2.1.2《有理数的减法》课件 2024-2025学年人教版七年级数学上册

2.1.2 有理数的减法 第二章 有理数的运算 人教版初中数学/七年级上册 授课教师：XXX 日期：XXX 学习目标 1. 理解掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算； 2. 通过把有理数的减法运算转化为加法运算，渗透转化思想，培养应变能力、计算能力. 3. 理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算. 预习检测 1. 判断对的打“√”错的打“×” (1) 若两个数的差为0，则这两个数必相等. ( ) (2) 两个有理数的差一定小于被减数. ( ) (3) 互为相反数的两个数相减，差必为0. ( ) (4) 0减任何数，差都是负数. ( ) (5) 两个负数的差一定小于0. ( ) √ × × × × 4 （ -4 ） -2.61 -11或-5 2. 填空 （1）（-7）-（-14）= . （2）0- = 4 （3）若一个加数是1.8，和是-0.81，则另一个加数为 . （4）- 的绝对值的相反数与 的相反数的差是 . （5）若|a|=8，|b|=3，且a<b，则a-b= . 3 1 3 1 3 1 预习检测 第一课时 2.1.2 有理数的减法 有理数的减法 授课教师：XXX 日期：XXX 复习回顾 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2. 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加等于0. 3. 一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法法则 （1） a+b=b+a（加法交换律） （2）（a+b）+c=a+（b+c）（加法结合律） 有理数的加法运算律 新知探究 北京某天的气温是-3 ℃ ~3 ℃，请问这天温差是多少？你是怎样算的？（温差是指最高气温减最低气温） 6 0 3 -3 0 3 -3 你能看出3ºC比-3ºC高多少摄氏度吗？ 列式： . 3 - ( -3 ) 这里用到正数与负数的减法。 新知探究 我们知道，减法是加法的逆运算，计算3-（-3），就是要求一个数x，使得x+（-3）=3，因为 +（-3）=3，所以x= ，即 3-（-3）= . 另一方面，我们知道 3+（+3）= 6. 由①、②两式，有 . ① ② ③ 3-（-3）= 3+（+3） 6 6 6 新知探究 探究 0-(-3)=0+3=3， (-1)-(-3)=(-1)+3=2， (-5)-(-3)=(-5)+3=-2. 从3-(-3)= 3+(+3)能看出减-3相当于加哪个数吗？把3换成0，-1，-5，用上面的方法考虑0-(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3).这些数减 -3的结果与它们加+3的结果相同吗？ 这些数减-3的结果与它们加+3的结果 . 相同 新知探究 探究 计算9-8，9+(-8)，15-7，15+(-7)，从中又有什么新发现？ 9-8 = 9+(-8)=1，15-7 = 15+(-7)=8 新知探究 表达式为： a － b＝ a ＋ (－b) 减号变加号 减数变其相反数 被减数不变 有理数减法法则： 减去一个数等于加这个数的相反数. 通过上面的探究可得结论 新知探究 注意： 法则中的“两变”和“一不变” (1)“两变”是指把运算符号“-’号变为运算符号“+”号，把减数变为它的相反数； (2)“一不变”是指被减数和减数的位置固定不变。 典例解析 （1）(-3)-(-5)； = (-3)+5 = 2 例4 计算 （2）0-7； = 0+(-7) = -7 （3）2-5； = 2+(-5) = -3 （4）7.2-(-4.8)； = 7.2+4.8 = 12 （5）(-3 ) – 5 ； 2 1 4 1 = (-3 ) +(-5 ) 2 1 4 1 = -8 4 3 变式练习 易错点：已知一个数的绝对值，则这个数的取值一般有两种情况注意不要漏解. 1. 在(-4)-( )= -9中的括号里应填 . 2. 绝对值是 的数减去 所得的差是 . 3 2 3 1 5 3 1 或-1 变式练习 3.计算： (1)9-13； (2)0-11； (3)0-(-6)； (4)4.6-(-3.4)； (5)(- )- ； (6)|-3-(-7)|. 3 2 6 1 (6)原式=|-3+7|=4. 解: (1)原式=9+(-13)=-4； (2)原式=0+(-11)=-11； (3)原式=0+6=6； (4)原式=4.6+3.4=8； 3 2 6 1 6 5 (5)原式=(- )+(- ) = - 新知探究 思考 在小学，只有当a大于或等于b时(其中a，b是0或正数)，我们才能计算a-b(如2-1，1-1).现在，当a小于b时，你能计算a-b(如1-2，(-1)-1)吗？ 一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号是 . 负号 当a大于或等于b时，a-b≥0；当a小于b时，a-b<0 课堂练习 1. 