精品解析：人教版2023-2024学年九年级数学下册期中测试卷（ 第二十一章至第二十三章 ）

期中综合测试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解； 【详解】解：原方程可化为：， 因此或， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 3. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可． 【详解】解：根据题意， 把一元二次方程配方得：， 即， ∴化成的形式为． 故选：B． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 点P(2a+1，4)与P'(1，3b-1)关于原点对称，则2a+b=（ ） A. 3 B. -2 C. -3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是可得到的值，再代入中可得到答案． 【详解】解：点P(2a+1，4)与P'(1，3b-1)关于原点对称， 则，， 解得，， ， 故选C． 【点睛】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点，根据关于原点对称点的坐标特点求出的值是解答本题的关键． 6. 如图，在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为570平方米，则小路的入口宽度为（ ） A. 0.5米 B. 1米 C. 2米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设小路的入口宽度为x米，则 ， 解得：，（舍）， 答：小路的入口宽度为米， 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△＝−4ac＝16＋4k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝−4ac＝16＋4k＞0， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 8. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是（　　） A. m＝1 B. m＝﹣1 C. m＝1或m＝﹣1 D. m＝﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把x＝0代入方程，即可求出m的值，又根据定义，m﹣1≠0，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，把x＝0代入原方程得， m2﹣1＝0， ∴m＝±1， 又∵m﹣1≠0，即m≠1， ∴m＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和定义，注意求出m的值应同时使方程有意义． 9. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 10. 如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （4，2）或（﹣4，2） B. （2，﹣4）或（﹣2，4） C. （﹣2，2）或（2，﹣2） D. （2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 12. 若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，则符合条件的整数的个数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式确定a的一个取值范围，根据不等式组的解集，确定一个a的取值范围，综合两个范围确定答案即可． 【详解】∵整数使得关于的一元二次方程有实数根， ∴a+2≠0，≥0， ∴a≤2且a≠-2； ∵的解集为a＜x≤3，且最多有个整数解， ∴-3≤a＜3， ∴-3≤a≤2，a≠-2， ∴a的值为-3，-1，0，1，2共有5个， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，不等式组的特殊解，熟练掌握根的判别式，不等式组解法是解题的关键． 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. 二次函数y＝2x2﹣4x+5的顶点坐标是_____． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】先把y＝2x2﹣4x+5进行配方得到抛物线的顶点式y＝2（x﹣1）2+3，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+5 ＝2（x2﹣2x+1）+3 ＝2（x﹣1）2+3， 故二次函数y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：二次函数的顶点式y=a（x+）2+，其顶点坐标为（-，）． 14. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】在直角三角形中利用三角函数首先求得和的长，然后证明是等边三角形，根据即可求解． 【详解】解：直角中，，， ，， 又，， 是等边三角形， ， ． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了三角函数和旋转的性质，解题的关键是正确证明是等边三角形是关键． 15. 如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号） 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0， 所以abc＜0，故①错误； 对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确； 当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误； 当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确； 当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提． 16. 10月28日第七届军运会在武汉闭幕，中国人民解放军体育代表团共获得133枚金牌、64枚银牌、42枚铜牌，位居金牌榜和奖牌榜第一．闭幕后对部分志愿者做了一次“我最喜爱观看的比赛”问卷调查（每名志愿者都填了调查表，且只选了一个项目），统计后射击、游泳、田径、篮球榜上有名．其中选射击的人数比选游泳的少8人；选田径的人数不仅比选游泳的人多，且为整数倍；选田径与选游泳的人数之和是选篮球与选射击的人数之和的5倍；选田径与选篮球的人数之和比选射击与选游泳的人数之和多24人．则参加调查问卷的志愿者有________人． 【答案】 【解析】 【分析】设选射击的人数有人，选篮球的有人，则选游泳的有人，选田径的人数有人，根据：选田径与选游泳的人数之和是选篮球与选射击的人数之和的5倍；选田径与选篮球的人数之和比选射击与选游泳的人数之和多24人，列出方程组，组中两个方程相减得到二元一次方程，由于人数为正整数，得到、所有可能值，代入方程组中，只有满足为整数倍的才合题意．然后计算出参加调查问卷的志愿者人数．本题考查了三元一次方程组的正整数解、多元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键． 【详解】解：设选射击的人数有人，选篮球的有人，则选游泳的有人，选田径的人数有人， 根据题意得：， ②可变形为：③， ①③，得， 即； ①③，得． 、都是正整数， 或或或或或， 当、、、、时， 都不是整数，不合题意． 当，时，． 选射击的人数有2人，选篮球的有6人，选游泳的有10人，选田径的人数有30人， 由于每名志愿者都填了调查表，且只选了一个项目， 所以参加调查问卷的志愿者生有（人）． 故答案为：48． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18题各8分，19至25题每题10分，共86分） 17 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程，即可作答． （2）运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 则， ∴， 则； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或 ∴． 18. 