小升初典型奥数：行程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

行程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 二、追及问题 1．追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 三、流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度＝船速+水速，（1） 逆水速度＝船速﹣水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速＝顺水速度﹣船速， 船速＝顺水速度﹣水速． 由公式（2）可以得到： 水速＝船速﹣逆水速度， 船速＝逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2． 四、环形跑道问题 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 五、列车过桥问题 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲骑摩托车每小时行30千米，乙骑自行车每小时行10千米。甲行120千米时立即转身返回，沿着原路走与乙相遇，相遇时甲、乙各行了多少千米？ 【答案】甲行了135千米，乙行了60千米。 【分析】首先根据路程÷速度＝时间，用120除以甲骑摩托车的速度，求出从开始到甲返回用的时间是多少；再用它乘以乙骑自行车的速度，求出乙行的路程是多少；然后用甲返回时，甲乙行的路程差除以他们的速度之和，求出从甲返回到甲乙相遇用的时间是多少，进而求出从开始到两人相遇用的时间是多少；最后根据速度×时间＝路程，求出甲与乙相遇时两人各行了多少千米即可。 【解答】解：（120﹣120÷30×10）÷（30+10）+120÷30 ＝（120﹣40）÷40+4 ＝80÷40+4 ＝2+4 ＝6（小时） 30×6＝180（千米） 10×6＝60（千米） 答：与乙相遇时甲行了135千米，乙行了60千米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出从开始到两人相遇用的时间是多少。 例题2：甲乙两人同时由A地出发到B地，甲骑自行车每分钟250米，乙步行每分钟90米，甲骑自行车到达B地后立即返回A地，在离B地3200米处与乙相遇。AB两地相距多少米？ 【答案】6800米。 【分析】甲到达B地后立即返回A地，在离B地3200米处与乙相遇时，甲比乙多走3200×2＝6400（米），此时两人应该是走了两个两地间距离，先求出两人的速度差，根据“时间＝路程÷速度”，求出相遇时需要的时间，再根据“路程＝速度×时间”，求出相遇时两人走的路程和，最后除以2即可解答。 【解答】解：3200×2÷（250﹣90）×（250+90）÷2 ＝6400÷160×340÷2 ＝40×340÷2 ＝6800（米） 答：AB两地相距6800米。 【点评】解答本题的关键是求出相遇时需要的时间，以及明确两人相遇时，甲比乙多走3200×2＝6400（米）。 例题3：星期天，东东从家去少年宫学画画。刚走5分钟，妈妈发现东东忘带油画棒，于是立即去追。东东速度是50米/分，妈妈速度是75米/分，妈妈追上东东要走多少分钟？ 【答案】10分钟。 【分析】根据“路程＝速度×时间”求出追击路程，根据“追及时间＝追及路程÷速度差”即可求解。 【解答】解：50×5÷（75﹣50） ＝250÷25 ＝10（分钟） 答：妈妈追上东东要走10分钟。 【点评】本题考查了简单的追及问题。 例题4：小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 【答案】（1）400米；（2）200秒。 【分析】（1）两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度，再根据速度和×时间＝路程，可以计算出这个环形跑道长多少米。 （2）如果相遇后两人改为同向而行，属于追及问题，求多少秒后两人能再次相遇，即用环形跑道的长度除以两个人的速度差。 【解答】解：（1）（4+6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：如果相遇后两人改为同向而行，那么200秒后两人能再次相遇。 【点评】本题考查相遇问题和追及问题，明确时间、路程、速度和之间的关系是解题的关键。 第三部分 高频真题 1．甲、乙、丙、丁四人同时出发，甲、乙、丙三人从教室去图书馆，丁从图书馆回教室。甲每分钟走70m，乙每分钟走55m，丁分别在出发后8分钟、9分钟、10分钟与甲、乙、丙三人相遇。丙每分钟走多少米？ 2．小明和爸爸一起去操场散步。操场一周长400米，小明走一圈要8分钟，爸爸走一圈要10分钟，如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ 3．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 4．A、B两地相距330米，甲、乙两人同时出发从A跑到B地，甲每分钟步行40米，乙骑车每分钟行180米，乙到达B地后立即回头，则经过多少分钟，乙第一次和甲相遇？ 5．小明和小军两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后小明第一次追上了小军。小明的速度是230米/分，小军的速度是多少米/分？ 6．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 7．A、B两地相距1080米．甲、乙两人同时从两地相对出发，10分钟后相遇．已知甲、乙两人速度的比是5：4，求甲、乙两人每分钟各行多少米？ 8．六年级一班的学生从学校出发，以每小时4千米的速度行走，走了1千米时，班长要返回学校取东西，班长以每小时6千米的速度跑回学校，取了东西立即以同样的速度追赶队伍（取东西时间不计），结果在距目的地1.5千米的地方追上了队伍，求学校到目的地的距离。 9．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 10．一艘轮船从甲城开往乙城，以每小时85千米的速度行驶8小时到达。从乙城返航时由于逆风，每小时的速度慢了17千米，返航时几小时才能到达甲城？ 11．上午9时，王师傅驾车从甲地出发前往乙地、李师傅从乙地同时出发驾车前往甲地，王师傅行驶速度为80千米/时，李师傅行驶速度为100千米/时，经过3小时后两车相遇。 （1）甲乙两地相距多少千米？ （2）两人相遇后王师傅休息了两个小时，然后继续前往乙地，如果速度不变，他能否在下午5时前到达？ 12．为了参加市里的运动会，体育老师给一位运动员进行了短跑测试。顺风10秒跑了95米，在同样的风速下，逆风10秒跑了65米。在无风的时候，他跑160米要用多少秒？ 13．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？ 14．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。求甲、乙两地的距离。 15．小丁丁和小巧先后沿同一条马路从学校出发去电影院观看电影。小巧先行40米后小丁丁再出发，小巧平均每分钟走72米，小丁丁出发10分钟在途中追上小巧。小丁丁平均每分钟走多少米？ 16．老虎每秒跑28米，羚羊每秒跑22米。一只老虎正在追赶奔跑中的羚羊，此时老虎距离羚羊还有130米，再过20秒能追上吗？ 17．小明和小刚沿青龙湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是170米/分，小刚的速度是150米/分，12分钟后两人第一次相遇。 （1）青龙湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距500米？ 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过4小时相遇，相遇后各自继续前行，又经过3.5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有60千米，问：A、B两地的距离是多少千米？ 19．小军和小强每天坚持跑步，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米。 （1）如果他们在200米的跑道两端同时出发，相向而行，多少秒后相遇？ （2）如果他们在400米的环形跑道上同时同地同向出发，多少秒后小军刚好追上小强？ 20．一列火车长328米，以32米/秒的速度匀速穿过一个长568米的隧道，从火车头刚进入隧道开始计时，到火车尾刚离开隧道计时结束，一共经过多长时间？（列综合算式解答） 21．甲、乙两地之间的路程是360千米，客车从甲地到乙地需4小时，货车从乙地到甲地需5小时，现在两车同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，几小时后行完全程的？ 22．甲、乙两辆汽车分时同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶40千米，4小时后两车共同行驶的总路程是A、B两地间距离的1.4倍，但期间甲车休息了12分钟。当两车在途中相遇时（相遇时两车都处于行驶状态），甲车离A地的距离是多少千米？ 23．点点猫和机灵狗分别从A、B两个城堡出发，相向而行。点点猫的速度是60米/分，机灵狗的速度是80米/分。点点猫出发2分钟后机灵狗才出发，又经过4分钟两人相遇，A、B两个城堡之间的路程是多少米？ 24．甲、乙两城相距490千米，一辆货车以50千米/时的速度从甲城开往乙城，行驶2时后，一辆客车才从乙城出发开往甲城。再行驶3时后，两车相遇。这辆客车每时行驶多少千米？ 25．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 26．甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲车又行驶了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米．AB两地相距多少千米？ 27．甲、乙两车从相距520千米的两地同时出发相向而行，为甘肃省临夏回族自治州积石县运输救灾物资，其中矿泉水96吨，棉被2300床，甲车的速度是70千米/时，乙车的速度是60千米/时，两车几小时相遇？ 28．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，4.5小时后两车相遇。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶65千米。A、B两地相距多少千米？ 29．小俊走路去上学，他的速度为60米/分钟。妈妈在收拾东西的时候，发现小俊没有带数学书，此时小俊已经出发了7分钟。于是妈妈立刻骑自行车从家出发去追小俊，妈妈骑自行车的速度为200米/分钟。问妈妈从家出发算起到追上小俊，一共用了多久？ 30．淮安国际马拉松于今年4月9日上午开赛，来自国内外上万名参赛选手用脚步谱写了“运河三千里，醉美是淮安”的春日赞歌。 （1）黄阿姨参加健康跑（全程7.5千米）项目比赛，跑完全程用时30分钟，黄阿姨平均每分钟跑多少米？ （2）李宏与张明都是全程马拉松的参赛选手。比赛开始后，李宏一直以180米/分的速度匀速前进，张明开始以220米/分的速度跑了1小时，然后减速以160米/分的速度前进。两人在距离起点多少千米处相遇？ 31．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 32．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是2：3。 （1）经过2.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的几分之几？ （2）两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有210km，AB 两地相距多少千米？ 33．甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60m，乙每分钟走50m。乙走了4分钟后甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？ 34．一个等腰三角形的沙盘，两腰AB＝AC＝10米，BC＝8米，若有两只小虫同时从该沙盘的顶点A出发（如图），分别沿着两腰爬行一圈，一只小虫每分钟行2.5米，另一只小虫每分钟行2米，则多少分钟后两只小虫在沙盘底边相距1米？ 35．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 36．生活中处处有数学。A、B两地相距350千米，甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶80千米，乙车的速度是甲车的75%，两车经过多长时间能够相遇？ 37．明明和亮亮沿着同一个公园的外围骑共享自行车，明明骑一圈要10分钟，亮亮骑一圈要12分钟。若明明和亮亮在同一起点同时开始骑行，至少几分钟后两人在起点再次相遇？此时明明骑了几圈？亮亮骑了几圈？ 38．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90km，货车平均每时行60km。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 39．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 40．甲、乙两地相距120千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，它们各自到达终点后立即返回。已知客车每小时行54千米，货车每小时行42千米。从出发到返回时相遇，一共经过了多少小时？ 41．一列火车要通过一条长900米的隧道，已知火车长180米，火车每秒行驶27米，这列火车全部通过隧道需要多长时间？ 42．一座桥长350米，一列火车以每秒20米的速度经过这座桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，这列火车长多少米？ 43．甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米，2小时后两车还未相遇，这时两车之间的距离占A、B两地距离的，求A、B两地相距多少千米。 44．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 45．青藏铁路是世界上最长的高原铁路，东起青海西宁，西至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，经过12小时相遇。快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？ 46．小红和小华同时以72米/分的速度从跑道点A出发相背而行，2分钟后分别走到点B和点C的位置，这时点B、C之间的距离占跑道总长的。跑道总长多少米？ 47．小明和小军是同班同学，运动会上两人一起参加团体往返接力跑比赛。两人从一条直跑道的中点同时向跑道的两端跑去，到两端后各自返回，两人在跑道全长处相遇，这时小明比小军多跑2m。这条跑道长多少米？ 48．