小升初典型奥数：多次相遇问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

多次相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 第二部分 典型例题 例题1：货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 【答案】1.35小时，2.7小时。 【分析】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。 【解答】解：270÷（80+120） ＝270÷200 ＝1.35（小时） 270×3÷（80+120） ＝810÷200 ＝4.05（小时） 4.05﹣1.35＝2.7（小时） 答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。 【点评】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。 例题2：甲、乙两辆汽车同时从A、B两城出发，相向而行，在离A城65千米处相遇，两车各自到达对方城市后，都立即以原速沿原路返回，又在离A城23千米处相遇。求A、B两城之间的距离。 【答案】109千米。 【分析】第一次相遇时，从A城出发的汽车行驶了65千米，到第二次相遇时，两人一共行驶了3个两城间的距离，那么从A城出发的汽车就应该行驶了65×3＝195（千米），此时此汽车再行驶23千米，就行驶23+195＝218（千米）的距离，也就是2个两城间的距离，依据除法意义即可解答。 【解答】解：（65×3+23）÷2 ＝（195+23）÷2 ＝218÷2 ＝109（千米） 答：原来两城相距109千米。 【点评】明确第二次相遇时从A城出发的汽车就应该行驶了（65×3）千米是解答本题的关键。 例题3：A、B两地相距70千米，甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是20千米/时，乙的速度是15千米/时，两人分别到达B、A两地后立即返回，求两人第二次相遇点距第一次相遇点有多少千米。 【答案】20千米。 【分析】相遇问题中，路程比等于速度比，据此可以求出两人第一次相遇所走的路程，第二次相遇，两人走的路程为3个全程，再根据路程比等于速度比，求出两人第二次相遇分别走的路程，两次相遇点间的距离＝甲第二次相遇所走路程﹣全程﹣乙第一次相遇走的路程，据此计算。 【解答】解：第一次相遇，乙走了： 70 ＝70 ＝30（千米） 第二次相遇，甲走了： 70×3 ＝210 ＝120（千米） 两个相遇点间距： 120﹣70﹣30 ＝50﹣30 ＝20（千米） 答：两人第二次相遇点距第一次相遇点有20千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，找出相遇点间距与两人两次相遇分别走的路程之间的数量关系是本题解题的关键。 例题4：A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？ 【答案】两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。 【分析】两人第一次相遇时距A、B的中点100米，说明两人相遇的路程差是100×2＝200米，根据和差公式可以求出速度慢的人第一次相遇时行了（1000﹣200）÷2＝400米，当两个人第二次相遇时速度慢的人共行了400×3＝1200米，两人第二次相遇的地点距A、B的中点是1000÷2﹣（1200﹣1000）；据此解答即可。 【解答】解：（1000﹣100×2）÷2 ＝800÷2 ＝400（米） 400×3＝1200（米） 1000÷2﹣（1200﹣1000） ＝500﹣200 ＝300（米） 答：两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。 【点评】解答本题关键是理解两人第二次相遇共行了3个A、B两地之间的路程。 第三部分 高频真题 1．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？ 2．两个机器人在一条直线跑道上测试，机器人叮叮的速度是12米/秒，机器人咚咚的速度是18米/秒。它们从跑道的两端同时出发，往返于直线跑道的两端之间。20秒后两个机器人第二次相遇。这条跑道长多少米？ 3．在甲、乙两地间的公路上，规定从甲地向乙地方向行驶的车辆的速度为每小时50千米，从乙地向甲地方向行驶的车辆的速度为每小时60千米．今有A、B两辆车，同时从甲、乙两地相向出发，在两地间往返行驶．在A车到达乙地向甲地返回途中因故停车，停车地点距乙地30千米，在此处两车第二次相遇，这样两车相遇时间比原定第二次相遇时间晚了1小时12分．那么，甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 4．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？ 5．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？ 6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 7．小徐和小马在相距120米的跑道上来回跑步，小马每秒跑3.5米，小徐每秒跑2.5米，两人同时从跑道两端相向而行，来回共跑了3分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次？ 8．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？ 9．A、B两地相距1000米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，第一次两人相遇时距中点100米。那么第二次相遇时距第一次相遇的地点有多远？ 10．