序记录如下： +9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10. 假设每次乘客下车后，该出租车都在停车地等待下一名乘客，直到下一名乘客上车再出发. (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地的什么方向？距离A地多少千米？ (2)若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少? 变式练习 +9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10. 解：(+9)+(-3)+(-5)+(+4)+(-8)+(+6)+(-7)+(-6)+(-4)+(+10) =[(+4)+(-4)]+[(+6)+(-6)]+[(+9)+(+10)]+[(-3)+(-5)+(-8)+(-7)] =19+(-23) =-4. 答:出租车在A地的正西方向，距离A地4km. (1) 将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地的什么方向？距离A地多少千米? 变式练习 +9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10. 解：| +9 | + | -3 | + | -5 | + | +4 | + | -8 | + | +6 | + | -7 | + | -6 | + | -4 | + | +10 | = 62 62 × 3=186(元) 答:司机当天的营业额为186元. (2) 若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少? 随堂检测 1. 计算： (1) 23+(-27)+6+(-22) ＝(23+6)+[(-27)+(-22)] ＝29－49 ＝-20 ＝ (3+1+2)+[(-2)+(-3)+(-4)] ＝ 6－9 ＝ -3 (2) (-2)+3+1+(-3)+2+(-4) 随堂检测 2. 计算： (1) 1 + (- )+ +(- ) ＝(1+ ) + [ (- ) + (- ) ] ＝ - ＝ (2) 3 + (-2 )+5 +(-8 ) ＝(3 +5 ) + [ (-2 ) + (-8 ) ] ＝ － ＝ 随堂检测 3. 上周五股民新民买进某公司股票1000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元)： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 则在星期五收盘时，每股的价格是多少？ 解：根据题意得 35+(+4)+(+4.5)+(-1)+(-2.5)+(-6)=34(元) 答：每股的价格是34元. 4. 10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5. 问这10筐苹果总共重多少千克？ =8+(-4) 解：根据题意得： 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) =(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5] =4 所以这10筐苹果总重量为：30×10+4=304(千克) 随堂检测 课堂小结 1. 加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变. 用字母表示为： a+b=b+a 2. 加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c) $$