火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山洞）结束。一列火车长225米，每秒行驶35米，全车要通过一条长650米的大桥，需要多少秒？ 49．甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，往返于两港口之间。甲船的速度是42千米/时，乙船的速度是36千米/时，经过4小时两船第二次相遇。A、B两港口相距多少千米？ 50．甲、乙两城市之间的铁路长940千米，一列客车以每小时120千米的速度从甲城开往乙城，1小时后有一列货车以每小时85千米的速度从乙城开往甲城。再经过几时两车相遇？ 51．一辆客车和一辆货车同时从相距360千米的两地相对开出，经过2.5小时相遇，已知客车、货车速度的比是5：4，客车、货车每小时各行多少千米？ 52．一列火车长185米，以每秒7米的速度经过一条长536米长的隧道，从火车车头进入隧道到车尾离开隧道一共需要多少时间？ 53．一列火车长260米，这列火车经过一根电线杆用了20秒（电线杆的长度忽略不计），之后又用了45秒经过一坐大桥，那么大桥长度是多少米？ 54．附加题：小启和小智两人绕着环形跑道同时同地背向跑步，小启每秒跑5米，小智每秒跑6米，小启和小智第一次相遇后，又跑了1分钟，才回到起点。小启自己绕环形跑道跑一圈要多少秒？这个环形跑道长多少米？ 55．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，甲车每时行50千米，乙车每时比甲车多行10千米，经过2时相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 参考答案与试题解析 1．甲、乙、丙、丁四人同时出发，甲、乙、丙三人从教室去图书馆，丁从图书馆回教室。甲每分钟走70m，乙每分钟走55m，丁分别在出发后8分钟、9分钟、10分钟与甲、乙、丙三人相遇。丙每分钟走多少米？ 【答案】43米。 【分析】首先设丁每分钟走x米，根据教室到图书馆的路程不变，得出等量关系式：甲8分钟走的路程+丁8分钟走的路程＝乙9分钟走的路程+丁9分钟走的路程，据此列出方程为：8×70+8x＝9×55+9x，据此求出丁每分钟走的路程，进而能求出教室到图书馆的路程，再用教室到图书馆的路程除以10分钟求出丙丁的速度和，用求得的速度和减去丁的速度即可得出丙的速度。 【解答】解：设丁每分钟走x米。 8×70+8x＝9×55+9x 560+8x＝495+9x x＝65 8×（70+65） ＝8×135 ＝1080（米） 1080÷10﹣65 ＝108﹣65 ＝43（米） 答：丙每分钟走43米。 【点评】解答此题的关键是根据路程不变得出等量关系式，再灵活运用相遇问题中数量关系式“路程＝时间×速度和”进行列式计算。 2．小明和爸爸一起去操场散步。操场一周长400米，小明走一圈要8分钟，爸爸走一圈要10分钟，如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ 【答案】分钟。 【分析】根据速度＝路程÷时间，先求小明和爸爸每分钟各走多少米，用路程除以两人的速度和，即可求出多少分钟后相遇。 【解答】解：400÷10＝40（米） 400÷8＝50（米） 50+40＝90（米） 400÷90（分钟） 答：分钟后相遇。 【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 3．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】10分钟。 【分析】当甲第一次追上乙时，甲比乙多行了一圈跑道的长度，再根据“追及时间＝路程差÷速度差”，列式计算即可解答。 【解答】解：400÷（290﹣250） ＝400÷40 ＝10（分钟） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【点评】本题解题关键是理解“当甲第一次追上乙时，甲比乙多行了一圈跑道的长度”，再根据追及时间＝路程差÷速度差，列式计算。 4．A、B两地相距330米，甲、乙两人同时出发从A跑到B地，甲每分钟步行40米，乙骑车每分钟行180米，乙到达B地后立即回头，则经过多少分钟，乙第一次和甲相遇？ 【答案】3分钟。 【分析】甲乙第一次相遇时两人合跑了2个全程，根据“时间＝路程÷速度和”即可求出相遇时间。 【解答】解：330×2＝660（米） 660÷（40+180） ＝660÷220 ＝3（分钟） 答：经过3分钟，乙第一次和甲相遇。 【点评】本题考查了相遇问题的应用。 5．小明和小军两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后小明第一次追上了小军。小明的速度是230米/分，小军的速度是多少米/分？ 【答案】210米/分。 【分析】根据题意可知，小明和小军两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，相当于两人在直线上跑步，相差400米，根据速度差×追及时间＝路程差，设小军的速度是x米/分，列方程为（230﹣x）×20＝400，然后解出方程即可。 【解答】解：设小军的速度是x米/分，由题意得： （230﹣x）×20＝400 （230﹣x）×20÷20＝400÷20 230﹣x＝20 x＝210 答：小军的速度是210米/分。 【点评】本题考查了列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 6．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 【答案】6米。 【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。 【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程： 30×10÷（1.3+1.2）×1.2 ＝300÷2.5×1.2 ＝144（米） 144÷30＝4（圈）……24（米） 30﹣24＝6 （米） 答：妹妹还需走6米才能回到出发点。 【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。 7．A、B两地相距1080米．甲、乙两人同时从两地相对出发，10分钟后相遇．已知甲、乙两人速度的比是5：4，求甲、乙两人每分钟各行多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据A、B两地相距1080m，甲、乙两人同时从两地相对出发，10分钟后相遇，路程÷时间＝速度，求出两人的速度之和；然后根据甲、乙两人速度比是5：4，可得甲、乙的速度分别是甲乙的速度之和的、，求出甲、乙两人每分钟各行多少米即可． 【解答】解：1080÷10＝108（米） 108 ＝108 ＝60（米/分钟） 108﹣60＝48（米/分钟） 答：甲、乙两人每分钟分别行60米、48米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是分析出甲、乙的速度分别是甲乙的速度之和的、． 8．六年级一班的学生从学校出发，以每小时4千米的速度行走，走了1千米时，班长要返回学校取东西，班长以每小时6千米的速度跑回学校，取了东西立即以同样的速度追赶队伍（取东西时间不计），结果在距目的地1.5千米的地方追上了队伍，求学校到目的地的距离。 【答案】6.5千米。 【分析】到班长追上队伍，队伍比班长多行（1+1）千米，用多走的路程除以速度差等于追及时间，再用队伍的速度乘追及时间加开始走的1千米，再加上距离目的地的距离即可。 【解答】解：（1+1）÷（6﹣4） ＝2÷2 ＝1（小时） 4×1+1+1.5 ＝4+1+1.5 ＝5+1.5 ＝6.5（千米） 答：学校到目的地的距离6.5千米。 