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 11．ABC为90米环形的三等分点，蓝精灵、红精灵分别从AB两点出发向C走，蓝精灵的速度是5米每秒，红精灵的速度是2.5米每秒，当走到C处都转身向回走，并且两人相遇后也转身向回走． （1）当两人走了10秒后，两人相距多少米（不含C的弧）？ （2）两人第一次相遇经过多少时间？ （3）两人第二次相遇经过多少时间？ 12．甲、乙两车分别从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米．请问：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米？ 13．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 14．小红和小明同时从相距3km的甲、乙两地面对面比赛跑步，小红到达乙地后立即返回继续跑，小明到达甲地后也立即返回继续跑，从开始跑到两人第二次相遇用了24分钟。已知小红每分钟跑200m，求小明每分钟跑多少米？ 15．欢欢和乐乐分别从相距100千米的A、B两地同时相向而行，欢欢每小时走6千米，乐乐每小时走4千米，如果欢欢带着一只狗和自己同时出发，狗每小时跑10千米，狗在两人之间来回奔跑，直到两人相遇，狗跑了多少千米？ 16．（多次相遇）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原来的速度继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50千米处，求A、B两站之间的距离。 17．爸爸出差回来，在距离家700米时，小明和他的小狗一起出门迎接爸爸。爸爸的速度是82米/分，小明的速度是58米/分，小狗的速度是125米/分。小狗遇到爸爸后就立即回头跑向小明，遇到小明后再立即回头跑向爸爸，这样来回不停，直到小明和爸爸相遇。从出发开始，小狗一共跑了多少米？ 18．一根棍子的左端有8只间隔相等的蚂蚁，以速度v向右爬行；棍子右端则有6只蚂蚁，也以速度v向左爬行，两蚁若迎面相遇，将立即同时掉头往回爬；如果爬出棍子两头，就会掉下去，当所有蚂蚁掉下棍子后，它们之间一共相遇了几次？ 19．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 20．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离． 21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B两地相距多少千米？ 22．一条马路长2000m，凯文骑自行车和他爸爸同时从马路的起点出发，匀速而行。当爸爸走到这条马路一半的时候，凯文已经到达马路的终点。然后凯文返回与爸爸相向而行，遇到爸爸后再骑车到终点，到终点后再与爸爸相向而行……直到爸爸到达终点凯文从起点开始，一共骑车多少米？ 23．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 24．甲乙两车分别从AB两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处再次相遇．问AB两地相距多少千米？ 25．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 26．小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去．两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回．他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回．当他俩在河中第三次相遇时，距东岸多少米？距西岸多少米？ 27．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点2000米，求A、B两地的距离. 28．一条马路长200m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点．然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…直到小亮到达终点．小狗从出发开始，共跑了多少米？ 29．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲、乙的速度比是5：3。两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距多少千米？ 30．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，第一次相遇距A地40千米，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次相遇距A地20千米，求A、B两地路程． 31．一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？ 32．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!） 33．有甲乙两车从A、B两地相向而行，甲乙的速度比是7：9，两车相遇后又继续前进，甲到达B地，乙到达A地后又返回，甲车在离B地80千米的地方与乙车相遇，求A、B两地的距离． 34．两艘轮船从东西两港同时相对开出。在离东港80千米处相遇，相遇后两船仍以原速继续前进，各自到达对方港后都立即返回。结果又在距离西港100千米处相遇。东西两港相距多少千米？两次的相遇地点相距多少千米？ 35．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇） 36．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？ 37．