第二十二章 二次函数 综合测试卷 - 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数综合测试卷 考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝8x B．y＝x2（1+x） C．y＝x2 D．y＝ax2+bx+c 2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 3．在二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 4．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 5．二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点P（﹣1，y1）和Q（m，y2）．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜3 B．1＜m＜3 C．m＜﹣1或m＞3 D．m＜﹣1 6．抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（，0） D．不能确定，与a的值有关 7．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线G的开口向下 B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2 C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4） D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝1 B．当﹣1＜x＜3时，y＜0 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．一元二次方程中ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3 10．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．例如当a＝2时，区域W内的整点个数为1，若区域W内恰有7个整点，则a的取值范围是（　　） A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．2＜a≤3 D．2≤a＜3 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣1，﹣3），则二次函数y＝ax2的解析式是　 　． 12．若二次函数y＝（m+1）x|m|的图象的开口向下，则m的值为　 　． 13．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x，那么矩形面积S与边长x之间的函数关系式为 　 　． 14．将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是　 　． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，那么这些抛物线称为“美丽抛物线”，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为　 　；若这些“美丽抛物线”与抛物线y＝x2+1形状相同，试写出抛物线C10的解析式　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点（2，﹣3） （1）求这条抛物线的解析式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5． （1）将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）直接写出当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y有最大值还是最小值？最值是多少？ 18．（9分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≥4时，求自变量x的取值范围． 19．（9分）已知抛物线经过点（2，﹣3），它的对称轴为直线x＝1，且函数有最小值为﹣4． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使△BCP的面积为△ABC的一半，求出此时点P的横坐标． 20．（9分）近年来，成都体育事业得到了迅速发展，已有更多的市民参与到体育锻炼中来．某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为80元/个，若以100元售出（规定每个篮球的售价不低于进价），每月能售出500个．经调查发现，这种篮球的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个．设每个篮球的售价为x元，每月的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式；（不需要求自变量x的取值范围） （2）设销售这种篮球每月的总利润为W（元），如果该商店这种篮球每月的销量不低于420个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 21．（9分）已知抛物线y＝x2﹣4x+2． （1）此抛物线的顶点坐标是　 　； （2）根据抛物线y＝x2﹣4x+2填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … 0 1 2 3 4 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （3）结合图象回答： ①设抛物线y＝x2﹣4x+2与y轴交于点P（x1，y1），过点P垂直于y轴的直线L与抛物线交于另一点Q（x2，y2），则x1+x2＝　 　； ②若点A（5，t）和点B（m，n）都在抛物线上y＝x2﹣4x+2上，且n＜t，则m的取值范围是　 　． 22．（10分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点． （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值． 23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求直线CM的解析式； （3）求△MCB的面积． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1． C．2． B．3． B．4． D．5． C．6． B．7． D．8． C．9． B．10． A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣1，﹣3），则二次函数y＝ax2的解析式是　y＝﹣3x2　． 12．若二次函数y＝（m+1）x|m|的图象的开口向下，则m的值为　﹣2　． 13．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x，那么矩形面积S与边长x之间的函数关系式为 　S＝﹣x2+20x　． 14．将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是　（4，3）　． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，那么这些抛物线称为“美丽抛物线”，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为　（3，2）　；若这些“美丽抛物线”与抛物线y＝x2+1形状相同，试写出抛物线C10的解析式　y＝﹣（x﹣144）2+49　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点（2，﹣3） （1）求这条抛物线的解析式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：（1）把（2，﹣3）代入y＝x2+bx﹣3， 得：4+2b﹣3＝﹣3，解得：b＝﹣2； 则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）． 17．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5． （1）将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）直接写出当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y有最大值还是最小值？最值是多少？ 解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9； （2）∵y＝﹣（x﹣2）2+9， ∴该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，9）； （3）∵y＝﹣（x﹣2）2+9， ∴当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＝2时，y有最大值，最大值是9． 18．（9分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≥4时，求自变量x的取值范围． 解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x， 设二次函数的表达式是y＝a（x）2+k， 把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：， 解得：a＝1，k， y＝（x）2x2+x﹣2， 所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2； （2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4， 解得：x＝﹣3或2， 所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2． 19．（9分）已知抛物线经过点（2，﹣3），它的对称轴为直线x＝1，且函数有最小值为﹣4． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使△BCP的面积为△ABC的一半，求出此时点P的横坐标． 解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 则y＝a（x﹣1）2﹣4， 将（2，﹣3）代入上式得：﹣3＝a﹣4，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4①； （2）对于y＝（x﹣1）2﹣4， 令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）， 设直线BC的表达式为：y＝mx+t， 则，解得：， 故直线BC的表达式为y＝x﹣3， 分别过点A、P作BC的平行线m，n分别交y轴于点M、N， ∵△BCP的面积为△ABC的一半，故MC＝2NC， 由直线BC的表达式知，直线BC和x轴的夹角为45°，则直线m、n和x轴的夹角均为45°， 则AO＝MO＝1，而OC＝3， 故CNMC（1+3）＝2， 则点N（0，﹣5）， 则直线n的表达式为：y＝x﹣5②， 联立①②并解得， 即点P的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）． 20．（9分）近年来，成都体育事业得到了迅速发展，已有更多的市民参与到体育锻炼中来．某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为80元/个，若以100元售出（规定每个篮球的售价不低于进价），每月能售出500个．经调查发现，这种篮球的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个．设每个篮球的售价为x元，每月的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式；（不需要求自变量x的取值范围） （2）设销售这种篮球每月的总利润为W（元），如果该商店这种篮球每月的销量不低于420个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）y＝500﹣10（x﹣100）＝﹣10x+1500； （2）由题意可得：W＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10（x﹣115）2+12250， ∵﹣10＜0， ∴当x＜115时，y随x的增大而增大， ∵这种篮球每月的销量不低于420个， ∴﹣10x+1500≥420， ∴x≤108， ∴当x＝108时，y＝11760（元）， 答：销售单价定为108元可获得最大利润，最大利润是11760元． 21．（9分）已知抛物线y＝x2﹣4x+2． （1）此抛物线的顶点坐标是　（2，﹣2）　； （2）根据抛物线y＝x2﹣4x+2填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … 0 1 2 3 4 … y … 　2　 　﹣1　 　﹣2　 　﹣1　 　2　 … （3）结合图象回答： ①设抛物线y＝x2﹣4x+2与y轴交于点P（x1，y1），过点P垂直于y轴的直线L与抛物线交于另一点Q（x2，y2），则x1+x2＝　4　； ②若点A（5，t）和点B（m，n）都在抛物线上y＝x2﹣4x+2上，且n＜t，则m的取值范围是　﹣1＜m＜5　． 解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， ∴抛物线y＝x2﹣4x+2的顶点坐标为（2，﹣2）． 故答案为：（2，﹣2）． （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 … 描点、连线画出函数图象如图： （3）①根据函数图象可知，x1+x2＝4， 故答案为4； ②∵对称轴为直线x＝2， ∴A关于对称轴的对称点为（﹣1，t）， ∵n＜t， 由图象可得m的取值范围是﹣1＜m＜5， 故答案为﹣1＜m＜5． 22．（10分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点． （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值． 解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2， ∴一次函数为y＝﹣2x+4， 又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4， 把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2． （2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0 ∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝2， ∴W＝OA2+BC2 ∴当m＝1时，W取得最小值7． 23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求直线CM的解析式； （3）求△MCB的面积． 解：（1）根据题意得， 解得， 所以二次函数解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， 则M点坐标为（2，9）， 设直线MC的解析式为y＝mx+n， 把M（2，9）和C（0，5）代入得， 解得， 所以直线CM的解析式为y＝2x+5； （3）把y＝0代入y＝2x+5得2x+5＝0， 解得x， 则E点坐标为（，0）， 把y＝0代入y＝﹣x2+4x+5得﹣x2+4x+5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， 所以S△MCB＝S△MBE﹣S△CBE95＝15． 学科网（北京）股份有限公司 $$