小升初典型奥数：环形路线问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

环形路线问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 第二部分 典型例题 例题1：假期里，慧慧和妈妈每天都在环湖路上跑步锻炼身体。环湖路长840米，妈妈每分跑110米，慧慧每分跑130米。 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么经过几分两个人相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，那么几分后慧慧超过妈妈一整圈？ 【答案】（1）3.5分钟；（2）42分钟。 【分析】（1）根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答即可． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，慧慧超出妈妈一整圈正好是840米，根据追及时间＝路程÷速度差，据此列式解答。 【解答】解：（1）840÷（110+130） ＝840÷240 ＝3.5（分钟） 答：经过3.5分两个人相遇。 （2）840÷（130﹣110） ＝840÷20 ＝42（分钟） 答：42分钟后慧慧超出妈妈一整圈。 【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，以及环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同。 例题2：甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇． 【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2） ＝900÷100 ＝9（分钟） 答：9分钟后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差． 例题3：小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 【答案】20秒。 【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。 【解答】解：200÷（5.2+4.8） ＝200÷10 ＝20（秒） 答：经过20秒两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。 例题4：猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 【答案】62.8米。 【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。 【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42） ＝157÷31.4×12.56 ＝5×12.56 ＝10×6.28 ＝62.8（米） 答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。 【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。 第三部分 高频真题 1．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 2．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？ 3．果果和豆豆在环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。果果每秒跑2米，豆豆每秒跑3米，40秒后两人相遇。 ①环形跑道长多少米？ ②相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后豆豆和果果再次相遇？ 4．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？ 5．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 6．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 7．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟． （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 8．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 9．父女二人同时同地同方向在环形跑道上跑步，女儿跑一圈要用6分钟，爸爸跑一圈要用4分钟。至少多少分钟后两人在原地再次相遇？此时女儿和爸爸分别跑了多少圈？ 10．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？ 11．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？ 12．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？ 13．天天和妹妹同时从A点出发，沿一个长方形的场地相背而行．天天按A→B→C→D→A的顺序走，妹妹按A→D→C→B→A的顺序走，两人在距离C点12m处的E点相遇．已知天天和妹妹两人的速度比是13：12． （1）这个场地的周长是多少米？ （2）如果这个长方形的宽是长的，那么这个场地的面积是多少平方米？ 14．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？ 15．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 16．一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小金每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，小强第一次追上小金时比小金多跑了多少米？ 17．学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3：2，他们几分钟后会首次相遇？ 18．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 19．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答） 20．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 21．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 22．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 23．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 24．李叔叔和王叔叔在操场的环形跑道上快走，两人从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔的速度是4米/秒，王叔叔的速度是3米/秒，50秒后两人第一次相遇，环形跑道长多少米？ 25．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 26．一个池塘绕一圈长1200米，小欣走一圈需要15分钟，小亮走一圈需要12分钟。如果两人从同一起点向相反的方向走，几分钟后两人会第一次相遇？ 27．