【点评】本题考查追及问题的应用，追及时间＝多走的路程÷速度差。 9．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）6分；（2）30分。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程÷速度和＝相遇时间”，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度差＝追击时间”，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 ＝6（分） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，6分钟后首次相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝30（分） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，30分钟后小明超出爷爷一整圈。 【点评】本题考查了环形跑道的相遇和追及问题，熟练运用：路程、速度、时间三者的关系是解题的关键。 10．一艘轮船从甲城开往乙城，以每小时85千米的速度行驶8小时到达。从乙城返航时由于逆风，每小时的速度慢了17千米，返航时几小时才能到达甲城？ 【答案】10小时。 【分析】设返航需要x小时，甲城到乙城的路程不变，根据路程＝速度×时间；甲车到乙城的速度×行驶的时间＝甲城到乙城的路程；甲城到乙城的速度是85千米时间是8小时；乙城到甲城的速度×行驶的时间＝甲城到乙城的路程，从乙城返航时由于逆风，每小时的速度慢了17千米，返航时的速度是（85﹣17），时间是x小时，列方程：（85﹣17）x＝85×8，解方程，即可解答。 【解答】解：设返航时x小时才能到达甲城。 （85﹣17）x＝85×8 68x＝680 68x÷68＝680÷68 x＝10 答：返航时10小时才能到达甲城。 【点评】本题考查方程的实际应用，利用速度、时间、路程三者的关系设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 11．上午9时，王师傅驾车从甲地出发前往乙地、李师傅从乙地同时出发驾车前往甲地，王师傅行驶速度为80千米/时，李师傅行驶速度为100千米/时，经过3小时后两车相遇。 （1）甲乙两地相距多少千米？ （2）两人相遇后王师傅休息了两个小时，然后继续前往乙地，如果速度不变，他能否在下午5时前到达？ 【答案】（1）540千米；（2）不能。 【分析】（1）相遇时两人行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：（王师傅的速度+李师傅的速度）×相遇时间＝路程，可以计算出甲、乙两地相距多少千米。 （2）根据时间＝路程÷速度，再与实际行驶的时间对比，即可判断。 【解答】解：（1）（100+80）×3 ＝180×3 ＝540（千米） 答：甲、乙两地相距540千米。 （2）540÷80＝6.75（小时） 17﹣9﹣2＝6（小时） 6＜6.75 答：如果速度不变，他不能在下午5时前到达。 【点评】本题考查行程问题的解题方法，解题关键是掌握行程问题的数量关系，利用（王师傅的速度+李师傅的速度）×相遇时间＝路程，列式计算，熟练掌握时间推算的方法。 12．为了参加市里的运动会，体育老师给一位运动员进行了短跑测试。顺风10秒跑了95米，在同样的风速下，逆风10秒跑了65米。在无风的时候，他跑160米要用多少秒？ 【答案】20秒。 【分析】由题可知，运动员的短跑速度和风速是不变的，因此可以根据“路程÷时间＝速度”分别求出顺风速度和逆风速度为95÷10＝9.5（米/秒）和65÷10＝6.5（米/秒）。再利用“（顺风速度+逆风速度）÷2”求出无风时运动员的短跑速度为（9.5+6.5）÷2＝8（米/秒），最后根据“路程÷速度＝时间”求出运动员在无风时跑160 米所需的时间为160÷8＝20（秒）。 【解答】解：顺风速度：95÷10＝9.5（米/秒） 逆风速度：65÷10＝6.5（米/秒） 无风速度：（9.5+6.5）÷2 ＝16÷2 ＝8（米/秒） 所需时间：160÷8＝20（秒） 答：在无风的时候，他跑160米要用20秒。 【点评】理解“（顺风速度+逆风速度）÷2＝无风速度”是解答本题的关键。 13．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？ 【答案】400米。 【分析】乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是，计算出甲乙的速度比是3：2；相遇问题，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，也就是距离甲出发点占全程的1处。现在甲提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为2：1，所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，也就是在距离甲出发点1处；现在乙提速，变成了，所以他们的速度比是5：3，现在他们相遇在距离甲出发点3÷（5+3）处，所以距离第一次相遇是190米，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可解答本题。 【解答】解：乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是。 甲的速度：乙的速度＝1：3：2 根据相同时间内的路程比等于速度比可知，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，即距离甲出发点占全程的1处。 当甲跑完第1圈后，提速，那么甲的速度变成了1 此时甲的速度：乙的速度：2：1 所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，即在距离甲出发点1处； 现在乙提速，变成了（1） 此时甲的速度：乙的速度：5：3，现在他们相遇在距离甲出发点处。 即距离第一次相遇处 190400（米） 答：这条椭圆形跑道长400米。 【点评】此题关键是根据条件理顺题里数量之间的关系，确定要求什么，必须先求什么，再求什么，分别用什么方法计算，一步步的把问题解决。 14．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。求甲、乙两地的距离。 【答案】540千米。 【分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，客、货两车的速度比是60：48＝5：4，第二次相遇时，两辆车行的路就相当于3个全程，所以第一次相遇客车行了甲、乙两地距离的，第二次相遇时，客车行了甲、乙两地距离的3，所以120千米相当于单位“1”的（32），由此根据分数除法的意义求出甲、乙两地的距离即可。 【解答】解：60：48＝5：4 120÷（32） ＝120 ＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离是540千米。 【点评】本题的难点在于明确相遇两次共行了3个总路程，而不是2个总路程这是本题容易出错的地方。 15．小丁丁和小巧先后沿同一条马路从学校出发去电影院观看电影。小巧先行40米后小丁丁再出发，小巧平均每分钟走72米，小丁丁出发10分钟在途中追上小巧。小丁丁平均每分钟走多少米？ 【答案】76米。 【分析】有题意可知，小丁丁10分钟走的路程＝小巧先走的40米+小巧10分钟走的路程。据此列式计算出小丁丁10分钟走的路程，然后再除以10即可解答。 