轿车以每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从西村出发，两车同时出发，相向而行，轿车到达西村，货车到达东村后立即原路返回，在东、西两村不断往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距200千米。那么东、西两村相距多少千米？ 38．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。 （1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？ （2）这座桥长多少米？ （3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　 　 39．途途、高高分别从A、B两地同时出发，相向而行，高高的速度是途途的，两人相遇后继续行进，途途到B地、高高到A地后都立即返回，两人在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距4千米，那么A、B两地相距多少千米？ 40．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，相向而行，每小时行3千米，在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇，两次相遇点相距多少千米？ 41．甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行．甲车每小时行60千米，乙车每小时比甲车多行30千米．两车相遇后都继续往前行驶，都到达后立即按原路返回并再次相遇．两车从出发到第二次相遇共用了5小时，求AB两城相距多少千米？ 42．甲、乙两车分别从相距450米的A、B两地同时出发，相向而行，在直道A、B之间往返跑，甲每分钟走15米。乙每分钟走30米，甲、乙两人第二次相遇距离B地多远？ 43．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地32千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续按原速前进，到达A、B两地后立即沿原路返回，在离A地64千米处第二次相遇，求AB两地的距离． 44．甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120米的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒． （1）经过多少时间，两人第一次相遇？ （2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？ （3）若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇多少次？（端点除外） 45．A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发，两地往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米。甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？ 46．两辆汽车同时从A，B两地相向而行，第一次相遇在距A地180千米的地方，相遇后继续前进，各自到达B，A两地后按原路返回，第二次相遇在距A地260千米的地方，A，B两地相距多少千米？ 47．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前行到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 48．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米） 49．甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动当甲走了160米以后，他们第一次相遇；在乙走过A后20米的D处又第二次相遇．求圆形场地的周长． 50．A、B两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A、B两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 51．甲、乙两人在一条东西方向的长为30米的马路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。甲从马路的一端由东向西跑，乙从马路的另一端由西向东跑，两人同时出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 52．甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 53．A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 54．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？ 参考答案与试题解析 1．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？ 【答案】11250米。 【分析】第一次相遇是相遇问题，小抄转身往回跑；第二次相遇为追击问题，追击距离为跑道长度，小汐转身往回跑；第三次相遇再次变为相遇问题……所以，30次相遇中一半为相遇问题，一半为追及问题，相遇路程和追及路程均为一圈跑道的长度，据此计算出总时间，再乘小潮的速度，即为他的总路程。 【解答】解：相遇时间： 400÷（3+5） ＝400÷8 ＝50（秒） 追及时间： 400÷（5﹣3） ＝400÷2 ＝200（秒） 总时间： 50×15+200×15 ＝750+3000 ＝3750（秒） 总路程： 3750×3＝11250（米） 答：在第30次相遇时小潮一共跑了11250米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，总结30次相遇中有多少次相遇是追及问题和相遇问题，从而求出总时间，是本题解题的关键。 2．两个机器人在一条直线跑道上测试，机器人叮叮的速度是12米/秒，机器人咚咚的速度是18米/秒。它们从跑道的两端同时出发，往返于直线跑道的两端之间。20秒后两个机器人第二次相遇。这条跑道长多少米？ 【答案】200米. 【分析】机器人叮叮的速度加上机器人咚咚的速度算出两个机器人每秒共走的米数，再乘行走的时间算出行走的总路程；往返于直线跑道的两端指机器人到达终点返回，第二次相遇说明两个机器人再次相遇，那么行走的距离相当于跑道长度的3倍，用总路程除以3即可。 【解答】解：（12+18）×20÷3 ＝30×20÷3 ＝600÷3 ＝200（米） 答：这条跑道长200米。 【点评】明确速度乘时间等于路程、理解第二次相遇表示的意义是解决本题关键。 3．在甲、乙两地间的公路上，规定从甲地向乙地方向行驶的车辆的速度为每小时50千米，从乙地向甲地方向行驶的车辆的速度为每小时60千米．今有A、B两辆车，同时从甲、乙两地相向出发，在两地间往返行驶．在A车到达乙地向甲地返回途中因故停车，停车地点距乙地30千米，在此处两车第二次相遇，这样两车相遇时间比原定第二次相遇时间晚了1小时12分．那么，甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】 图中红色点代表A车，蓝色点代表B车． A车到乙地时用时时，B车到甲地用时．A车到乙地时B车已经从甲地返回，行驶到N点，速度也变为50km/h．MN之间的距离为（ ）×50 km．A车开始返回速度变为60km/h．行驶30千米到Q点时停车．PQ长度为30km，用时时，这段时间B车从N点行驶至R点．NR的长度为：50＝25（千米）造成相遇晚1小时1分的原因是RQ这段路程本来是AB两车同时行驶，现在变为B车单独行驶． RQ的长度为：x﹣（ ）×50﹣25﹣30＝x55 x﹣55 【解答】解：设两地的距离为x 千米． [x﹣（ ）×50﹣25﹣30]÷50﹣[x﹣（ ）×50﹣25﹣30]÷（50+60）＝1 （x55）÷50﹣（x55）÷110＝1 （ x﹣55）÷50﹣（ x﹣55）÷110＝1 x＝198 答：甲、乙两地之间的距离是198千米． 【点评】用画图法可以帮助理解题意，要明白是哪一段路程导致的相遇晚点． 4．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把同向行驶的相邻两辆车之间的距离看作单位“1”，两辆电车每分钟一共行，则每辆电车每分钟行2；如果电车行驶全程需要56分钟，则甲乙两地之间的距离为56＝7；小张和电车每分钟一共行全程的，小王和电车每分钟一共行全程的，那么两人的速度和是（），再用总路程7除以速度和，即可求出两人相遇时已经行了：7÷（）＝60（分钟）；据此解答即可． 【解答】解：2 56＝7 7÷（） ＝7 ＝60（分钟） 答：他们已经出发了60分钟． 【点评】本题考查了比较复杂的行程问题，关键是求出车和车、人和车、人和人的速度和． 5．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？ 【答案】176米。 【分析】环形跑道上，每次相遇的总路程均为跑道一圈的距离，设乙的速度为x米/分，根据相遇时间×速度和＝总路程列出方程，求出两人的速度，再计算乙走的总路程，根据总路程确定第五次相遇点到A的最短距离。 【解答】解：设乙的速度为x米/分， 0.1米/秒＝6米/分 所以甲的速度为（x+6）米/分 8×（x+6+x）＝400×5 解得：x＝122 乙的总路程为： 122×8＝976（米） 976÷400＝2（圈）……176（米） 因为176＜400÷2， 所以，176米就是第五次相遇点到A点的最短距离。 答：两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是176米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题和环形跑道问题的综合，根据相遇问题中总路程＝时间×速度和列出方程是本题解题的关键。 6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】2千米。 【分析】我们知道“甲、乙第一次相遇他们的总路程为一个全过程（A、B之间的距离），以后每次相遇他们的总路程均为2个全程”；再结合第一次相遇乙走了BC的距离，第二次相遇乙走了2个AC的距离+1千米，这两次的路程关系为2倍关系，据此即可求出第一次相遇时乙比甲多走了多少米，进而求得第一次相遇的用时，再应用速度和×相遇时间＝相遇路程。 【解答】解：1千米＝1000米 2个AC的距离+1000＝2个BC的距离 BC的距离﹣AC的距离＝500，即第一次相遇乙比甲多走了500米。 第一次相遇用时： 500÷（100﹣60） ＝500÷40 ＝12.5（分钟） （100+60）×12.5 ＝160×12.5 ＝2000（米） 2000米＝2千米 答：AB两地相距2千米。 【点评】解此题的关键是“根据两次相遇时，甲或乙的行程关系，得到第一次相遇时乙比甲多走了多少米”，之后即可轻松作答。 7．小徐和小马在相距120米的跑道上来回跑步，小马每秒跑3.5米，小徐每秒跑2.5米，两人同时从跑道两端相向而行，来回共跑了3分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次？ 【答案】6。 【分析】由这条直跑道长度为120米，两人的速度和3.5+2.5＝6米/秒，所以两人第一次是迎面相遇，用时120÷6＝20秒；第二次相遇是两人共行两个全程迎面相遇，相遇时间为120×2÷6＝40秒；第三次相遇是两人共行两个全程迎面相遇，相遇时间为40秒；这时小马距离最近跑道端点是10米，也就是小徐与小马相距10+10＝20米，由于小马比小徐每秒多跑3.5﹣2.5＝1米，20÷1＝20秒，小马追上小徐，第四次是追及相遇；第五次是共行一个全程迎面相遇，时间是60×2÷6＝20秒，第六次是共行两个全程迎面相遇，用时40秒，这时总用时20+40+40+20+20+40＝180秒＝3分钟，所以一共相遇6次。 