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 28．小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米。 （1）如果她们从400米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？ （2）如果她们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小婷比小颖整整多跑1圈？ 29．李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 30．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）百家湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？ 31．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 32．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 33．小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点朝同一方向出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？ 34．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？ 35．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 36．小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 37．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？ 38．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 39．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 40．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 41．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 42．在一个神话故事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径） 43．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘了带计时表，立刻骑上自行车给小明送表，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练给小明送表至少需要多少小时？ 44．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？ 45．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 46．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？ 47．学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？ 48．李强和王刚在环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，相背而行。李强每秒跑4米，王刚每秒跑6米，经过40秒两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）相遇时，李强比王刚少跑多少米？ 参考答案与试题解析 1．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可． 【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟 1÷（） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇． 【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答． 2．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先用李军的速度加上王亮的速度，求出两人的速度之和是多少；然后用它乘两人相遇用的时间，然后再加上40米，即可求出水库四周的道路长多少米． 【解答】解：（225+215）×18+40 ＝440×18+40 ＝7920+40 ＝7960（米） 答：水库四周的道路长7960米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之和是多少． 3．果果和豆豆在环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。果果每秒跑2米，豆豆每秒跑3米，40秒后两人相遇。 ①环形跑道长多少米？ ②相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后豆豆和果果再次相遇？ 【答案】①200米；②200秒。 【分析】①根据“速度和×相遇时间＝路程”，求出环形跑道长多少米即可。 ②相遇后两人改为同向而行，那么豆豆和果果再次相遇，豆豆比果果多行1圈，然后根据“相遇时间＝路程÷速度差”解答即可。 【解答】解：①（2+3）×40 ＝5×40 ＝200（米） 答：环形跑道长200米。 ②200÷（3﹣2） ＝200÷1 ＝200（秒） 答：相遇后两人改为同向而行，那么200秒后豆豆和果果再次相遇。 【点评】本题考查了环形跑道问题，要结合相遇和追及问题的解答方法列式计算。 4．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？ 【答案】晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。 【分析】如果同向而行150秒相遇，则相遇时晓晓比星星正好多行一周，然后用300除以150就是他们的速度差。如果背向而行30秒相遇，则相遇时晓晓和星星正好行了一周，然后用300除以30就是它们的速度和，再根据和差公式可得晓晓和星星的速度。 【解答】解：300÷150＝2（米/秒） 300÷30＝10（米/秒） （10+2）÷2 ＝12÷2 ＝6（米/秒） 10﹣6＝4（米/秒） 答：晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。 【点评】首先根据相遇问题及追及问题公式求出它们的速度和与速度差是完成本题的关键。 5．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 【答案】415米。 【分析】根据题意，5分后两人第二次相遇，每相遇一次，甲、乙两人就共行400米，那么5分钟跑了两圈，即400×2＝800（米），用路程除以相遇时间可以求出他们的速度和，然后求出甲的速度，再进一步解答即可。 【解答】解：400×2÷5 ＝800÷5 ＝160（米/分钟） （160+6）÷2＝83（米/分钟） 83×5＝415（米） 答：两人第二次相遇时甲一共跑了415米。 【点评】本题的关键是理解5分钟跑了两圈，然后再根据路程÷时间＝速度进一步解答即可。 6．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米； （2）31400平方米。 