计算： (1) 6-9； (2) (+4)-(-7)； (3) (-5)-(-8) ； (4) 0-(-5)； (5) 0-0.2； (6) (-2.5)-5.9； (7) 1.9-(-0.6)； (8) ( - )- ； (9) ( +1 ) - ( -3 ) 2 1 4 1 7 2 2 1 解：(1)原式= -3； (2)原式=11； (3)原式=3； (4)原式=5； (5)原式= -0.2； (6)原式= -8.4；(7)原式= 2.5； (8)原式= - ； (9)原式= ； 4 3 14 67 课堂练习 (1) 比2℃低8℃的温度； (2) 比-3℃低6℃的温度. 2.计算： 解：2-8 = -6℃ 解：-3-6 = -9℃ 3.有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列运算结果中是正数的有（ ） -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 a b c d ①a-b； ②b-c； ③d-a； ④c-a. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 考点解析 例 某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表所示，则这四天中温差最大的是( ) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 C 星期 一 二 三 四 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 最低气温 3℃ 0℃ -2℃ -3℃ 解析： 星期 一 二 三 四 温差 10-3=7℃ 12-0=12℃ 11-(-2)=11+2=13℃ 9-(-3)=9+3=12℃ 变式练习 1.小怡家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室温度是-12℃，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高( ) A.13℃ B.-13℃ C.17℃ D.-17℃ 2.某市冬季中的一天，中午12时的气温是-3℃，经过6h气温下降了7℃，那么当天18时的气温是 . 3.矿井下A，B，C三处的标高分别是A(-37.5m)，B(-129.7m)，C(-73.2m)，最高处比最低处高 m. -10℃ 92.2 C 考点解析 例 根据图中数轴提供的信息，回答下列问题： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 (1)A，B两点之间的距离是多少？ (2)B，C两点之间的距离是多少？ C B A 解：点A表示的数是2，点B表示的数是- ，点C表示的数是-3. 3 4 (1)A，B两点之间的距离：| 2-(- )|=|2+ |= ； 3 4 3 4 3 10 3 4 3 4 3 5 (2)B，C两点之间的距离：|( - )-( -3 )|=|- +3|= . 3 4 变式练习 1.数轴上表示-8的点与表示2的点之间的距离为 . 2.数轴上表示-3.7的点与表示-1.9的点之间的距离为 . 3.如图，数轴上M，N两点所对应的数分别为m，n,则m-n的结果可能是( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 10 1.8 C -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 N M 归纳小结 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法来解决减法问题。 有理数减法法则： 减去一个数等于加这个数的相反数. 表达式为： a － b＝ a ＋ (－b) 减号变加号 减数变其相反数 被减数不变 第二课时 2.1.2 有理数的减法 有理数加减法混合运算 授课教师：XXX 日期：XXX 情境导入 一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 记作 上升4.5千米 +4.5千米 下降3.2千米 -3.2千米 上升1.1千米 +1.1千米 下降1.4千米 -1.4千米 此时，飞机比起飞点高了多少千米？ 情境导入 高度变化 记作 上升4.5千米 +4.5千米 下降3.2千米 -3.2千米 上升1.1千米 +1.1千米 下降1.4千米 -1.4千米 方法一： 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4) =1.3+1.1+(-1.4) =2.4+(-1.4) =1(千米) 方法二： 4.5-3.2+1.1-1.4 =1.3+1.1-1.4 =2.4-1.4 =1(千米) 比较两种算法，你发现了什么？ 新知探究 尝试计算： 例5 ( -20 ) + ( +3 ) - ( -5 ) - ( + 7 ) 分析： 1. 算式中都含有什么运算？ 2. 动脑思考这个算式应该怎样解决？把你的想法和同桌交流一下. 3. 请按照你的思路动笔做一做. 新知探究 计算： ( -20 ) + ( +3 ) - ( -5 ) - ( + 7 ) 解： ( -20 ) + ( +3 ) - ( -5 ) - ( + 7 ) = ( -20 ) + ( +3 ) + ( +5 ) + ( - 7 ) = [( -20 ) + ( -7 ) ]+ ( +5 ) + ( + 3 ) = ( -27 ) + ( +8 ) = -19 可不可以将减法转化为加法呢？ 这里使用了哪些运算律？ 新知探究 观察算式： 这个算式中是求哪几个数的和？ -20，3，5，-7这四个数的和 省略括号和加号 负20， 正3， 正5， 负7的和 负20加3加5减7. 