第三章正方形中的技巧 练习2024年九年级中考数学复习

第三章 正方形 第一节 常见构图 1．如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为　　． 2．如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　 A． B． C． D． 3．如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若，则的长为　　． 4．如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则　　． 5．如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是　　． 6．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为　　． 7．如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，，则点到的距离为　　． 8．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为　　 A．1 B． C． D．2 9．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为　　 A．14 B．15 C． D． 10．如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接，，为的中点，连接分别与，交于点、：则下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上．是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）若，，求的长． 13．如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，． （1）试证明，并求的值． （2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 正方形 第一节 常见构图 1．如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为　135　． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ，， ， ，故答案为：135． 2．如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， ，， 将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，，， ，， ，在与中，，，，故选：． 3．如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若，则的长为　　． 【解答】解：设，则，． 在中，利用勾股定理可得． 根据折叠的性质可知，所以． 在中，利用勾股定理可得， 在中，利用勾股定理可得， 所以， 解得．则． 故答案为：． 4．如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则　　． 【解答】解：连接，在正方形、中，，， ，设，， ，， ，故答案为：． 5．如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是　2　． 【解答】解：如图所示，由折叠可得，， 正方形中，是的中点， ， ， ， 又是的外角， ， ， ， ． 故答案为：2． 6．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为　1　． 【解答】解：方法一：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，分别是，的中点， ； 方法二：设，交于， 四边形是正方形， ，， 点，分别是边，的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点，分别是，的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 7．如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，，则点到的距离为　　． 【解答】解：解法一：在正方形中，对角线与交于点，，， ，点是的中点， ，垂直平分， ，，， ，，，，． 过作于，， ，， ，， ， ， 即点到的距离为， 解法二：在正方形中，对角线与交于点， ，， ， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为　　 A．1 B． C． D．2 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 将四边形沿折叠，点恰好落在边上，，， ， ，设，则，， ，解得．故选：． 9．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为　　 A．14 B．15 C． D． 【解答】解：如图，连接，．设交于． 四边形，四边形都是正方形， ， ，， ， ，，共线，，，共线，、、共线，， ，， ， ， ，，， ，，设，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，（负根已经舍弃）， ，， ， ，， ，故选：． 10．如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接，，为的中点，连接分别与，交于点、：则下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四边形是正方形，， ，， 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故③正确； 延长交于， 四边形是矩形， ， ，， 故④正确， 故选：． 11．如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上．是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是　　 A． ①②③ B．①②④ B． C．①③④ D．②③④ 【解答】解：如图，四边形和四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故①正确； 是直角三角形，为的中点， ， 点在正方形的外接圆上， ， ，， ， 故②正确； ， ， 又是的中点， ， ， ， 设和相交于点． 设，则，设正方形的边长是，则，， ，即， 解得：，或（舍去）， 则， ， 故③正确； ， ， 是的中位线， ， ， 设正方形的边长是， ， ， ，， ，， ，， ， ，， ，， 故④错误，故选：． 12．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点． （1）求证：为等腰直角三角形． （2）若，，求的长． 【解答】证明：（1）四边形，四边形都是正方形 ，，， ， 四边形是平行四边形 ， ，， ，， ，且 ，且 为等腰直角三角形． （2），，，，，且 13．如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，． （1）试证明，并求的值． （2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由． 【解答】（1）证明：如图1中，延长交的延长线于． 四边形，四边形都是正方形， ， ， ，， ， ，， ，， ， ，， ，， 连接，，设，则，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：（1）中的值有变化． 理由：如图2中，连接，交于点，连接，，，交于． ，， ，， ， ，，共线， ， ， ，， ， 与互相平分， ， 点在直线上， ， 四边形是矩形， ， ，， ，设，则， 易知，，， ，， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 弦图构造 1．