【分析】（1）根据明明和亮亮从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，相遇时两人走的路程就是圆的周长，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米，用速度和乘4分钟，计算即可得到圆形场地的周长，然后根据圆的周长＝πd，用圆的周长÷3.14即可得到这个圆形场地的直径是多少米； （2）根据圆的面积＝πr2和r＝d÷2，代入数据计算即可得到这个圆形场地的面积。 【解答】解：（1）（73+84）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【点评】解决本题关键是明确两人走的路程和就是圆的周长，再根据圆的周长和圆的面积公式进行解答即可。 7．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟． （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把环形跑道的长度看作单位“1”，用1分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，两人分别在圆形跑道的直径两端上；然后用（相遇时的路程）除以两人的速度和就是相遇时间； （2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行圈（追及距离），然后用除以两人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）（1÷4+1÷6） ＝1.2（分钟） 答：相向而行，1.2分钟后相遇． （2）（1÷4﹣1÷6） ＝6（分钟） 答：同向而行，6分钟后甲能够追上乙． 【点评】环形跑道问题，只要注意行驶的方向，不论是相遇还是追及，都要结合共行的路程和追及距离解答． 8．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 【答案】7.85。 【分析】不管在哪条跑道，直跑道的长度相等，就不考虑。由题意可知，同一道两个半圆形跑道组成一个圆，这个圆的直径每相邻两道相差2个1.25米，三道的圆周长比二道的圆周长多的长度就得小军提前的距离。 【解答】解：31.85+1.25×4 ＝31.85+5 ＝36.85（米） 31.85+1.25×2 ＝31.85+2.5 ＝34.35（米） 36.85×π﹣34.35×π ＝（36.85﹣34.35）×π ＝2.5×3.14 ＝7.85（米） 答：起跑时小军应该提前小明7.85m。 【点评】明确环形跑道的组成及圆周长的意义是解决本题的关键。 9．父女二人同时同地同方向在环形跑道上跑步，女儿跑一圈要用6分钟，爸爸跑一圈要用4分钟。至少多少分钟后两人在原地再次相遇？此时女儿和爸爸分别跑了多少圈？ 【答案】12，2，3。 【分析】圈数对应时间数，求至少多少分钟后两人在原地再次相遇就是求每圈时间的最小公倍数。再用最小公倍数分别除以每圈时间就等于圈数。 【解答】解：4、6的最小公倍数是12。 12÷4＝3（圈） 12÷6＝2（圈） 答：至少12分钟后两人在原地再次相遇，此时女儿跑了2圈，爸爸跑了3圈。 【点评】明确时间与圈数的对应关系及至少的含义是解决本题的关键。 10．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？ 【答案】4分钟。 【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在P点相遇一次，然后先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘其跑的圈数即可。 【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈， 250÷5×5＝250（秒） 250秒＝4（分钟） 答：从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是4分钟。 【点评】此题属于复杂的环形跑道问题，解答此题的关键是明确圈数比和速度比的关系。 11．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？ 【答案】见试题解答内容 【分析】A、B的起始位置有两种可能 （1）A在B后50米，已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒，所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上． （2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒 【解答】解：A、B的起始位置有两种可能 （1）A在B后50米： 已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒， 所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上． （2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒 答：出发25秒或75秒后，AB二人第一次在同一边上． 【点评】本题主要考查环形跑道的追及问题，关键利用路程差、速度差和追及时间之间的关系做题． 12．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】36分钟。 【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，笑笑回到起点用的时间是9分钟的整数倍，则他们第一次同时回到起点就是4和9的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：4和9的最小公倍数是：4×9＝36 那么他们第一次同时回到起点就是36分钟。 答：他们36分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 13．天天和妹妹同时从A点出发，沿一个长方形的场地相背而行．天天按A→B→C→D→A的顺序走，妹妹按A→D→C→B→A的顺序走，两人在距离C点12m处的E点相遇．已知天天和妹妹两人的速度比是13：12． （1）这个场地的周长是多少米？ （2）如果这个长方形的宽是长的，那么这个场地的面积是多少平方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据两人在距离C点12m处的E点相遇，可得天天比妹妹多走了12×2＝24（米）；甲乙两人的路程之和即为这个场地的周长，所以求出甲乙的路程之和即可；天天和妹妹两人的速度比是13：12，时间一定，天天、妹妹的路程比为13：12，即天天和妹妹分别走了整个路程的、，甲比乙少走了总路程的，是24米，用除法求解即可； （2）如果这个长方形的宽是长的，那么长与宽的比是1：7：3，再根据上题算出的周长，由按比分配可以求出长与宽，再根据长方形的面积公式进行解答． 【解答】解：（1）（12×2）÷（） ＝24 ＝600（米） 答：这个场地的周长是600米． （2）如果这个长方形的宽是长的，那么长与宽的比是1：7：3； 长：600÷2210（米） 宽：21090（米） 210×90＝18900（平方米） 答：这个场地的面积是18900平方米． 【点评】此题中分析出“甲乙两人的路程之和即为这个场地周长”，以及“天天比妹妹多走了总路程的，是12×2＝24米”，是解答本题的关键． 14．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】同时出发，相背而行，经过4分钟相遇，则两人的速度和是400÷4米；同向而行，经过8分钟父亲可以追上儿子，此时父亲正好比儿子多跑一周，即400米，则两人速度差是每分400÷8米，根据和差问题公式可知，儿子的速度是每分：（400÷4﹣400÷8）÷2米，进而求出父亲的速度，再进一步分别求得在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟． 