读作： 或： ( + ) + -20 ( ) +3 ( ) +5 + ( ) -7 -7 +5 +3 -20 在省略括号和加号之前，必须统一转化为加法运算. 新知探究 解： (-20)＋(＋3)-(-5)-(＋7) ＝-20＋3＋5-7 ＝-20-7＋3＋5 ＝-27 ＋8 ＝-19 ＝ (-20)＋(＋3)＋(＋5)＋(-7) 那么： 的计算就可以简写为： ( -20 ) + ( +3 ) - ( -5 ) - ( + 7 ) 新知探究 归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算. 字母表示：a+b-c=a+b+(-c) 方法提炼 根据有理数的减法法则，首先把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为连加运算，然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算。 有理数加减混合运算的方法： 典例解析 14 – 25 + 12 - 17 例6 计算 解：14 – 25 + 12 – 17 =14+12-25-17 =26-42 =-16 考点解析 例 把(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+(+3)写成省略括号和加号的形式，并说出它的两种读法. 分析：第一步：统一成加法；第二步：省略括号和加号；第三步：按照两种读法规则读出算式. 解:(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+(+3) =9+(-10)+(-2)+8+3 =9-10-2+8+3. 读法一：正9、负10、负2、正8、正3的和，读法二：9减10减2加8加3. 变式练习 1.式子-20+3-5+7正确的读法是（ ） A.负20加3减5加7的和 B.负20加3减负5加7的和. C.负20加3减5加7 D.负20加3减负5加7 2.下列各式中,与式子-1-2+3不相等的是（ ） A.(-1)+(-2)+(+3) B.(-1)-2+(+3) C.(-1)+(-2)-(-3) D.(-1)-(-2)-(-3) C D 考点解析 例 在班级元旦联欢会上，主持人邀请李强、张华两位同学参加一个游戏，游戏规则是每人每次抽取四张卡片，如果抽到红色卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到蓝色卡片，那么减去卡片上的数.比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果较小的为同学们唱歌.李强同学抽到如图①所示的四张卡片，张华同学抽到如图②所示的四张卡片，李强、张华谁会为同学们唱歌呢? ① ② 2 1 2 3 - -5 4 6 7 - 3 1 -1 0 5 考点解析 ① ② 2 1 2 3 - -5 4 6 7 - 3 1 -1 0 5 解：李强同学所抽卡片的计算结果： 张华同学所抽卡片的计算结果： - +(- )-(-5)+4 = - +5+4=7 2 1 2 3 2 1 2 3 - - (-1 )-0+5 = - +1 +5=5 6 7 3 1 6 7 3 1 6 1 因为7＞5 6 1 所以张华会为同学们唱歌。 变式练习 2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，每人每周计划生产2100个口罩，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是工人小王某周的生产情况(超产记为正，减产记为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增产量（个） +5 -2 -4 +13 -9 +15 -8 (1)根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量； (2)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.5元，若超额完成每周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少? 变式练习 星期 一 二 三 四 五 六 日 增产量（个） +5 -2 -4 +13 -9 +15 -8 (1)根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量； 解: (1) 由题意得： 2100+(5-2-4+13-9+15-8)=2110(个)， ∴小王本周实际生产口罩数量是2110个； 变式练习 星期 一 二 三 四 五 六 日 增产量（个） +5 -2 -4 +13 -9 +15 -8 (2)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.5元，若超额完成每周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少? 解: (2) ∵本周多生产口罩数为5-2-4+13-9+15-8=10(个)， ∴小王本周的工资总额是 2100×0.5+10×(0.5+0.15)=1056.5（元） 合作探究 在数轴上, 点 A，B 分别表示 a, b. 