如图，已知正方形的边长为5，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　　． 2．如图，在矩形中，，．若点是边的中点，连接，过点作交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 3．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连接． 【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若，则的长为　　． 【应用】如图③，取的中点，连接．过点作交于点，连接、．若，则四边形的面积为　　． 4．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为　　． 5．如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度． 6．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 7．如图，正方形中，为边上一点，于，于，连接． （1）求证：； （2）若，四边形的面积为6，求的长． 8．已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、． （1）求证：； （2）连接，如果．求证：． 9．如图，在正方形中，，点在边上，连接，作于点，于点，连接、，设，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若点从点沿边运动至点停止，求点，所经过的路径与边围成的图形的面积． 10．如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求的值． 11．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，作于点，于点，设． （1）求证：． （2）连接，，设，．求证：． （3）设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值． 12．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． ①求证：； ②推断：的值为　　； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 13．如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，，点是正方形的中心，连接，． （1）求证：． （2）请判定的形状，并说明理由． （3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积为，求关于的函数关系式（写出的范围）；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 弦图构造 1．如图，已知正方形的边长为5，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　　． 【解答】解：四边形为正方形， ，， 在和中，， ，， ，， ，点为的中点， ，、， ，， 故答案为：． 2．如图，在矩形中，，．若点是边的中点，连接，过点作交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接． 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ．故选：． 3．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连接． 【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若，则的长为　2　． 【应用】如图③，取的中点，连接．过点作交于点，连接、．若，则四边形的面积为　　． 【解答】解：感知：四边形是正方形， ，， ，， ，， 在和中，， ； 探究：（1）如图②， 过点作于， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ，， 同感知的方法得，， 在和中，， ，， （2）由（1）知，， 连接，，点是的中点， ，，故答案为：2． 应用：同探究（2）得，， ， 同探究（1）得，， ， ， 故答案为9． 4．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为　　． 【解答】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，，， ，又， ，， ，在中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 5．如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度． 【解答】解：四边形是矩形， ，． ， ． ， ，． 又， ， ， ，即， ，即的长度为． 6．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， 由（1）得：， ， ， 四边形是正方形， ，， 由勾股定理得：． 7．如图，正方形中，为边上一点，于，于，连接． （1）求证：； （2）若，四边形的面积为6，求的长． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ． （2）设，则， ， 整理得：， 解得或（舍弃）， ． 8．已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、． （1）求证：； （2）连接，如果．求证：． 【解答】证明：（1）四边形为正方形， ，， ，，， ，， ，在和中 ，， ，； （2）如图，， 而，， ，， ，而， ，， ，即平分， 而，． 9．如图，在正方形中，，点在边上，连接，作于点，于点，连接、，设，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若点从点沿边运动至点停止，求点，所经过的路径与边围成的图形的面积． 【解答】解：（1）证明：在正方形中，，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）在和中，，， ． 由①可知，， ， ， 由①可知，， ， ， ，， ， ． ． （3），， ， 当点从点沿边运动至点停止时，点经过的路径是以为直径，圆心角为的圆弧， 同理可得点经过的路径，两弧交于正方形的中心点，如图． ， 所围成的图形的面积为． 10．如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求的值． 【解答】（1）证明：， ，， 四边形是正方形，，，， ，； （2）证明：如图2，过点作于， 设，点是的中点，，， 在中，根据面积相等，得， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ，； （3）解：如图3，过点作于， ， ，在中，， ， ，， ，， ，， 在中，，， ， ，， ，， ，， ， 11．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，作于点，于点，设． （1）求证：． （2）连接，，设，．求证：． （3）设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）由（1）知，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ； （3）方法1、如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 设的边上的高为，的边上的高为， ， ， ， ， ， ，时，的最大值为， 方法2、如图1， 设正方形的边长为1， 连接交于，过作交于，于，设，， ，， ，， ， ， ， 时，的最大值为． 方法3、如图，连接， 是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，的最大值为． 12．