【解答】解：（400÷4﹣400÷8）÷2 ＝（100﹣50）÷2 ＝50÷2 ＝25（米/分） 400÷4﹣25 ＝100﹣25 ＝75（米/分） 400÷75（分） 400÷25＝16（分）． 答：在跑道上走一圈，父亲需要分钟，儿子需要16分钟． 【点评】本题考查了环形跑道问题．首先根据路程差÷追及时间＝速度差，路程÷相遇时间＝速度和分别求出两人的速度差及速度和然后根据和差问题公式解答是完成本题的关键． 15．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走 一圈需要5分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？ 【答案】（1）； （2）20。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追击时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝20（分钟） 答：20分钟后小明超出老师一整圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 16．一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小金每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，小强第一次追上小金时比小金多跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】小强第一次追上小金时小强比小金多跑了1圈，即400米，由此求解． 【解答】解：环形跑道上，小强第一次追上小金时小强比小金多跑了1圈，即400米． 答：小强第一次追上小金时小强比小金多跑了400米． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键． 17．学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3：2，他们几分钟后会首次相遇？ 【答案】2分钟。 【分析】从“速度比是3：2”可知：甲速度是3份，乙速度是2份，用120÷3×2＝80米，即求出了乙的速度。两人同时从环形跑道同一地点背向而行，每相遇1次时，两人正好跑一圈，即路程和是400米。根据相遇时间＝路程÷速度和，用400÷（120+80）即可求出首次相遇时间。 【解答】解：120÷3×2＝80（米） 400÷（120+80） ＝400÷200 ＝2（分钟） 答：他们2分钟后会首次相遇。 【点评】明确两人从同一地点背向而行，每次相遇时，两人正好跑一圈是解决本题的关键。 18．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过30秒两人相遇。跑道的周长是多少米？ 【答案】300米。 【分析】直接根据数量关系式：路程＝速度和×相遇的时间，列式解答即可。 【解答】解：（4+6）×30 ＝10×30 ＝300（米） 答：跑道的周长是300米。 【点评】此题主要考查速度、时间、路程三者之间的关系解决实际问题。 19．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答） 【答案】见试题解答内容 【分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即400米，设笑笑每分钟跑x米，在20分钟跑20x米，淘气跑了240×20米，然后根据笑笑跑的路程﹣淘气跑的路程＝400米列出方程求解． 【解答】解：设笑笑每分钟跑x米，则： 20x﹣240×20＝400 20x﹣4800＝400 20x＝5200 x＝260 答：笑笑每分钟跑260米． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键． 20．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 【答案】6分钟。 【分析】由已知条件可知，二人第一次相遇时，乙比甲多跑一周，即600米，又知乙每分钟比甲多跑（400﹣300）米，即可求第一次相遇时经过的时间。 【解答】解：600÷（400﹣300） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：经过6分钟两人第一次相遇。 【点评】明确当两人第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周是完成本题的关键。 21．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【答案】（1）300米/分钟； （2）3圈。 【分析】（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程，用路程÷相遇时间＝速度和，速度和减去小王的速度，即可求出小张的速度； （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），用路程÷速度差＝追及时间，再进一步即可解答。 【解答】解：（1）500÷1﹣200 ＝500﹣200 ＝300（米/分钟） 答：小张的速度是300米/分钟。 （2）500÷（300﹣200） ＝500÷100 ＝5（分钟） 300×5÷500 ＝1500÷500 ＝3（圈） 答：小张跑3圈后才能第一次追上小王。 【点评】本题关键在于理清在不同的运动过程中，两人的路程和、路程差、速度和、速度差对应的量是多少，然后进行求解。 22．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 【答案】3：1。 【分析】假设环形运动场的周长是300米，反向而行，3分钟后第一次相遇，则两人共行了300米，然后根据“路程和÷相遇时间＝速度和”求出两个人的速度和；同向而行，则6分钟相遇，可知甲比乙多行300米，根据“路程差÷相遇时间＝速度差”求出两个人的速度差，然后根据和差问题公式和比的意义进一步解答即可。 【解答】解：假设环形运动场的周长是300米， 甲乙的速度和为：300÷3＝100（米/分） 甲乙的速度差为：300÷6＝50（米/分） 甲的速度为：（100+50）÷2＝75（米/分） 乙的速度为：（100﹣50）÷2＝25（米/分） 75：25＝3：1 答：甲、乙两人的速度比是3：1。 【点评】完成本题要注意两人同向行时是追及问题，反向行时是相遇问题。 23．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即300米，所以两人相遇所用时间是300÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了300÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米． 【解答】解：300÷（5﹣4.4）×4.4 ＝300÷0.6×4.4 ＝2200（米）， 2200÷300＝7（圈）…100（米） 答：两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米． 【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第一次相遇所需时间是完成本题的关键． 24．李叔叔和王叔叔在操场的环形跑道上快走，两人从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔的速度是4米/秒，王叔叔的速度是3米/秒，50秒后两人第一次相遇，环形跑道长多少米？ 【答案】350米。 