对于下列各组数a，b： a＝2，b＝6；a＝0，b＝6； a＝2，b＝-6；a＝-2，b＝-6. (1) 观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ (2)利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗？ 一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？ 探究 合作探究 a＝2，b＝6；a＝0，b＝6； a＝2，b＝-6；a＝-2，b＝-6. AB = |2-6| = 4 AB = |0-6| = 6 AB = |2-(-6)|= 8 AB =| -2-(-6)|= 4 0 1 6 5 4 3 2 -1 A B -4 -3 2 1 0 -1 -2 -5 -6 B A 0 1 6 5 4 3 2 -1 A B -4 -3 2 1 0 -1 -2 -5 -6 B A 数轴上，A，B之间的距离就是a，b 差的绝对值值。 课堂练习 1.计算 (1) 1-4+3-0.5 (2) -2.4+3.5-4.6+3.5 (3) (-7)-(+5)+(-4)-(-10) (4) - +(- )-(- )-1 4 3 2 7 6 1 3 2 解：(1) 原式=1+3-4-0.5=-0.5 (2) 原式=-(2.4+4.6)+3.5+3.5=0 (3) 原式=-(7+5+4)+10=-6 (4) 原式= - - + -1 = - 4 3 2 7 6 1 3 2 4 13 课堂练习 2.将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： (1) (-52)-(+37)+(-19)-(-24) 解：原式= (-52)+(-37)+(-19)+(+24) = -52-37-19+24 = -84 课堂练习 (2) (+2 ) - (- ) - (-3 )-(+5 ) 4 3 2 1 2 1 4 3 解：原式= (+2 )+(+ )+(+3 )+(-5 ) 4 3 2 1 4 3 2 1 = 2 + +3 -5 4 3 2 1 2 1 4 3 = (2 +3 ) + ( - 5 ) 4 3 4 3 2 1 2 1 = 6 + (-5) 2 1 = 2 3 随堂检测 (1) (+7) -(-4) = (2) (-0.45)-(-0.55) = (3) 0-(-9) = (4) (-4)-0 = 1．计算 11 0.1 9 -4 (5) (-5)-(+3) = (6) (-4.9)－ (-6 )= -8 1.35 4 1 随堂检测 2．填空 (1) 温度4℃比－6℃高________℃ ；  (2) 温度－7℃比－2℃低_________℃ ；  (3) 海拔高度－13m比－200m高_______m；  (4) 从海拔20m到－40m，下降了______m. 10 5 187 60 随堂检测 3.判断 (1)在有理数的加法中，两数的和一定比加数大.( ) (2)两个数相减，被减数一定比减数大.( ) (3)两数之差一定小于被减数.( ) (4)0减去任何数，差都为负数.( ) (5)较大的数减去较小的数，差一定是正数.( ) √ × × × × 随堂检测 4. 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？ 解： 20－(－10)=20＋10＝30(分) 即答对一题与答错一题相差30分. 随堂检测 5.以地面为基准，A处高＋2.5 m，B处高－17.8 m，C处高－32.4 m. 问： (1) A处比B处高多少? (2) B处和C处哪个地方高?高多少? (3) A处和C处哪个地方低?低多少? 解： (＋2.5)-(-32.4)＝2.5＋32.4＝34.9(m). (1)＋2.5-(-17.8)=2.5＋17.8＝20.3 (m) (2) B -17.8-(-32.4) ＝-17.8＋32.4＝14.6(m) (3) C 随堂检测 6、设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a- b + c=（ ） A、-1 B、0 C、1 D、2 C 知识点拨：a是0，b是-1，c是0，所以结果为b的相反数1. 7、下列各式不成立的是（ ） A、20+（-9）-7+（-10）=20-9-7-10 B、-1+3+（-2）-11=-1+3-2-11 C、-3.1+（-4.9）+（-2.6）-4 =-3.1-4.9-2.6-4 D、-7+（-18）+（-21）-34=-7-（18-21）-34 D 知识点拨：D、-7+（-18）+（-21）-34=-7-（18-21）-34 随堂检测 8、1-2+3-4+5-6+ … … -2018+2019的结果是（ ） A、-1 B、0 C、1010 D、2019 C 知识点拨：原式= （1-2）+（3-4）+（5-6）+ … … +（2017-2018）+2019=（-1） ×1009+2019=-1009+2019=1010 9、大家知道｜5｜= ｜5-0｜，它在数轴上的意义是表示5的点与原点之间的距离，又如式子｜6-3｜，它在数轴上的意义表示6的点与3的点之间的距离，类似的，式子｜a+5｜在数轴上的意义是 数轴上a表示的点与-5 知识点拨： ｜a+5｜= ｜a-(-5)｜ 表示的点之间的距离 课程小结 方法一：减法转化成加法 1.减法变加法：a+b-c=a+b+(-c) 2.运用加法交换律使同号两数分别相加； 3.按有理数加法法则计算. 有理数加减法混合运算的步骤为： 方法二：省略加号和括号法 1.省略括号； 2.同号放一起； 3.进行加减运算, $$