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． ①求证：； ②推断：的值为　1　； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长． 【解答】（1）①证明：四边形是正方形， ，． ． ， ． ． ， ． ②解：结论：． 理由：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 故答案为1． （2）解：结论：． 理由：如图2中，作于． ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图2中，作交的延长线于． ，， ， ， 可以假设，，， ，，， ， 或（舍弃）， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 13．如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，，点是正方形的中心，连接，． （1）求证：． （2）请判定的形状，并说明理由． （3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积为，求关于的函数关系式（写出的范围）；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （2）是等腰直角三角形， 理由如下：如图，连接， 点是正方形的中心， ，，， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）在中，， ， ， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，则， 解得：（不合题意舍去），， 当点在线段的延长线时，同理可求， ， 解得：，（不合题意舍去）， 综上所述：的值为3或时，的面积为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 半角中的三垂直 1．如图，四边形是正方形，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是　　． 2．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 3．如图，在正方形中，是边上一点，（与、不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于，连接，作，与的延长线交于点，连接．显然是的平分线，是的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于的角平分线），并说明理由． 4．如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？ 5．如图，线段，射线，为射线上一点，以为边作正方形，且点、与点在两侧，在线段上取一点，使，直线与线段相交于点（点与点、不重合）． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）求的周长． 6．如图，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，与交于点，延长交于点，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）已知正方形的边长为1，点在运动过程中，的长能否为？请说明理由． 7．如图，已知边长为10的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）请直接写出为何值时，的面积最大． 8．如图，正方形的边长为4，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、．下列结论：①的面积为；②的周长为8；③；其中正确的是　　 A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 9．如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接，，，则下列结论： ①；②的周长为；③；④的面积的最大值． 其中正确的结论是　　．（填写所有正确结论的序号） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 半角中的三垂直 1．如图，四边形是正方形，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是　8　． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， ，， ，在和中， ，， ，阴影部分的面积，故答案为：8． 2．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【解答】证明：（1）如图1，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， ，， ，在和中， ，， ； （2），理由是： 证法一：如图2，在线段上截取，使，，， 由（1）知：，， ，， ，， 即，， ，是等腰直角三角形， ，， ，在和中， ，， ，中，，， ，； 证法二：如图3，过点作于， ，由方法一可知：，，在和中， ，， ，，， ， ，是等腰直角三角形， ． 3．如图，在正方形中，是边上一点，（与、不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于，连接，作，与的延长线交于点，连接．显然是的平分线，是的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于的角平分线），并说明理由． 【解答】解：过点作于， 则， 四边形为正方形， ，， ①将沿所在的直线折叠得到， ， ，，， ， 又， ， ，， 是的平分线，是的平分线； ②由①知，，， 又，， 即，， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的平分线； ③，， 由①知，， ， 是的平分线； 综上所述，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线． 4．如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？ 【解答】解：（1）证明： 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中 ， ， ； （2）设，则， ， ， 当时，的面积最大． 5．如图，线段，射线，为射线上一点，以为边作正方形，且点、与点在两侧，在线段上取一点，使，直线与线段相交于点（点与点、不重合）． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）求的周长． 【解答】解：（1）证明：四边形正方形， 平分，，，； （2），理由如下： ，， ，， ，， ，，； （3）过点 作． ，， ， ， 又，， ，， ，， ． 6．如图，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，与交于点，延长交于点，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）已知正方形的边长为1，点在运动过程中，的长能否为？请说明理由． 【解答】（1）证明：四边形和四边形是正方形， ，，， ， 在和中，， ， ，； （2）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， 在和中，， ，， ， ，， 作交于，则，， ，， ，； （3）的长不可能为， 理由：假设的长为， 点是边上一点，且， 点在的延长线上，同（2）的方法得，，，在中，是斜边，，正方形的边长为1， ，，， 点在正方形的边上，与“点在的延长线上”相矛盾，假设错误， 即：的长不可能为． 7．如图，已知边长为10的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）请直接写出为何值时，的面积最大． 【解答】解：（1）四边形是正方形，，， ，， ，， ； （2），， ，， ， 由（1）知，， ， ，， ； （3）设，则， ， 由（1）知，， ，， ， ， 当时，． 8．如图，正方形的边长为4，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、．下列结论：①的面积为；②的周长为8；③；其中正确的是　　 A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【解答】解：如图，在正方形中，，，， ，， ，， ．， ． ， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， 在中，，， ， ，故①正确； 过点作于，交于， ， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ， 同理：四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理得，， 的周长为，故②正确； ，， ， ， ，故③错误， 正确的有①②，故选：． 9．如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接，，，则下列结论： ①；②的周长为；③；④的面积的最大值． 其中正确的结论是　①④　．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：如图1中，在上截取，连接． ，， ，， ，，， ，，， ，， ，，，， ，，故①正确， 如图2中，延长到，使得，则，， ，， ，，， ，，， ，故③错误，的周长，故②错误，设，则，， ，，时，的面积的最大值为．故④正确，故答案为①④． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 正方形综合 1．如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中： ①；②；③；④ 正确的是　　（填写所有正确结论的序号） 2．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36， ⑤． 其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：①；②；③；④，正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 5．如图，已知正方形，点是边延长线上的动点（不与点重合），且，由平移得到，若过点作，为垂足，则有以下结论： ①点位置变化，使得时，； ②无论点运动到何处，都有； ③在点的运动过程中，四边形可能成为菱形； ④无论点运动到何处，一定大于． 以上结论正确的有　　（把所有正确结论的序号都填上）． 6．如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接． （1）求证：． （2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． （3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 正方形综合 1．如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中： ①；②；③；④ 正确的是　①②③　（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：①解法一：如图1，在上取一点，使，连接、， ， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 解法二：如图2，连接，， 、、、四点共圆， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故①正确； ②如图3，连接，由①知：，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ； 故②正确； ③如图4，连接交于，由②知：， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故③正确； ④如图4中，在和中， ， ， ， ， 故④不正确； 本题结论正确的有：①②③， 故答案为：①②③． 2．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36， ⑤． 其中正确的结论有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：如图，连接． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，故①正确， 连接． ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，故②正确， 设，则，， ，即，故③正确， 根据对称性可知，， ， ，， ，， ，， ，， ， ，故④错误， ，， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 3．如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：①；②；③；④，正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：正方形的边长为2，点是的中点， ，，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ， ， ；故①正确； 由勾股定理可知：， ， ， ，， ，故③正确， 作于． ， ， ， ， ， ，， ，故②正确， ， ， 与不相似，故④错误． 故选：． 4．如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在与中， ，，；故①正确；， ，， ， ，，， ，；故②正确； 作于，设，，则，， 由，可得， 由，可得， ，， ，， ，， ，， ；故③正确， （补充方法：延长交的延长线于，证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）设的面积为， ，，， 的面积为，的面积为， 的面积的面积， ，故④错误， 故选：． 5．如图，已知正方形，点是边延长线上的动点（不与点重合），且，由平移得到，若过点作，为垂足，则有以下结论： ①点位置变化，使得时，； ②无论点运动到何处，都有； ③在点的运动过程中，四边形可能成为菱形； ④无论点运动到何处，一定大于． 以上结论正确的有　①②④　（把所有正确结论的序号都填上）． 【解答】解：如图，连接，． 由题可得，， ， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ，， ，是等腰直角三角形， ，故②正确； 当时，， ， 中，， 即，故①正确； ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形不可能是菱形，故③错误， 点是边延长线上的动点（不与点重合），且， ， ，故④正确； 由上可得正确结论的序号为①②④． 故答案为①②④． 6．如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接． （1）求证：． （2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． （3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由． 【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点， ，，， 是等边三角形， ，， ， 又， ； （2）的值不变， 理由如下：如图1，连接，过点作于， ，， ， ，，， ，， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2，当点落在上时， ， ， ， 是等边三角形， 当点落在上时，点关于的对称点为， △， 点与点重合，点与点重合， ， 如图3，当点落在上时， 同理可求：， 当时，点落在的内部． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$