【分析】由题意可知，两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度；根据“路程＝速度×时间”，用二人的速度和乘50，即可求出环形跑道的长。 【解答】解：（4+3）×50 ＝7×50 ＝350（米） 答：环形跑道长350米。 【点评】解答本题需熟练掌握路程、速度和时间之间的关系。 25．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 【答案】0.5分钟。 【分析】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。 【解答】解：360÷（330+390） ＝360÷720 ＝0.5（分钟） 答：经过0.5分钟两人第一次相遇。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 26．一个池塘绕一圈长1200米，小欣走一圈需要15分钟，小亮走一圈需要12分钟。如果两人从同一起点向相反的方向走，几分钟后两人会第一次相遇？ 【答案】。 【分析】用一圈的长度除以两人的速度和就得相遇时间。路程÷时间＝速度。据此解答。 【解答】解：1200÷15＝80（米/分） 1200÷12＝100（米/分） 1200÷（100+80） ＝1200÷180 （分钟） 答：分钟后两人会第一次相遇。 【点评】明确相遇问题数量间的关系是解决本题的关键。 27．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是400÷10＝40米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和为40米/秒，列出方程求解即可． 【解答】解：400÷10＝40（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒，则 x+x+4＝40 2x+4＝40 2x＝36 x＝18 答：原来甲的速度是18米/秒． 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力． 28．小颖和小婷每天早上坚持跑步，小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米。 （1）如果她们从400米跑道的两端同时出发，相向而行，几秒后两人相遇？ （2）如果她们从400米环形跑道的同一地点沿逆时针方向同时出发，多长时间后小婷比小颖整整多跑1圈？ 【答案】（1）40秒；（2）200秒。 【分析】（1）小颖每秒跑4米，小婷每秒跑6米，先求出两人的速度和，再依据“时间＝路程÷速度”即可解答。 （2）根据题意可知，两人速度差为每秒2米，路程差为400米，根据关系式：路程差÷速度差＝追及时间，解决问题。 【解答】解：（1）400÷（6+4） ＝400÷10 ＝40（秒） 答：40秒后两人相遇。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小婷比小颖整整多跑1圈。 【点评】本题主要考查学生依据速度、时间以及路程之间数量关系解决问题的能力。 29．李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 【答案】（1）3120米；（2）432米。 【分析】（1）用李明和王冬的速度和乘二人走的时间，即可求出这个圆形场地的周长； （2）先用李明2分钟走的路程除以二人的速度差，求出王冬追上李明用的时间；再用王冬的速度乘王冬追上李明用的时间，求出王冬追上李明时走的路程；最后用李明20分钟走的路程减去王冬追上李明时走的路程，即可求出当王冬追上李明的时候距离A点的米数。 【解答】解：（1）（72+84）×20 ＝156×20 ＝3120（米） 答：这个圆形场地的周长是3120米。 （2）72×2÷（84﹣72） ＝144÷12 ＝12（分钟） 72×20﹣84×12 ＝1440﹣1008 ＝432（米） 答：到他追上李明的时候，距离A点432米。 【点评】解答本题需熟练掌握相遇问题和追及问题的解答方法，明确相遇问题公式“路程＝速度和×时间”及追及问题公式“追及距离÷速度差＝时间”，灵活解答。 30．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）百家湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？ 【答案】（1）8500米；（2）20分钟。 【分析】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间。 （2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。 【解答】解：（1）（160+180）×25 ＝340×25 ＝8500（米） 答：百家湖跑道全长8500米。 （2）400÷（180﹣160） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：如果相遇后改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。 【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。 31．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】小红的爸爸妈妈同时从起点出发，到他们第一次在起点相遇的时间，是他们各自跑一圈所用时间6分钟和8分钟的最小公倍数。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是： 2×2×2×3＝24 答：他俩24分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】在起点处相遇，就是爸爸用若个8分和妈妈用若干个6分相好相等，从出发到第一次在起点处相遇的时间就是6分和8分的最小公倍数。 32．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可求解； （2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地的路程，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有 3x+150＝200×3， 3x+150＝600 3x＝450 x＝150 150+200＝350（米） 答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米． （2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2 ＝（600﹣360）÷1.2 ＝240÷1.2 ＝200（米）， 200﹣150＝50（米）． 答：乙的速度至少要提高每分钟50米． 【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度． 33．小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点朝同一方向出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？ 【答案】12分钟。 【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，小刚回到起点用的时间是6分钟的整数倍，则第一次同时回到起点就是6和4的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：6＝2×3 4＝2×2 所以6和4的最小公倍数是：2×3×2＝12（分钟） 答：至少经过12分钟又能在起点相遇。 【点评】灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。 