【解答】解：小丁丁10分钟走： 40+72×10 ＝40+720 ＝760（米） 760÷10＝76（米/分） 答：小丁丁平均每分钟走76米。 【点评】解答本题的关键是先求出小丁丁10分钟走的路程。 16．老虎每秒跑28米，羚羊每秒跑22米。一只老虎正在追赶奔跑中的羚羊，此时老虎距离羚羊还有130米，再过20秒能追上吗？ 【答案】追不上。 【分析】根据”追及距离＝速度差×追及时间”，求出20秒老虎的追及距离，再与130米比较大小即可。 【解答】解：（28﹣22）×20 ＝6×20 ＝120（米） 120＜130 答：当老虎距离羚羊130米时，再过20秒追不上。 【点评】本题主要考查公式的应用：追及距离＝速度差×追及时间，是常规题。 17．小明和小刚沿青龙湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是170米/分，小刚的速度是150米/分，12分钟后两人第一次相遇。 （1）青龙湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距500米？ 【答案】（1）3840米；（2）25分。 【分析】（1）根据“路程＝时间×速度和”代入数据计算即可； （2）根据“追及时间＝路程差÷速度差”代入数据计算即可。 【解答】解：（1）（170+150）×12 ＝320×12 ＝3840（米） 答：青龙湖跑道全长3840米。 （2）500÷（190﹣170） ＝500÷20 ＝25（分） 答：25分钟后小刚和小明相距500米。 【点评】本题考查了行程问题的应用。 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过4小时相遇，相遇后各自继续前行，又经过3.5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有60千米，问：A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】480千米。 【分析】依据题意可知，经过4小时相遇时，甲车行了全程的，则乙车行了全程的（1），行了（4+3.5）小时，由此计算乙车行驶全程的几分之几，然后计算这时乙车距A地占全程的几分之几，用除法列式计算全程多少千米。 【解答】解：经过4小时相遇时，甲车行了全程的，即，则乙车行驶全程的1。 甲车到B地时，乙车行驶全程的4×（4+3.5），60÷（1） ＝60 ＝480（千米） 答：A、B两地的距离是480千米。 【点评】本题考查的是相遇问题的应用。 19．小军和小强每天坚持跑步，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米。 （1）如果他们在200米的跑道两端同时出发，相向而行，多少秒后相遇？ （2）如果他们在400米的环形跑道上同时同地同向出发，多少秒后小军刚好追上小强？ 【答案】（1）20秒；（2）200秒。 【分析】（1）跑道两端同时出发，相向而行，相遇时两人的路程和就是跑道的长度，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米，先求出两人的速度和，再依据相遇时间＝路程÷速度和即可解答； （2）同时同地同向出发，小军刚好追上小强时，小军比小强多跑1圈，两人速度差为每秒2米，路程差为400米，根据关系式：路程差÷速度差＝追及时间，解决问题。 【解答】解：（1）200÷（6+4） ＝200÷10 ＝20（秒） 答：20秒后相遇。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小军刚好追上小强。 【点评】解决本题关键是明确相遇问题和追及问题的数量关系：相遇时间＝路程÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。 20．一列火车长328米，以32米/秒的速度匀速穿过一个长568米的隧道，从火车头刚进入隧道开始计时，到火车尾刚离开隧道计时结束，一共经过多长时间？（列综合算式解答） 【答案】28秒。 【分析】火车完全通过隧道行驶的路程＝隧道长+火车长，已知火车的速度＝32米/秒，求火车通过隧道的时间，根据时间＝路程÷速度，即可作答。 【解答】解：328+568＝896（米） 896÷32＝28（秒） 答：一共经过28秒。 【点评】本题主要考查了简单的行程问题。 21．甲、乙两地之间的路程是360千米，客车从甲地到乙地需4小时，货车从乙地到甲地需5小时，现在两车同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，几小时后行完全程的？ 【答案】2小时。 【分析】利用速度＝路程÷时间，计算两车的速度，再用要行的路程除以速度和，计算所需时间即可。 【解答】解：360（360÷4+360÷5） ＝324÷（90+72） ＝324÷162 ＝2（小时） 答：2小时后行完全程的。 【点评】本题主要考查行程问题的应用，关键利用路程、速度和时间的关系做题。 22．甲、乙两辆汽车分时同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶40千米，4小时后两车共同行驶的总路程是A、B两地间距离的1.4倍，但期间甲车休息了12分钟。当两车在途中相遇时（相遇时两车都处于行驶状态），甲车离A地的距离是多少千米？ 【答案】千米或千米。 【分析】根据“时间×速度＝路程”，结合题干信息4小时后两车行驶的路程是A、B两地间路程的1.4倍，用两车行驶的路程和除以1.4即可求出A、B两地之间的路程。然后分甲车是在甲乙两车相遇后还是相遇前休息的即可解答本题。 【解答】解：12÷60＝0.2，即12分钟＝0.2小时 [50×（4﹣0.2）+40×4]÷1.4 ＝[190+160]÷1.4 ＝350÷1.4 ＝250（千米） 即A、B两地的路程为250千米。 如果甲车在两车相遇后休息，则： 250÷（50+40）×50 ＝250÷90×50 （千米） 即甲车在两车相遇后休息时，离A地的距离是千米。 如果甲车在两车相遇前休息，则： 40×0.2＝8（千米） （250﹣8）÷（50+40）×50 ＝242÷90×50 （千米） 即甲车在两车相遇前休息时，离A地的距离是千米。 答：甲车离A地的距离是千米或千米。 【点评】本题考查了相遇问题的应用。 23．点点猫和机灵狗分别从A、B两个城堡出发，相向而行。点点猫的速度是60米/分，机灵狗的速度是80米/分。点点猫出发2分钟后机灵狗才出发，又经过4分钟两人相遇，A、B两个城堡之间的路程是多少米？ 【答案】680米。 【分析】相遇时，点点猫行了（2+4）分，机灵狗行了4分，先用各自的速度乘行的时间，求出相遇时点点猫与机灵狗分别行了多少米，再把点点猫与机灵狗行的路程相加，就是A、B两个城堡之间的路程。 【解答】解：60×（2+4）+80×4 ＝60×6+80×4 ＝360+320 ＝680（米） 答：A、B两个城堡之间的路程是680米。 【点评】此题主要考查解决相遇问题中求路程的问题的能力，解答时可以分别求出点点猫、机灵狗行的路程再相加，也可以用点点猫先行的路程再加上点点猫、机灵狗的速度和与相遇时间的乘积。 24．甲、乙两城相距490千米，一辆货车以50千米/时的速度从甲城开往乙城，行驶2时后，一辆客车才从乙城出发开往甲城。再行驶3时后，两车相遇。这辆客车每时行驶多少千米？ 【答案】80千米。 【分析】先求出共同行驶的路程，再除以相遇时间3小时求出速度和，然后减去货车的速度即可。 【解答】解：（490﹣50×2）÷3﹣50 ＝130﹣50 ＝80（千米/小时） 答：这辆客车每时行驶80千米。 【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。 25．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看作相遇问题来解答．