如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上． （1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′； （2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″； （3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是 ． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（2，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求； （2）如图所示：△A″B″C″，即为所求； （3）将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是（2，﹣3）． 19. 先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）． 【详解】解： ∵a是方程x2－x=6的根， ∴a2－a=6． ∴原式=． 20. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）（1+2，4）或（1﹣2，4），（1，﹣4）， 【解析】 【分析】（1）直接把A，C点代入进而求出函数解析式； （2）直接求出B点坐标进而利用函数图象得出答案； （3）分点P在x轴上方时，点P在x轴下方时两种情况，分别求解得出答案． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3， 则（x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 故B（3，0）， 则不等式x2+bx+c＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3； （3）设P的纵坐标为|yP|， ∵S△PAB＝8， ∴AB•|yP|＝8， ∵AB＝3+1＝4， ∴|yP|＝4， ∴yP＝±4， 当点P在x轴上方时，∴yP＝4， 把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3， 解得，x＝1±2， ∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）． 当点P在x轴下方时，∴yP＝﹣4， 把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3， 解得，x＝1， ∴点P在该抛物线上滑动到（1，﹣4）， 综上所述：P点坐标为：（1+2，4）或（1，﹣4）或（1﹣2，4）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式组，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，掌握三角形面积计算公式． 21. 某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x+1200 （2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元 【解析】 【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可； （2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50）， 将（60，600），（80，400）代入，得： ，解得：， ∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200； 【小问2详解】 解：由题意得： w＝（﹣10x+1200）（x﹣50） ＝﹣10x2+1700x﹣60000 ＝﹣10（x﹣85）2+12250， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%， ∴x≤50×（1+30%），即x≤65， ∵﹣10＜0， ∴当x≤85时，w随x的增大而增大， ∴当x＝65时，w取得最大值，最大值为﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250． ∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、二次函数的实际应用，理解题意，正确求出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 22. 如图1，二次函数图象交坐标轴于点A，，点P为x轴上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）过点P作轴分别交线段，抛物线于点Q，C，连接．当时，求的面积； （3）如图2，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．当点D在抛物线上时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）先求直线的解析式为，则，，可求； （3）设，过点作轴垂线交于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式得，求得或． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， ； 【小问2详解】 令，则， 或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， 轴， ，， ， ； 【小问3详解】 设， 如图2，过点作轴垂线交于点， ∴ ， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得或， 或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合． 23. 新春佳节期间，家家户户需购置大量年货，其中零食和水果是必需品．某小区商贩大批购进旺旺大礼包和沙田柚，已知购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元． （1）请求出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价． （2）年前该商贩将旺旺大礼包进价提高出售，沙田柚售价每个8元，每天可销售沙田柚50个，年后需求量下降，该商贩决定在年前售价的基础上降价促销以增加销量，尽可能多地减少库存，若旺旺大礼包每降价2元，每天销量在40个的基础上增加10个，年后沙田柚打7.5折出售，每天销量在年前基础上增加10个，若要使年后每天利润达到780元，则旺旺大礼包售价每天降低多少元出售？ 【答案】（1）每个旺旺大礼包的进价为25元和每个沙田柚的进价为4元． （2）旺旺大礼包售价降低4元出售． 【解析】 【分析】（1）设每个旺旺大礼包的进价为x元和每个沙田柚的进价为y元．根据等量关系：购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元，列方程组，解方程组即可； （2）根据每个旺旺大礼包的利润×礼包的销量+每个田柚的利润×田柚的销量=780列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每个旺旺大礼包的进价为x元和每个沙田柚的进价为y元． 根据题意，得， 解得， 答每个旺旺大礼包的进价为25元和每个沙田柚的进价为4元． 【小问2详解】 解：设旺旺大礼包售价降低m元出售， 旺旺大礼包进价提高出售售价为：25×(1+60%)=40元， ， 整理得， 解得， 经检验都是方程解， 因为尽可能多地减少库存， ∴， 所以旺旺大礼包售价降低4元出售． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列一元二次方程解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题，列一元二次方程解应用题方法与步骤是解题关键． 24. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． （1）求抛物线H的表达式； （2）如图1，点P在线段上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，求的面积的最大值； （3）如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，，， 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意求得直线的解析式为，设，则，进而根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据即可求解； （3）设，，，则，，，分①当时，，即，②当时，，即，③当时，即，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入，得：，解得：， ∴抛物线H的表达式为； 【小问2详解】 如图1，由（1）知：，令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴PD//OC， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，； 【小问3详解】 ∵． ∴设，， ∴，， ①当时， 即， 解得 ∴， ②当时，，即 解得，即 ③当时，即 解得，即 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键． 25. 如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论； （2）连接AF，由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明 在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案； （3）在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明∠BPC=120°，进而得到，设PD为， 得出，，得出，解出a，根据即可得出答案． 【详解】解：（1）证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，F为DE中点（同时），， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）连接AF，由（1）得，，， ∴， 在中，， ∵F为DE中点， ∴， 在四边形ADCE中，有，， ∴点A，D，C，E四点共圆， ∵F为DE中点， ∴F为圆心，则， 在中， ∵， ∴F为CG中点，即， ∴， 即； （3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP， ∴AP+BP+CP=DE+DP+CP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上； 如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP， ∴AP+BP+CP=GF+GP+BP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上； 综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点， ∴△AEC≌△ABF， ∴∠AEC=∠ABF， ∴∠EPB=EAB=60°， ∴∠BPC=120°， 如图4，同理可得，， ∴， 设PD为， ∴， 又， ∴， 又 ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合测试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 点P(2a+1，4)与P'(1，3b-1)关于原点对称，则2a+b=（ ） A. 3 B. -2 C. -3 D. 2 6. 如图，在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为570平方米，则小路的入口宽度为（ ） A. 0.5米 B. 1米 C. 2米 D. 3米 7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 关于x一元二次方程（m﹣1）x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是（　　） A. m＝1 B. m＝﹣1 C. m＝1或m＝﹣1 D. m＝﹣ 9. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 10. 如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （4，2）或（﹣4，2） B. （2，﹣4）或（﹣2，4） C. （﹣2，2）或（2，﹣2） D. （2，﹣2）或（﹣2，2） 11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 12. 若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，则符合条件的整数的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13. 二次函数y＝2x2﹣4x+5顶点坐标是_____． 14. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____． 15. 如图，二次函数函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号） 16. 10月28日第七届军运会在武汉闭幕，中国人民解放军体育代表团共获得133枚金牌、64枚银牌、42枚铜牌，位居金牌榜和奖牌榜第一．闭幕后对部分志愿者做了一次“我最喜爱观看的比赛”问卷调查（每名志愿者都填了调查表，且只选了一个项目），统计后射击、游泳、田径、篮球榜上有名．其中选射击的人数比选游泳的少8人；选田径的人数不仅比选游泳的人多，且为整数倍；选田径与选游泳的人数之和是选篮球与选射击的人数之和的5倍；选田径与选篮球的人数之和比选射击与选游泳的人数之和多24人．则参加调查问卷的志愿者有________人． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18题各8分，19至25题每题10分，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上． （1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请图中画出△A′B′C′； （2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″； （3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是 ． 19. 先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 20. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线解析式； （2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标． 21. 某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图1，二次函数图象交坐标轴于点A，，点P为x轴上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）过点P作轴分别交线段，抛物线于点Q，C，连接．当时，求的面积； （3）如图2，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．当点D在抛物线上时，求点D的坐标． 23. 新春佳节期间，家家户户需购置大量年货，其中零食和水果是必需品．某小区商贩大批购进旺旺大礼包和沙田柚，已知购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元． （1）请求出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价． （2）年前该商贩将旺旺大礼包进价提高出售，沙田柚售价每个8元，每天可销售沙田柚50个，年后需求量下降，该商贩决定在年前售价的基础上降价促销以增加销量，尽可能多地减少库存，若旺旺大礼包每降价2元，每天销量在40个的基础上增加10个，年后沙田柚打7.5折出售，每天销量在年前基础上增加10个，若要使年后每天利润达到780元，则旺旺大礼包售价每天降低多少元出售？ 24. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． （1）求抛物线H的表达式； （2）如图1，点P在线段上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，求的面积的最大值； （3）如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 25. 如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$