34．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？ 【答案】200秒。 【分析】已知甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，则乙同学第一次追上甲同学时，乙同学比甲同学多跑了1圈，即乙同学比甲同学多跑了400米，根据相遇时间＝路程差÷速度差，即可求出。 【解答】解：400÷（7﹣5）＝200（秒） 答：经过200秒乙同学第一次追上甲。 【点评】本题的关键是当乙同学第一次追上甲时，乙同学比甲同学多跑了一圈。 35．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么相遇的时候正好行了环湖路一圈的长度，然后除以两个人的速度和就是相遇时间． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，依依超出妈妈一整圈正好是840米，然后除以以两个人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）840÷（108+92） ＝840÷200 ＝4.2（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2分钟后相遇． （2）840÷（108﹣92） ＝840÷16 ＝52.5（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5分钟后依依超出妈妈一整圈． 【点评】此题主要考查了环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同． 36．小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 【答案】（1）400米；（2）200秒。 【分析】（1）两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度，再根据速度和×时间＝路程，可以计算出这个环形跑道长多少米。 （2）如果相遇后两人改为同向而行，属于追及问题，求多少秒后两人能再次相遇，即用环形跑道的长度除以两个人的速度差。 【解答】解：（1）（4+6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：如果相遇后两人改为同向而行，那么200秒后两人能再次相遇。 【点评】本题考查相遇问题和追及问题，明确时间、路程、速度和之间的关系是解题的关键。 37．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？ 【答案】200秒。 【分析】小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒，则小军每秒比小虎多跑（6﹣4＝2）米，又两人同时同地同向而行，那么小军第一次追上小虎时，小军正好比小虎多跑了一周即400米，则距离差÷速度差＝追及时间。据此解答即可。 【解答】解：400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小军第一次追上小虎。 【点评】在环形跑道上的追及问题，根据所行距离差÷速度差＝追及时间进行解答。 38．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设最慢的速度为x千米/分钟，则最快的速度为1.2x千米/分钟．速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，说明35分钟速度最快的运动员比速度最慢的运动员多行7千米．根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员35分钟行的距离，根据此路程之差等于7千克即可列方程求出速度最慢的运动员的速度． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最快运动员的速度是1.2千米/分钟．设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米，根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员所行的路程，据此即可列方程解答． 【解答】解：（1）设最慢的运动员的速度为x千米/分钟，则最快的运动员的速度为1.2x千米/分钟 1.2x×35﹣x×35＝7 35×（1.2x﹣x）＝7 35×0.2x＝7 35×0.2x÷35＝7÷35 0.2x＝0.2 0.2x÷0.2＝0.2÷0.2 x＝1 答：最慢运动员的速度是1千米/分钟． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最块运员的速度是1.2千米/分钟 设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米 1.2y﹣y＝1 0.2y＝1 0.2y÷0.2＝1÷0.2 y＝5 35+5＝40（分钟） 答：经过40分钟，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米． 【点评】关键明白，第一次相遇时，快者比慢者多行1周，即7千米；第二次相距1千米时，快者比慢者多行了2千米．根据路程、速度、时间三者之间的关系即可列方程解答． 39．星期日，小明和小强在5600m的环湖公路上晨跑．小强每分钟跑150米，小明每分钟跑130m，两人同时同地出发反向跑步． （1）估计两人在何处第一次相遇？在图中标出． （2）多长时间后两人第一次相遇？（列方程解） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两人同时同地出发反向跑步，两人在第一次相遇时，由于小强的速度比小明的速度快，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方；据此画图即可； （2）在环形跑道上同时同地同向而行，当小明第一次遇时，也就是小明和小强共跑一圈，先求出两人的速度和，再依据时间×速度＝路程列方程即可解答． 【解答】解：（1）150＞130，所以第一次相遇的地方，在中点偏向小明出发的地方； （2）设x分钟后两人第一次相遇， （150+130）x＝5600 280 x＝5600 x＝20 答：20分钟后两人第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据“路程÷速度和＝相遇时间”解决问题． 40．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发． 【解答】解：240×2＝480（米） 480÷4＝120（秒）， 480÷5＝96（秒）， 480÷3＝160（秒）， 120、96、160的最小倍数是480； 答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用． 41．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 【答案】爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【分析】张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的，说明爸爸的速度是张伟速度的，并且张伟和爸爸相向而跑，他们相遇时两人的路程和是跑道的。据此解答。 【解答】解：400300（米） （400﹣100）400 ＝100400 ≈57+400 ＝457（米） （400﹣100）300 ＝100300 ≈43+300 ＝343（米） 答：爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【点评】本题考查环形跑道问题，理解同向而跑与相向而跑的意思是解本题的关键。 42．在一个神话故事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径） 【答案】见试题解答内容 【分析】把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点，于是经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米；我们再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息…如此继续下去，休息到16次、32次、64次、128次…小兔子才在A点休息，神湖周长是2千米、4千米、8千米…4+8+16+32+64+128+256＝508＜1000，4+8+16+32+64+128+256+512＞1000，所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，据此即可求出此时神湖的周长． 【解答】解：如图 把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点 休息后小兔子经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米 再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息 … 即兔子跳了4次、8次、16次、32次、64次、128次… 神湖周长是2千米、4千米、8千米、16千米… 因为：4+8+16+32+64+128+256＝508＜1000 4+8+16+32+64+128+256+512＞1000 所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，此时神湖周长是128千米 答：所以休息1000次后，神湖周长是128千米． 【点评】此题较难．关键是明白小兔子休息1000次后，有多少次在A点，因为只有在A点休息后，神湖周长才扩大一倍． 43．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘了带计时表，立刻骑上自行车给小明送表，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练给小明送表至少需要多少小时？ 【答案】0.5小时。 【分析】分两种情况讨论，如两人同向行驶，是追及问题，则利用路程差除以速度差等于追击时间；如两人相向行驶，是相遇问题，则路程和除以速度和等于相遇时间，再比较即可。 【解答】解：同向而行时，需要： 15×1÷（25﹣15） ＝15÷10 ＝1.5（小时） 相向而行时，需要： （35﹣15×1）÷（15+25） ＝（35﹣15）÷40 ＝20÷40＝0.5（小时）0.5＜1.5答：教练给小明送表至少需要0.5小时。 【点评】解题关键是环形跑道上，教练追上小明有两种走法：一是同向而行；二是相向而行；分别算出所用时间对比即可得解。 44．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？ 【答案】AD。 【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，两次相遇所走的路程比就是速度比，甲的速度是乙的速度的3倍，甲走过的路程也就是乙走过路程的3倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，乙走了个边长，即在CD中点相遇，从第二次相遇开始，两点两次相遇间走过的路程和是正方形4个边长，甲走3个边长，乙走1个边长，第二次相遇在AD中点，第三次相遇在AB中点，第四次相遇在BC中点，第五次相遇在CD中点，和第一次相遇地点相同，所以，每4组为一个循环，计算2018除以4的余数，便可知道第2018次相遇在哪边。 【解答】解：设正方形边长为a， 因为甲的速度是乙的速度的3倍， 所以时间相同，甲、乙的路程比为3：1， 第一次相遇，两点路程和为2a，则甲走了a，乙走了a，相遇地点为CD中点； 第二次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AD中点； 第三次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AB中点； 第四次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为BC中点； 第五次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为CD中点； …… 可以发现，每四次循环一次， 2018÷4＝504……2 所以，第2018次相遇地点和第二次的相同，即AD中点。 答：它们第2018次相遇在AD边上。 【点评】本题主要考查了环形跑道多次相遇问题，根据速度比得出两点的路程比，结合正方形四边相等的特性，得出前几次相遇的地点，发现变化规律，是本题解题的关键。 45．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即7：9；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的（），然后根据分数除法的意义解答即可． 【解答】解：50÷（） ＝50 ＝400（米） 答：学校环形跑道的周长是400米． 【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可． 46．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？ 【答案】6分钟 【分析】悠悠回到起点用的时间是2分钟的整数倍，青青回到起点是3分钟的整数倍，则第一次同时回到起点的时间就是2和3的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：2和3互质， 2×3＝6（分钟） 答：他们6分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】本题灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。 47．学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？ 【答案】10分钟。 【分析】首先用小林每分钟跑的路程减去小方每分钟跑的路程，求出两人的速度之差是多少；然后根据“路程÷速度＝时间”，用250除以两人的速度之差，求出经过几分钟小林超过小方1圈即可。 【解答】解：250÷（150﹣125） ＝250÷25 ＝10（分钟） 答：经过10分钟小林超过小方1圈。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之差是多少。 48．李强和王刚在环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，相背而行。李强每秒跑4米，王刚每秒跑6米，经过40秒两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）相遇时，李强比王刚少跑多少米？ 【答案】（1）400米，（2）80米。 【分析】这是典型的相遇问题。速度和乘时间等于总路程。速度差乘时间等于少跑的路程。 【解答】解：（1）（4+6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2））（6﹣4）×40 ＝2×40 ＝80（米） 答：相遇时，李强比王刚少跑80米。 【点评】此类题目的关键是要建立相遇问题的数学模型，速度和乘时间等于总路程。速度差乘时间等于少跑的路程。 学科网（北京）股份有限公司 $$