第一次相遇时，他俩跑过的路程和是环形跑道一圈的长度，即400米，所以根据速度和＝路程÷相遇时间求出速度和，再减去小丽的速度即可． 【解答】解：400÷40﹣4.5 ＝10﹣4.5 ＝5.5（米/秒） 答：小华每秒跑5.5米． 【点评】此题属于环形跑道上的相遇问题，考查了“路程÷相遇时间＝速度和”这一知识的灵活应用． 26．甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲车又行驶了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米．AB两地相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】相遇前乙行6小时的路程，甲需要5小时，可求出甲乙时间比是5：6，那么速度比是6；5，路程的比也是6；5，那么150千米就相当于总路程的1，然后根据分数除法的意义即可解答此题． 【解答】解：甲乙时间比是5：6，那么速度比是6；5，路程的比也是6；5， 150÷（1） ＝150×6 ＝900（千米） 答：AB两地相距900千米． 【点评】此题根据路程一定，速度比是时间的反比求出150对应的分率，然后根据已知条件即可解答此题． 27．甲、乙两车从相距520千米的两地同时出发相向而行，为甘肃省临夏回族自治州积石县运输救灾物资，其中矿泉水96吨，棉被2300床，甲车的速度是70千米/时，乙车的速度是60千米/时，两车几小时相遇？ 【答案】4小时。 【分析】将两车的速度相加，求出速度和，根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入数据计算即可。 【解答】解：520÷（70+60） ＝520÷130 ＝4（小时） 答：两车4小时相遇。 【点评】本题主要考查了相遇问题，解题的关键是明确：相遇时间＝总路程÷速度和。 28．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，4.5小时后两车相遇。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶65千米。A、B两地相距多少千米？ 【答案】643.5。 【分析】两人第一次相遇时所走的路程和就是两地的路程。根据速度和×相遇时间＝总路程来解答。 【解答】解：（78+65）×4.5＝143×4.5＝643.5（千米）答：A、B两地相距643.5千米。 【点评】明确两地的路程就是两人相遇时所走的路程和是解决本题的关键。 29．小俊走路去上学，他的速度为60米/分钟。妈妈在收拾东西的时候，发现小俊没有带数学书，此时小俊已经出发了7分钟。于是妈妈立刻骑自行车从家出发去追小俊，妈妈骑自行车的速度为200米/分钟。问妈妈从家出发算起到追上小俊，一共用了多久？ 【答案】3分钟。 【分析】由题意可知，妈妈和小俊的路程差为60×7＝420（米），即追及路程为420米，根据追及问题中“追及路程÷速度差＝追及时间”，代入数据计算即可。 【解答】解：60×7＝420（米） 420÷（200﹣60） ＝420÷140 ＝3（分钟） 答：问妈妈从家出发算起到追上小俊，一共用了3分钟。 【点评】此题属于简单的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”。 30．淮安国际马拉松于今年4月9日上午开赛，来自国内外上万名参赛选手用脚步谱写了“运河三千里，醉美是淮安”的春日赞歌。 （1）黄阿姨参加健康跑（全程7.5千米）项目比赛，跑完全程用时30分钟，黄阿姨平均每分钟跑多少米？ （2）李宏与张明都是全程马拉松的参赛选手。比赛开始后，李宏一直以180米/分的速度匀速前进，张明开始以220米/分的速度跑了1小时，然后减速以160米/分的速度前进。两人在距离起点多少千米处相遇？ 【答案】（1）250米，（2）32.4千米。 【分析】（1）用路程除以时间等于速度。 （2）先求出开始时李宏与张明的相距距离，然后用相距距离除以速度差，就等于相遇时间，最后用总时间乘李宏的速度就得相遇时的路程。 【解答】解：（1）7.5千米＝7500米 7500÷30＝250（米/分钟） 答：黄阿姨平均每分钟跑250米。 （2）（220﹣180）×60 ＝40×60 ＝2400（米） 2400÷（180﹣160） ＝2400÷20 ＝120（分钟） 180×（60+120） ＝180×180 ＝32400（米） 32400米＝32.4千米 答：两人在距离起点32.4千米处相遇。 【点评】明确路程、速度、时间之间的关系是解决本题的关键。 31．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】求出6和8的最小公倍数，即可求出她们可以在该起点第一次相遇的时间。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数24，所以24分钟相遇她们可以在该起点第一次相遇。 答：至少24分钟后她们可以在该起点第一次相遇。 【点评】解答本题的关键是求出6和8的最小公倍数。 32．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是2：3。 （1）经过2.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的几分之几？ （2）两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有210km，AB 两地相距多少千米？ 【答案】（1），（2）450。 【分析】（1）相同时间内所行路程比等于速度比。据此解答。 （2）乙车行到全程的时，则甲车行了全程的，根据甲所剩路程，求得AB两地的距离。 【解答】解：（1）2+3＝5 1 答：经过2.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的。 （2）210÷（1） ＝210 ＝450（千米） 答：AB 两地相距450千米。 【点评】明确所行路程占总路程的几分之几是解决本题的关键。 33．甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60m，乙每分钟走50m。乙走了4分钟后甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？ 【答案】20分钟。 【分析】追及时间＝距离差÷速度差，由题意可知，距离差等于乙4分钟走的路程，可根据路程＝速度÷时间，求出距离差，然后再除以甲、乙两人的速度差即可。 【解答】解：50×4÷（60﹣50） ＝200÷10 ＝20（分钟） 答：甲要走20分钟才能追上乙。 【点评】此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意，求出距离差是关键。 34．一个等腰三角形的沙盘，两腰AB＝AC＝10米，BC＝8米，若有两只小虫同时从该沙盘的顶点A出发（如图），分别沿着两腰爬行一圈，一只小虫每分钟行2.5米，另一只小虫每分钟行2米，则多少分钟后两只小虫在沙盘底边相距1米？ 【答案】6分钟或6分钟。 【分析】由题意可知，两只虫子在沙盘的底边相距1米的时间必须满足两只小虫子都在底边上，所以该时间必然在慢的小虫子到达底边且快的小虫子离开底边之间，计算出这两个时间。两只小虫在沙盘底边相距1米有两种可能，（1）相遇前两只虫子相距1米，两只虫子的路程和为：10+10+8﹣1＝27（米），再除以两只虫子的速度和即可；（2）相遇之后两只虫子又相距1米，两只虫子的路程和为：10+10+8+1＝29（米），再除以两只虫子的速度和即可。 【解答】解：10÷2＝5（分钟） （10+8）÷2.5 ＝18÷2.5 ＝7.2（分钟） （1）相遇前： （10+10+8﹣1）÷（2.5+2） ＝（20+7）÷4.5 ＝27÷4.5 ＝6（分钟） （2）相遇后： （10+10+8+1）÷（2.5+2） ＝（20+9）÷4.5 ＝29÷4.5 ＝6 5＜6＜7.2 5＜67.2 答：6分钟或6分钟两只小虫在沙盘底边相距1米。 【点评】解答本题的关键是分相遇前和相遇后两种情况讨论。 35．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 【答案】7.85。 【分析】不管在哪条跑道，直跑道的长度相等，就不考虑。由题意可知，同一道两个半圆形跑道组成一个圆，这个圆的直径每相邻两道相差2个1.25米，三道的圆周长比二道的圆周长多的长度就得小军提前的距离。 【解答】解：31.85+1.25×4 ＝31.85+5 ＝36.85（米） 31.85+1.25×2 ＝31.85+2.5 ＝34.35（米） 36.85×π﹣34.35×π ＝（36.85﹣34.35）×π ＝2.5×3.14 ＝7.85（米） 答：起跑时小军应该提前小明7.85m。 【点评】明确环形跑道的组成及圆周长的意义是解决本题的关键。 36．生活中处处有数学。A、B两地相距350千米，甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶80千米，乙车的速度是甲车的75%，两车经过多长时间能够相遇？ 【答案】2.5小时。 【分析】由“乙车的速度是甲车的75%”可知把甲车的速度看作单位“1”，则乙车的速度是（80×75%）千米，根据“相遇时间＝路程÷甲、乙两辆汽车的速度之和”代入数值解答即可。 【解答】解：350÷（80+80×75%） ＝350÷140 ＝2.5（小时） 答：两车经过2.5小时能够相遇。 【点评】此题主要考查路程、速度、时间三者的关系式：路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，灵活变形列式解决问题。 37．明明和亮亮沿着同一个公园的外围骑共享自行车，明明骑一圈要10分钟，亮亮骑一圈要12分钟。若明明和亮亮在同一起点同时开始骑行，至少几分钟后两人在起点再次相遇？此时明明骑了几圈？亮亮骑了几圈？ 【答案】60分钟；6圈；5圈。 【分析】明明和亮亮再次相遇经过的时间是10和12的最小公倍数，再次相遇经过的时间除以10分钟就是明明骑的圈数，再次相遇经过的时间除以12就是亮亮骑的圈数。依此解答。 【解答】解：10＝2×5 12＝2×2×3 所以10和12的最小公倍数是2×2×3×5＝60， 也就是60分钟后两人再次相遇。 60÷10＝6（圈） 60÷12＝5（圈） 答：至少60分钟后两人再次相遇，此时明明骑了6圈，亮亮骑了5圈。 【点评】本题主要考查最小公倍数的应用。 38．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90km，货车平均每时行60km。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 【答案】4时。 【分析】依据题意可知，货车2小时行驶的路程+货车行驶速度×两车共同行驶时间＝轿车速度×两车共同行驶时间，由此计算两车共同行驶时间，两车共同行驶时间就是轿车追上货车的时间。 【解答】解：60×2÷（90﹣60） ＝120÷30 ＝4（时） 答：轿车开出4时后才能追上货车。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 39．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【答案】（1）300米/分钟； （2）3圈。 【分析】（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程，用路程÷相遇时间＝速度和，速度和减去小王的速度，即可求出小张的速度； （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），用路程÷速度差＝追及时间，再进一步即可解答。 【解答】解：（1）500÷1﹣200 ＝500﹣200 ＝300（米/分钟） 答：小张的速度是300米/分钟。 （2）500÷（300﹣200） ＝500÷100 ＝5（分钟） 300×5÷500 ＝1500÷500 ＝3（圈） 答：小张跑3圈后才能第一次追上小王。 【点评】本题关键在于理清在不同的运动过程中，两人的路程和、路程差、速度和、速度差对应的量是多少，然后进行求解。 40．甲、乙两地相距120千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，它们各自到达终点后立即返回。已知客车每小时行54千米，货车每小时行42千米。从出发到返回时相遇，一共经过了多少小时？ 【答案】3.75小时。 【分析】客车和货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，它们各自到达终点后立即返回，从出发到返回时相遇，一共行驶了3个120千米，然后除以速度和即可。 【解答】解：120×3÷（54+42） ＝360÷96 ＝3.75（小时） 答：一共经过了3.75小时。 【点评】解答本题关键是明确第二次相遇共行驶了3个甲、乙两地之间的距离。 41．一列火车要通过一条长900米的隧道，已知火车长180米，火车每秒行驶27米，这列火车全部通过隧道需要多长时间？ 【答案】40秒。 【分析】注意火车通过隧道的路程需要加上火车的长度，所以此题火车走过的总路程为（900+180）米，速度为27米/秒，根据时间＝路程÷速度即可求得这列火车几秒可以完全通过隧道。 【解答】解：900+180＝1080（米） 1080÷27＝40（秒） 答：这列火车全部通过隧道需要40秒。 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，特别是要抓住火车通过隧道的路程是隧道的长加上火车的长度。 42．一座桥长350米，一列火车以每秒20米的速度经过这座桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，这列火车长多少米？ 【答案】130米。 【分析】从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，则火车等于跑了桥的全长加车的长度，所以用24秒所行驶的路程减去350米就是这列火车的长度。 【解答】解：20×24﹣350 ＝480﹣350 ＝130（米） 答：这列火车长130米。 【点评】解答此题的关键是明确：列车过桥走过的路程＝桥长+车身长，再根据基本的数量关系解决问题。 43．甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米，2小时后两车还未相遇，这时两车之间的距离占A、B两地距离的，求A、B两地相距多少千米。 【答案】350千米。 【分析】甲每小时行60千米，乙车每小时行45千米，2小时两车共行驶（60+45）×2＝210（千米）；这时两车之间的距离占A、B两地距离的，可知它们行驶了A、B两地距离的1；求A、B两地的距离，列式为：210，计算即可。 【解答】解：（60+45）×2÷（1） ＝105×2 ＝210 ＝350（千米） 答：A、B两地相距350千米。 【点评】此题的解题思路是：先求出2小时两车所行的路程，找出这一路程占全程的分率，从而解决问题。 44．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 【答案】6分钟。 【分析】由已知条件可知，二人第一次相遇时，乙比甲多跑一周，即600米，又知乙每分钟比甲多跑（400﹣300）米，即可求第一次相遇时经过的时间。 【解答】解：600÷（400﹣300） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：经过6分钟两人第一次相遇。 【点评】明确当两人第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周是完成本题的关键。 45．青藏铁路是世界上最长的高原铁路，东起青海西宁，西至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，经过12小时相遇。快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】73千米。 【分析】设慢车每小时行x千米，那么12小时就行驶了12x千米，快车12小时行驶了（90×12）千米，两车的路程和就是全长1956千米，由此列出方程求解。 【解答】解：设慢车每小时行x千米，由题意得： 12x+90×12＝1956 12x+1080＝1956 12x＝876 x＝73 答：慢车平均每小时行驶73千米。 【点评】本题根据相遇问题中的等量关系：两车的路程和＝全程；再结合速度、路程、时间三者的关系列出方程。 46．小红和小华同时以72米/分的速度从跑道点A出发相背而行，2分钟后分别走到点B和点C的位置，这时点B、C之间的距离占跑道总长的。跑道总长多少米？ 【答案】384千米。 【分析】先利用速度×时间＝路程，求出小红和小华走的路程；两人走的路程和占总跑道长的1，再根据除法的意义即可解答。 【解答】解：72×2×2÷（1） ＝288 ＝384（千米） 答：跑道总长384千米。 【点评】本题考查了环形跑道问题，关键是求出（1）对应的数量是多少。 47．小明和小军是同班同学，运动会上两人一起参加团体往返接力跑比赛。两人从一条直跑道的中点同时向跑道的两端跑去，到两端后各自返回，两人在跑道全长处相遇，这时小明比小军多跑2m。这条跑道长多少米？ 【答案】10米。 【分析】两人从一条直跑道的中点同时向跑道的两端跑去，到两端后各自返回时，两人各跑了全程的，当两人在跑道全长的处相遇时，小明应该跑了全程的（），小军应跑了全程的：（1），求出小明比小军多跑的距离也就是2米占的分率，依据分数除法意义即可解答。 【解答】解：1 2÷[（）﹣（）] ＝2÷[] ＝2 ＝10（米） 答：这条跑道长10米。 【点评】解答本题的关键是求出2米占这条跑道的分率。 48．火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山洞）结束。一列火车长225米，每秒行驶35米，全车要通过一条长650米的大桥，需要多少秒？ 【答案】25秒。 【分析】火车要经过的路程是（225+650）米，利用时间＝路程÷速度，计算需要的时间。 【解答】解：（225+650）÷35 ＝875÷35 ＝25（秒） 答：需要25秒。 【点评】本题考查的是列车过桥问题的应用。 49．甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，往返于两港口之间。甲船的速度是42千米/时，乙船的速度是36千米/时，经过4小时两船第二次相遇。A、B两港口相距多少千米？ 【答案】104千米。 【分析】经过4小时两船第二次相遇，即4小时行驶的路程和相当于A、B两港口距离的3倍，然后根据“速度和×相遇时间＝总路程”解答即可。 【解答】解：（42+36）×4÷3 ＝78×4÷3 ＝104（千米） 答：A、B两港口相距104千米。 【点评】解答本题关键是明确：第二次相遇，行驶的路程和相当于3个A、B两港口之间的距离。 50．甲、乙两城市之间的铁路长940千米，一列客车以每小时120千米的速度从甲城开往乙城，1小时后有一列货车以每小时85千米的速度从乙城开往甲城。再经过几时两车相遇？ 【答案】4时。 【分析】先用两城市之间的路程减去客车1小时行的路程，求出剩下的路程，再用剩下的路程除以两车的速度和即可求出两车相遇的时间。 【解答】解：（940﹣120）÷（120+85） ＝820÷205 ＝4（时） 答：再经过4时两车相遇。 【点评】掌握“相遇时间＝总路程÷两车的速度和”是完成本题的关键，注意本题中因为货车后开出，所以两车相同时间行的路程要从总路程里减去客车在货车开出之前行的路程。 51．一辆客车和一辆货车同时从相距360千米的两地相对开出，经过2.5小时相遇，已知客车、货车速度的比是5：4，客车、货车每小时各行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用总路程除以相遇时间即可求出速度和，因为客车与货车的速度比是5：4，用速度和除以总份数5+4＝9即可求出每一份的长度，再分别乘各自占的份数即可解答． 【解答】解：360÷2.5÷（5+4） ＝144÷9 ＝16（千米） 客车：16×5＝80（千米/小时） 货车：16×4＝64（千米/小时） 答：客车每小时行80千米，货车每小时行64千米． 【点评】此题主要考查了相遇问题和比的意义的灵活运用．关键是求出速度和每一份的长度． 52．一列火车长185米，以每秒7米的速度经过一条长536米长的隧道，从火车车头进入隧道到车尾离开隧道一共需要多少时间？ 【答案】103秒。 【分析】根据题意知道车头进入隧道到车尾离开隧道所行走的路程是（185+536）米，用路程除以速度就是时间。 【解答】解：（185+536）÷7 ＝721÷7 ＝103（秒） 答：从火车车头进入隧道到车尾离开隧道一共需要103秒。 【点评】在此类过桥问题中，列车完全通过隧道所行的长度＝列车的长度+隧道的长度。 53．一列火车长260米，这列火车经过一根电线杆用了20秒（电线杆的长度忽略不计），之后又用了45秒经过一坐大桥，那么大桥长度是多少米？ 【答案】325米。 【分析】火车经过一根电线杆行驶的路程等于火车的长度，因此，用火车长度除以经过电线杆用的时间求出火车的速度；再用火车的速度乘火车经过大桥用的时间求出火车经过大桥行驶的路程，火车经过大桥行驶的路程等于火车长度加大桥的长度，所以再减去火车的长度即可。 【解答】解：260÷20×45﹣260 ＝13×45﹣260 ＝585﹣260 ＝325（米） 答：大桥长度是325米。 【点评】本题考查了列车过桥（过隧道）问题的应用。 54．附加题：小启和小智两人绕着环形跑道同时同地背向跑步，小启每秒跑5米，小智每秒跑6米，小启和小智第一次相遇后，又跑了1分钟，才回到起点。小启自己绕环形跑道跑一圈要多少秒？这个环形跑道长多少米？ 【答案】110秒，550米。 【分析】先根据“路程＝速度×时间”求出小启60秒跑的路程，即小智相遇时跑的路程；再用小智相遇时跑的路程除以小智的速度，即相遇时用的时间，然后进一步解答即可。 【解答】解：1分钟＝60秒 5×60÷6＝50（秒） 50+60＝110（秒） （5+6）×50 ＝11×50 ＝550（米） 答：小启自己绕环形跑道跑一圈要110秒，这个环形跑道长550米。 【点评】本题属于环形跑道问题，关键明确小启60秒跑的路程等于相遇时小智跑的路程。 55．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，甲车每时行50千米，乙车每时比甲车多行10千米，经过2时相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】220千米。 【分析】已知甲车每时行50千米，乙车每时比甲车多行10千米，则乙车每时行（50+10）千米。根据路程＝相遇时间×速度之和，即可求得甲、乙两地相距多少千米。 【解答】解：50+10＝60（千米/时） （50+60）×2 ＝110×2 ＝220（千米） 答：甲、乙两地相距220千米。 【点评】本题考查相遇问题中速度、时间、路程三者之间的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $$