精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期 开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若集合，则______. 2. 不等式的解集为______. 3. 若（为虚数单位），则的共轭复数为______. 4. 若角的终边经过点，则______. 5. 某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______. 6. 若的展开式中的系数是，则 ． 7. 已知圆，则圆心到直线的最大距离为_____. 8. 设当时，函数取得最大值，则__________. 9. 已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______. 10. 已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 11. 定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为_____． 12. 若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 14. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种 15. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线AE，BF所成的角为定值 16. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，已知正方体的棱长为. （1）求直线和平面所成角的大小； （2）求二面角的大小. 18. 已知，曲线在点处的切线斜率为. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 19. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 （1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ （2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线． （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：； （3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值． 21. 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且． （1）求，，，； （2）求数列的前项和； （3）记，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期 开学考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】根据并集概念，知道. 故答案为：. 2. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意，，或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 3. 若（为虚数单位），则的共轭复数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则的共轭复数为. 故答案为：. 4. 若角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求解即得. 【详解】由角的终边经过点，得，则， 所以. 故答案为： 5. 某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______. 【答案】 【解析】 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 6. 若的展开式中的系数是，则 ． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可. 【详解】展开式的的通项为， 令， 的展开式中的系数为， 故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 7. 已知圆，则圆心到直线的最大距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和直线l经过的定点，计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线l过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 8. 设当时，函数取得最大值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，结合正弦函数的最值可得，代入运算即可. 【详解】因为， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：. 9. 已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 记，则， 令，则，解得或， 令，则，解得， 故在单调递增，在单调递减， 故， 由于，所以最大值为， 故答案为： 10. 已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用投影向量公式和模的运算公式即可求出结果. 【详解】， 则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 11. 定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，求出，得到数列是等差数列，再由数列的前项和为，对任意正整数恒成立，得到，即可求出结果. 【详解】由题意可得：， 即， 所以当时，， 因此，，而，故，， 所以，所以为常数， 所以数列是等差数列， 又数列的前项和为，对任意正整数恒成立， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由数列的最值求参数的问题，熟记等差数列的概念与等差数列的增减性即可，属于常考题型. 12. 若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】变形给定方程可得，构造函数数形结合求出的范围. 【详解】方程化为， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，因此原方程等价于，令， 依题意，方程在内有两个不同的实数解， 即直线与函数在上的图象有两个交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据小范围推大范围即可判断. 【详解】由小范围推大范围可知为充分不必要条件. 故选：A. 14. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【详解】：甲和乙选中同一课程的选法有种，甲和乙再各选一门有和种，根据乘法原理，甲和乙完成选修课程选择有种，选C. 15. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线AE，BF所成的角为定值 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与平面垂直的性质可证得；运用两个平面平行的性质，可证明平面ABCD；结合三棱锥的体积公式可求其体积为定值；在线段上选取特殊位置，结合异面直线所成的角，即可求得异面直线AE，BF所成的角不是定值. 【详解】对于选项A，在正方体中，平面， 平面，所以，即， 四边形为正方形，则， 又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确. 对于选项B，在正方体中, 平面平面， 平面，所以平面ABCD，故B正确. 对于选项C，连接交于点，设三棱锥的高为， ，平面，平面， 所以点B到直线的距离即为，， 又因为平面，即平面，所以AO为三棱锥的高， 在中，，所以， （定值），故C正确. 对于选项D，设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点， 当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接， 在正方体，且，所以四边形为平行四边形， 所以，即为异面直线AE，BF所成的角， 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为. 当点与重合时，，此时点与点重合，，即， 即为即为异面直线AE，BF所成的角， 在中，，，， ，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为, 异面直线AE，BF所成的角不是定值,故D错误. 故选：D. 16. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积、模的运算求得正确答案. 【详解】设轴方向的单位向量为轴方向的单位向量为， 则， 得， 由向量的数量积运算，得， 从而 ， 所以. 故选：B. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，已知正方体的棱长为. （1）求直线和平面所成角的大小； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的几何特征结合线面角定义得出线面角,再根据边长得出角的正切最后结合反三角得出角; （2）根据二面角定义得出二面角,再应用边长得出正切,最后求出角. 【小问1详解】 平面直线和平面所成角为， ， 则直线和平面所成角的大小为. 【小问2详解】 平面平面平面， 平面, 则二面角的平面角为, . 18. 已知，曲线在点处的切线斜率为. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值； （2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，得， 又函数在点处的切线斜率为， 即， 解得； 【小问2详解】 由（1）得，， 则恒成立， 即在上单调递增， 又， 即函数为奇函数， 由，可知， 即，解得， 即不等式的解集为. 19. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 （1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ （2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 【答案】（1）20，12； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可； （2）根据表格数据求出的值，然后与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 应在A组抽取，应在B组抽取； 【小问2详解】 由题意可得， 因此有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关. 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线． （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：； （3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出双曲线的左顶点，求出直线的方程，联立求得三角形顶点坐标，之后利用三角形的面积公式求得结果. （2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，通过求解.证明. （3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出.推出到直线的距离是定值. 【详解】（1）根据题意可得的左顶点为， 设直线方程为， 与另一条渐近线联立求得交点坐标为， 所以对应三角形的面积为； （2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切， 故，即， 由得， 设，，则，， 则， 故； （3）当直线ON垂直于x轴时，，， 则O到直线MN的距离为． 当直线不垂直于轴时， 设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为. 由与椭圆方程联立， 得，，所以. 同理. 设O到直线MN的距离为d， 则由， 得． 综上，O到直线MN的距离是定值. 【点睛】该题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 21. 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且． （1）求，，，； （2）求数列的前项和； （3）记，，求证：． 【答案】（1），，，； （2）； （3）证明：，所以，． 当时， ， 同时， ． 综上，当时，． 【解析】 【分析】（1）由方程求得，，讨论参数k求对应项； （2）利用等差等比前n项和公式及分组求和求； （3）根据已知求出、，再应用放缩及等比前n项和公式证结论. 【小问1详解】 方程的两个根为，， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $