2.1.1 有理数的加法 教案2024-2025学年人教版数学七年级上册

七年级上册2.1.1 有理数的加法 教案 一、目标和目标解析 1.目标 1）．理解并掌握有理数加法的运算律； 2）．灵活运用运算律进行有理数的加法运算； 3）．经历探索有理数加法的运算律的过程，体验探索归纳的数学方法。 2.目标解析 教材中先提出以前学过的加法交换律、结合律在有理数加法中是否仍然适用的问题，再采取从特殊到一般的方法，让学生列举一些有理数算一算，尝试得出结论，然后给出有理数的加法运算律，有利于学生形成对运算律的直观感受,对于加法运算律，既要注意文字的表述，也要注意字母的表示，这是渗透字母表示数思想的机会,对于式子中的字母，应说明它们分别表示任意有理数,加法交换律、结合律可以推广到多个数相加的情况，可以先让学生观察特点，思考简便方法，有利于学生思维能力的提高，如果学生想不出来，可以安排小组讨论.例2有两种方法，可以尝试让学生自己做,在进行比较选取简便方法，当然全部加起来也行,本节的运算律以及运算律的推广，都不证明，都是通过具体例子进行说明，运算律的证明需要较深的知识，而直观上又容易接受，所以教材只结合具体例子进行说明. 二、教学问题诊断分析 有理数的加法运算律，学生在前面学段已经具备了正有理数运算律的知识与技能，由于七年级的学生刚刚接触负数，对负数的理解还不深刻，而有理数的加法运算律中又多了号的问题，这与学生在正有理数范围进行运算的思维定势产生冲突，因此，对形成在有理数范围内进行简便运算的思维方式存在一定的团难，容易出现丢掉“-”号或漏掉括号等问题，在利用运算律灵活进行简化运算过程中，容易出现混淆不清的现象 基于本节课的学情分析，本节课的教学难点是:有理数的加法运算律的理解及灵活运用。 【讲授新课】 （一）复习引入 1. 说一说：有理数加法法则 · 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. · 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得 0. · 一个数与0相加，仍得这个数. 2．回忆小学学习过的加法的运算律． · 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 · 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 3．用符号表示小学学习过的加法运算律． 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （二）新知探究 探究一： 计算：30+（-20）= 10 ，（-20）+30= 10 . 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。从上述计算中，你能得出什么结论？ 【归纳】有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法交换律：a+b=b+a 注意：用加法交换律时，一定要连同加数的符号一起交换。 探究二： 计算：[8+（-5）]+（-4）= -1 ，8+[（-5）+（-4）] = -1 . 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。从上述计算中，你能得出什么结论？ 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加. 有理数的加法运算中的“五法”： (1)互为相反数的两个数先相加---“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加---“同号结合法”； (3)分母相同的分数先相加---“同分母结合法”； (4)多个数相加能得到整数的数先相加---“凑整法”； (5)整数与整数分数与分数分别相加---“同形结合法”. （三）典例解析 例2 计算（1）8+（-6）+（-8）； 解：8+（-6）+（-8） = [8+（-8）]+ （ -6 ） = 0 +（-6） = -6. 互为相反数的两个数先相加---“相反数结合法” （2）16+（-25）+24+（-35）； 解：16+（-25）+24+（-35） = （16+24）+[（-25）+（-35）] = 40+（-60） = -20. 怎样使计算简化的？这样做的根据是什么？ 把正数和负数分别相加，从而使计算简化，它的依据是加法交换律和加法结合律. 例3 10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克? 解法一：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5. 再计算总计超过多少千克：502.5-50×10=2.5 解法二：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数. 10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6，+0.9，+0.4. 0.5+0.5+0.8+（-0.5）+0.6+0.7+（-0.8）+（-0.6）+0.9+0.4 =[0.5+（-0.5）]+[0.8+（-0.8）]+[0.6+（-0.6）]+（0.5+0.7+0.9+0.4） =2.5 50×10+2.5=502.5 答：10袋小麦一共502.5kg，总计超过2.5kg. 比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？ 解法2把互为相反数的数结合起来相加，可以使计算简化。这种解法使用的是加法交换律和加法结合律. 在求多个较大加数的和时，可以先选取一个适当的数为标准，然后求出每个加数与标准数的差值，并灵活运用运算律，可以 使运算过程简便且不容易出错. 【归纳小结】 回顾以上例题的解答，思考：将怎样的加数结合在一起，可使运算简便？ 1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 （四）课堂练习 （1）23+(-17)+6+(-22)； 解：23+(-17)+6+(-22) =(23+ 6)+[ (-17)+(-22)] =29+ (-39) =-10 （2）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)； 解：(-2)+3+1+(-3)+2+(-4) =[(-2)+2]+[3+(-3)] +[ 1+(-4)] =-3 利用有理数的加法解题： 2. 某银行储蓄卡中存有人民币450元，先取出80元，随后又存入150元，储蓄卡中还存有多少元？ 解：450+（-80）+150=520（元） 答：储蓄卡中还存有520元。 3.一架飞机从9000m的高度先下降300m，再上升500m，这时飞机的飞行高度是多少米? 解：9000+（-300）+500=9200（m） 答：这是飞机的飞行高度是9200m。 【技巧总结】 有理数加法在实际中的应用： 1．将实际问题转化为数学问题. 2．弄清问题的实质，列式计算，解答实际问题. （五）考点解析 有一批食品罐头，标准质量为每听454克.现抽取10听样品进行检测，结果如下表(单位：克)： 这10听罐头的总质量是多少？请尝试用简便方法解决. 【解题探究】(1)标准质量为每听454克，如何表示所抽取的10听样品与标准质量的差值？ 提示：超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数． 即-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10． (2)这10听罐头与标准质量差值的和为： (-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10＝[(-10)+10]+[5+(-5)]+5+5＝10(克) 因此，这10听罐头的总质量为：454×10+10 = 4540+10=4550(克)． 如果这10听罐头与标准质量的差值和为0，那么这10听罐头的总质量是多少克？ 提示：这10听罐头的总质量是 454×10 + 0 = 4540 (克) . 变式练习 某出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下： ＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10． (1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？ 解：(1)＋9＋(－3)＋(－5)＋(＋4)＋(－8)＋(＋6)＋(－3)＋(－6)＋(－4)＋(＋10) ＝9＋10＋(－3)＋(－5)＋(－8)＋(－3)＋6+(－6)＋4＋(－4) ＝19+(-19) ＝ 0 (千米) 即又回到了出发地． (2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 解：(2) |＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3|＋|－6|＋|－4|＋|＋10| = 9+3+5+4+8+6+3+6+4+10 = 58(千米) 所以，营业额为58×2.4＝139.2(元)． 【考点解析】 某电力检修小组从A地出发，在一条东西走向的路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中的行驶记录如下(单位:km)： -4，+7，-9，+8，+6，-4，-3. (1)收工时距A地多远？ (2)距A地最远时是哪一次？ (3)若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L，从出发到收工该车共耗油多少升？ 解题思路分析 (1) 收工时距A地多远？ 解: (-4)+(+7)+(-9)+(+8)+(+6)+(-4)+(-3) = (7+8+6)+[(-4)+(-9)+(-4)+(-3)] =1. 答：收工时距A地1km. (2) 距A地最远时是哪一次？ 解：第一次距A地 | -4 |= 4(km)； 第二次距A地 | (-4)+(+7) | = | 3 | = 3(km)； 第三次距A地 | 3+(-9) | = | -6 |= 6(km)； 第四次距A地 | (-6)+(+8) | = | 2 |= 2(km)； 第五次距A地 | 2+(+6) | = | 8 | = 8(km)； 第六次距A地 | 8+(-4) | = | 4 | = 4(km)； 第七次距A地 | 4+(-3) | = | 1 | = 1(km). 答：第五次距A地最远. (3) 若该检修小组所乘汽车每千米耗油0.1L，从出发到收工该车共耗油多少升？ 解：| -4 | + | +7 | + | -9 | + | +8 | + | +6 | + | -4 | + | -3 | = 4 + 7 + 9 + 8 + 6 + 4 + 3 = 41(km). 41×0. 1=4.1(L). 答:从出发到收工该车共耗油4.1L. 变式练习 一天，某出租车被安排以A地为出发地，只在东西方向道路上营运.规定向东为正，向西为负，行车里程(单位:km)依先后次序记录如下： +9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10. 假设每次乘客下车后，该出租车都在停车地等待下一名乘客，直到下一名乘客上车再出发. (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地的什么方向？距离A地多少千米？ 解：(+9)+(-3)+(-5)+(+4)+(-8)+(+6)+(-7)+(-6)+(-4)+(+10) =[(+4)+(-4)]+[(+6)+(-6)]+[(+9)+(+10)]+[(-3)+(-5)+(-8)+(-7)] =19+(-23) =-4. 答:出租车在A地的正西方向，距离A地4km. (2)若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少? 解：| +9 | + | -3 | + | -5 | + | +4 | + | -8 | + | +6 | + | -7 | + | -6 | + | -4 | + | +10 | = 62 62 × 3=186(元) 答:司机当天的营业额为186元. （六）随堂检测 1．计算： (1)23+（－27）+6+（－22） (2)（－2）+3+1+（－3）+2+（－4） ＝(23+6)+[(-27)+(-22)] ＝ (3+1+2)+[(-2)+(-3)+(-4)] ＝29－49 ＝ 6－9 ＝-20 ＝ -3 2．计算： ＝(1+ ) + [ (- ) + (- ) ] ＝(3 +5 ) + [ (-2 ) + (-8 ) ] ＝ - ＝ － ＝ ＝ 3．上周五股民新民买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元)： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 则在星期五收盘时，每股的价格是多少？ 解：根据题意得35+(+4)+(+4.5)+(-1)+(-2.5)+(-6)=34(元) 答：每股的价格是34元. 4. 10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5. 问这10筐苹果总共重多少千克？ 解：根据题意得： 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) =(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5] =8+(-4) =4 所以这10筐苹果总重量为：30×10+4=304(千克) 课堂小结 1. 加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变. 用字母表示为： a+b=b+a 2. 加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c) 通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来： 我的收获 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$