【解答】解：3分钟＝180秒 两人第一次迎面相遇用时： 120÷（3.5+2.5） ＝120÷6 ＝20（秒） 相遇点距离小徐出发点：2.5×20＝50（米） 两人第二次迎面相遇用时： 120×2÷（3.5+2.5） ＝240÷6 ＝40（秒） 相遇点距离小马出发点：120﹣（3.5×40﹣50）＝30（米） 两人第三次迎面相遇用时： 120×2÷（3.5+2.5） ＝240÷6 ＝40（秒） 相遇点距离小徐出发点：120﹣（3.5×40﹣30）＝10（米），此时小马跑到小徐出发点，掉头追小徐； 两人第四次是追及相遇，用时： 10×2÷（3.5﹣2.5） ＝20÷1 ＝20（秒） 相遇点距离小马出发点：120﹣10﹣2.5×20＝60（米） 两人第五次迎面相遇用时： （60+60）÷（3.5+2.5） ＝120÷6 ＝20（秒） 相遇点距离小马出发点：60﹣2.5×20＝10（米） 两人第六次迎面相遇用时： 120×2÷（3.5+2.5） ＝240÷6 ＝40（秒） 这六次相遇共用时：20+40+40+20+20+40＝180（秒） 答：在这段时间内一共相遇了6次。 【点评】本题关键是分别求出每次相遇时，是迎面相遇，还是追及相遇，然后再进一步解答。 8．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，从A城出发的甲行驶了32千米，到第二次相遇时，两人一共行驶了3个两城间的距离，那么从A城出发的甲就应该行驶了32×3＝96千米，此时甲行驶了两城路程多44千米，就行驶96﹣44＝52千米的距离，也就是两城间的距离，依据除法意义即可解答． 【解答】解：32×3﹣44 ＝96﹣44 ＝52（千米） 答：原来两城相距52千米 【点评】明确第二次相遇时从A城出发的汽车就应该行驶了32×3＝96千米，是解答本题的关键． 9．A、B两地相距1000米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，第一次两人相遇时距中点100米。那么第二次相遇时距第一次相遇的地点有多远？ 【答案】400米。 【分析】第一次相遇两人共走了一个全程即1000米，相遇点据中点100米，说明其中一人比另一个人多走了100×2＝200（米），第二次相遇两人共走了三个全程，则快的人比慢的人多走了200×3＝600（米），根据和差公式，可以求出两次相遇中，快的人和满的人分别走了多少路程，两个相遇点的距离为快的人第二次相遇走的总路程减去一个全程，再减去慢的人第一次相遇走的路程，据此计算。 【解答】解：第一次相遇两人共走了一个全程，即1000米， 相遇点据中点100米， 说明快的人比慢的人多走了： 100×2＝200（米） 第二次相遇两人共走了三个全程， 则快的人比慢的人多走了： 200×3＝600（米） 第一次相遇，慢的人走的路程为： （1000﹣200）÷2 ＝800÷2 ＝400（米） 第二次相遇，快的人走的路程为： （1000×3+600）÷2 ＝3600÷2 ＝1800（米） 两个相遇点的距离为： 1800﹣1000﹣400 ＝800﹣400 ＝400（米） 答：第二次相遇时距第一次相遇的地点有400米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，找出相遇点间距与两人两次相遇分别走的路程之间的数量关系，是本题解题的关键。 10．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】丙遇到乙后再过10分钟又遇到甲，则从丙遇到乙后，再和甲相遇的这10分钟里，甲丙共行了（20+25）×10＝450米，即乙丙相遇时，乙比甲多行了450米，甲、乙两人的速度差为22﹣20＝2米/分钟，则乙丙相遇时，甲、乙共行的时间450÷2＝225分钟，所以东、西两镇的距离为：（22+25）×225米． 【解答】解：（20+25）×10÷（22﹣20）×（22+25） ＝450÷2×47 ＝225×47 ＝10575（米） 答：两镇相距10575米． 【点评】解答此题关键是根据乙丙相遇后甲与丙的相遇时间求出相遇时甲、乙的距离差，再用甲乙路程差除以速度差，就可此求出乙、丙的相遇时间是完成本题的关键． 11．ABC为90米环形的三等分点，蓝精灵、红精灵分别从AB两点出发向C走，蓝精灵的速度是5米每秒，红精灵的速度是2.5米每秒，当走到C处都转身向回走，并且两人相遇后也转身向回走． （1）当两人走了10秒后，两人相距多少米（不含C的弧）？ （2）两人第一次相遇经过多少时间？ （3）两人第二次相遇经过多少时间？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出两人10秒各走了多少距离，和两人出发时距离C点的距离，得出两人是否从C点折返，然后求出此时两人到C点距离，用总长减去两人各自到C点距离，即为所求； （2）画出线段图，根据线段图得出第一次相遇时所走的总路程，除以两人的速度和，即为所求； （3）根据线段图得出第二次相遇时所有的总路程，除以两人的速度和，即为所求． 【解答】解：（1）A到C的距离等于A到B的距离等于B到C的距离，为9030（米）； 10秒后，蓝精灵走了5×10＝50（米），红精灵走了2.5×10＝25（米）， 25＜30＜50 所以，蓝精灵从C点折返了，红精灵没有到达C点， 此时，蓝精灵距离C点：50﹣30＝20（米） 红精灵距离C点：30﹣25＝5（米） 两人相距：90﹣5﹣20＝65（米） 答：两人相距65米． （2）由（1）可知，两人第一次不会在C点相遇，画出线段图，如图： 第一次相遇时，两人一共走了两个总长减去A、B之间的距离： 2×90﹣30＝150（米） 两人的速度和为：5+2.5＝7.5（米每秒） 两人第一次相遇经过的时间：150÷7.5＝20（秒） 答：两人第一次相遇经过20秒． （3）第二次相遇时，两人一共走了4个总长减去A、B之间的距离： 4×90﹣30＝330（米） 两人第二次相遇经过的时间：330÷7.5＝44（秒） 答：两人第二次相遇经过44秒． 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，是解决相遇问题的关键． 12．甲、乙两车分别从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米．请问：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米，那么每行一个全程（即第一次相遇）需要50÷（26+24）＝1（小时），然后每相遇一次共行2个全程，所以第3次迎面相遇的时间是1+1×（2×2）＝5（小时），甲车行驶的总路程是26×5＝130（千米）；同理第4次迎面相遇的时间是1+1×（2×3）＝7（小时），甲车行驶的总路程是26×7＝182（千米）；两者的总路程是130+182＝312（千米），然后除以50千米，那么余数就是第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米． 【解答】解：50÷（26+24）＝1（小时） 1+1×（2×2）＝5（小时） 26×5＝130（千米） 1+1×（2×3）＝7（小时） 26×7＝182（千米） 130+182＝312（千米） 312÷50＝6（个）…12（千米） 答：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距12千米． 【点评】在多次相遇问题中，相遇次数与共行全程的个数的关系为：第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程，如相遇次数为N，共行全程的个数＝1+（N﹣1）×2． 13．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，甲乙两车每次相遇都共行了2个A、B之间的全程，画图如下：（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）； 由图可知：第一次相遇时甲走了AP，乙走了AP+2BP；第二次相遇时，甲走了2BP，即AP＝2BP；这样即可求出AP+2BP与AP的数量关系，那么就可以每次相遇两车行驶的路程比，继而可以求出每次相遇乙车行驶的路程，然后再进一步解答． 【解答】解：根据题意可画出下图（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的） 由图可知：第一次相遇，甲走了AP的路程；第二次相遇甲走了PB+BP，则 AP＝2BP，那么AB＝3BP； 第一次相遇：甲车路程：乙车路程＝AP：（AB+BP）＝2BP：4BP＝1：2； 第一次相遇乙车行驶了：540÷（1+2）×2×2＝720（千米）； 每次相遇，乙车都行驶了720千米； 所以，第三次相遇乙车共行了3个720千米，即720×3＝2160（千米）． 答：到两车第三次相遇为止，乙车共走了2160千米． 【点评】此题利用画图便于理清思路和其中的数量关系，然后即可轻松作答． 14．小红和小明同时从相距3km的甲、乙两地面对面比赛跑步，小红到达乙地后立即返回继续跑，小明到达甲地后也立即返回继续跑，从开始跑到两人第二次相遇用了24分钟。已知小红每分钟跑200m，求小明每分钟跑多少米？ 【答案】175米。 【分析】画出线段图，可知两人第二次相遇共走了3个全程，根据速度和＝路程÷相遇时间，求出两人的速度和，然后减去小红的速度就是小明的速度。 【解答】解：线段图如下： 可知，两人第二次相遇走了3个全程， 3km＝3000m 两人速度和为：3×3000÷24＝375（米/分钟） 小明的速度为：375﹣200＝175（米/分钟） 答：小明每分钟跑175米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，找出路程的关系，是本题解题的关键。 15．欢欢和乐乐分别从相距100千米的A、B两地同时相向而行，欢欢每小时走6千米，乐乐每小时走4千米，如果欢欢带着一只狗和自己同时出发，狗每小时跑10千米，狗在两人之间来回奔跑，直到两人相遇，狗跑了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要求出狗行走的路程，只要求出狗行走的时间，然后再乘狗的速度即可，狗行走的时间就是欢欢和乐乐两人的相遇时间，用两地之间的路程除以两人的速度和就是相遇时间，进而求出狗行走的路程． 【解答】解：100÷（4+6） ＝100÷10 ＝10（小时） 10×10＝100（千米） 答：这只狗一共走了100千米． 【点评】本题看似复杂，但只要明确在这一过程中，狗一直在行走，与两人相遇所用时间相同，问题就好解决了． 16．（多次相遇）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原来的速度继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50千米处，求A、B两站之间的距离。 【答案】160千米。 【分析】第一次相遇时，甲、乙合走了一个AB全程，且甲走了90千米．第二次相遇，甲、乙共合走了3个AB全程，则甲就走了（90×3）千米；根据第二次相遇时离A地50千米，也就是甲走的路程再加上50千米就等于AB全程的2倍；然后再除以2就是AB间的距离；列式解答即可。 【解答】解：（90×3+50）÷2 ＝320÷2 ＝160（千米） 答：A、B两地的距离是160千米。 【点评】解答此题的关键是求第二次相遇时甲汽车共行驶的路程。 17．爸爸出差回来，在距离家700米时，小明和他的小狗一起出门迎接爸爸。爸爸的速度是82米/分，小明的速度是58米/分，小狗的速度是125米/分。小狗遇到爸爸后就立即回头跑向小明，遇到小明后再立即回头跑向爸爸，这样来回不停，直到小明和爸爸相遇。从出发开始，小狗一共跑了多少米？ 【答案】从出发开始，小狗一共跑了625米。 【分析】根据相遇时间＝路程÷速度之和，用700÷（82+58）＝5（分），即求得小明出发5分钟后和爸爸相遇。在这段时间里，小狗一直在跑，求小狗的跑动距离，用小明和爸爸的相遇时间×小狗的速度即可。 【解答】解：700÷（82+58） ＝700÷140 ＝5（分） 125×5＝625（米） 答：从出发开始，小狗一共跑了625米。 【点评】本题的关键在于求出小明和爸爸的相遇时间。 18．一根棍子的左端有8只间隔相等的蚂蚁，以速度v向右爬行；棍子右端则有6只蚂蚁，也以速度v向左爬行，两蚁若迎面相遇，将立即同时掉头往回爬；如果爬出棍子两头，就会掉下去，当所有蚂蚁掉下棍子后，它们之间一共相遇了几次？ 【答案】48次。 【分析】试想一下，蚂蚁甲和蚂蚁乙迎面相遇后，立即同时掉头往回爬，因为他们速度一样，可以视作蚂蚁甲变成了蚂蚁乙，蚂蚁乙变成了蚂蚁甲，互相“穿越”后继续朝原定方向爬行；一只蚂蚁掉下棍子的过程中，会与迎面而来的每只蚂蚁都“穿越”一次，显然总的“穿越”次数（即实际上的相遇次数）为8乘6次。 【解答】解：8×6＝48（次） 答：它们之间一共相遇了48次。 【点评】解决本题关键是把“两蚁若迎面相遇，将立即同时掉头往回爬”，将它理解成：如果两个蚂蚁相向而行撞在了一起，它们会同时穿过对方爬行。 19．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 【答案】264千米。 【分析】（红色表示乙走的，黑色表示甲走的）。 如图所示，两人共走了3个全程，将全程分为11份，因为甲车的速度：乙车的速度＝6：5，所以同时间条件下，甲乙的路程比是6：5，3个全程就是33份，33÷11＝3（份）乙走了3×5＝15（份），乙折返回来走了15﹣11＝4（份），乙折返回来走多远则距厦门多远即15﹣11＝4（份），即算出一份的距离为：96÷4＝24（千米），据此解答。 【解答】解：6+5＝11（份） 11×3＝33（份） 33÷11＝3（份） 3×5＝15（份） 15﹣11＝4（份） 96÷4＝24（千米） 24×11＝264（千米） 答：福州到厦门264多少千米。 【点评】明确两次相遇，两车共行走了3个全程，这是解决这道题目的关键。 20．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】我们知道像题目中的行程问题，甲乙第一次相遇时，两车共行了一个全程（A、B间的距离），以后每次相遇都要行两个全程．所以，我们根据甲、乙两车的速度比9：7，结合行程问题可以把甲、乙两车第一次相遇时，甲走了9份路程，乙走了7份路程，共行7+9＝16份的路程；第二次相遇时，甲走了9×2＝18份路程，即在返回的路上走了18﹣7＝11份路程，11﹣7＝4份的路程就是两次相遇点之间的距离，至此即可求出全程的千米数． 【解答】解：9×2﹣7＝11（份） 32÷（11﹣7）×（7+9） ＝32÷4×16 ＝8×16 ＝128（千米） 答：A、B两地之间的距离为128千米． 【点评】此题解答的关键是通过画图得出：两次相遇点之间的距离占全程的多少． 21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】210。 【分析】分别求出两车走一个全程所需要的时间，画出柳卡图，找出相遇点的规律，再根据相遇问题中，路程比等于速度比来求解即可。 【解答】解：设A、B两地相距100a千米 甲车走全程的时间： 100a÷20＝5a（小时） 乙车走全程的时间： 100a÷50＝2a（小时） 柳卡图如下： 所以，每20a小时为一个周期，每个周期内迎面相遇6次， 所以，第10次迎面相遇点与第4次迎面相遇点相同，第18次迎面相遇点与第6次迎面相遇点相同， 第4次迎面相遇，共走了9个全程， 相遇时间： 100a×9÷（20+50） ＝900a÷70 a（小时） 甲走的总路程为： a×20a（千米） 距离A地的距离为： a﹣100a×2 a﹣200a a（千米） 第6次迎面相遇，共走了13个全程， 相遇时间： 100a×13÷（20+50） ＝1300a÷70 a（小时） 乙走的总路程： a×50a（千米） 相遇点距离A地： a﹣100a×9 a﹣900a a（千米） 可得方程：aa＝60 解得：a＝2.1 100a＝100×2.1＝210 答：A、B两地相距210千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图从而得出相遇点之间的距离与A、B两地之间距离的关系是本题解题的关键。 22．一条马路长2000m，凯文骑自行车和他爸爸同时从马路的起点出发，匀速而行。当爸爸走到这条马路一半的时候，凯文已经到达马路的终点。然后凯文返回与爸爸相向而行，遇到爸爸后再骑车到终点，到终点后再与爸爸相向而行……直到爸爸到达终点凯文从起点开始，一共骑车多少米？ 【答案】4000米。 【分析】由“爸爸走到这条马路一半的时候，凯文已经到达马路的终点”可得凯文的速度是爸爸速度的2倍；当爸爸走完另一半路程时，凯文又走了一个全程，所以凯文从起点开始一共行了2个全程，据此可得答案。 【解答】解：2000×2＝4000（m） 答：一共骑车4000米。 【点评】本题主要考查整数乘法的应用，解题关键要理清凯文和爸爸的行走路线。 23．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干，小刚和她的小狗分别以均匀的速度同时从外婆家的起点出发，当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．那么说明小狗的速度是小刚速度的3倍，而时间一定时，路程与速度成正比，所以小狗行驶的总路程是小刚行驶的总路程的13倍，所以小刚到达终点行驶300米，小狗则是行驶了300×3＝900米，据此即可解答问题． 【解答】解：300×（1） ＝300×3 ＝900（米） 答：小狗一共跑了900米． 【点评】解答此题关键是明确小狗跑的路程是小刚行驶的路程的3倍． 24．甲乙两车分别从AB两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处再次相遇．问AB两地相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】从出发到两车第二次相遇，甲、乙两车一共行了三个全程，第一次相遇时乙车行了64千米，那么两车行三个全程时，乙车就行了3个64千米； 可以求出乙车行的路程＝一个全程+48千米，所以一个全程＝乙车行驶的路程﹣48千米，据此求出AB两地之间的距离． 【解答】解：64×3﹣48 ＝192﹣48 ＝144 （千米） 答：两地相距144千米． 【点评】本题考查在一条线上多次相遇的行程问题． 25．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 【答案】A、B两地的距离是200千米。 【分析】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度，可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。 【解答】解：在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15：25＝3：5。 第一次相遇时，甲行了全程的； 第三次相遇时，甲行了：5＝1，即走了1个全程，还多； 第四次相遇时，甲行了：7＝2，即走了2个全程，还多； 第三次、第四次相遇地点相差： 1 1 全程：100200（千米） 答：A、B两地的距离是200千米。 【点评】复杂的相遇问题，需明确两车第n次相遇时，共行了（2n﹣1）个全程是解题的关键。 26．小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去．两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回．他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回．当他俩在河中第三次相遇时，距东岸多少米？距西岸多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人第一次在河中相遇时距西岸80米，即每行一个河宽，那么小刚就行80米，第二次相遇时共行了3个河宽，这时小刚就行80×3＝240米，又因为第二次相遇时距东岸60米，那么河宽是240﹣60＝180米，当他俩在河中第三次相遇时，共行了5个河宽，那么小刚就行80×5＝400米，400÷180＝2（个）…40（米），即小刚就行了2个河宽还余40米，即距离西岸40米，距东岸180﹣40＝140米；据此解答即可． 【解答】解：80×3＝240（米） 240﹣60＝180（米） 80×5＝400（米） 400÷180＝2（个）…40（米） 小刚就行了2个河宽还余40米，即距离西岸40米， 180﹣40＝140（米） 答：当他俩在河中第三次相遇时，距东岸140米，距西岸40米． 【点评】本题考查了比较复杂的相遇问题，关键是明确两人第一次在河中相遇时共行一个河宽，以后每相遇一次就行2个河宽． 27．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点2000米，求A、B两地的距离. 【答案】米。 【分析】乙的速度是甲的，即甲速：乙速＝3：2，所以第一次相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，第二次相遇的地点距第一次相遇甲共走了3倍全程的3，乙走了3倍全程3，因，，即相差全程的；A、B两地的距离＝2000（米）。 【解答】解：2+3＝5， 2000÷（33） ＝2000 （米） 答：A、B两地的距离是米。 【点评】此题较难，解答时应认真分析，结合题意，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。 28．一条马路长200m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点．然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…直到小亮到达终点．小狗从出发开始，共跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点，说明小狗的速度是小亮的2倍，由于小亮和小狗最后都到达终点，那么它们行驶的时间是相同，根据时间一定，速度和路程的正比例关系可知，小狗的路程也是小亮路程的2倍，即200×2米． 【解答】解：当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点，说明小狗的速度是小亮的2倍， 根据时间一定，速度和路程的正比例关系可知，小狗的路程也是小亮路程的2倍， 200×2＝400（米） 答：小狗从出发开始，共跑了400米． 【点评】解决本题关键是先判断出小狗的速度是小亮的2倍，再根据时间一定，速度和路程的正比例关系求解． 29．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲、乙的速度比是5：3。两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】100千米。 【分析】依据题意可知，甲、乙的速度比是5：3，若把AB分为8份，则第一次相遇时甲乙走了一个全长，其中甲走了5份，乙走了3份，相遇之后两人继续行进，则第二次相遇时两人走了3个全长，计算两人分别走了几份，，由此计算第一次相遇点与第二次相遇点差多少份，由此计算一份是多少千米，然后计算全长多少千米。 【解答】解：如图： 甲、乙的速度比是5：3，若把AB分为8份，则第一次相遇时甲乙走了一个全长，其中甲走了5份，乙走了3份，相遇之后两人继续行进，则第二次相遇时两人走了3个全长，甲：3×8÷（5+3）×5 ＝24÷8×5 ＝15（份） 乙：3×8÷（5+3）×3 ＝24÷8×3 ＝9（份） 5﹣1＝4（份），两次相遇点相差4份，距离是50千米。 50×2＝100（千米） 答：A、B两地相距100千米。 【点评】本题考查的是多次相遇问题的应用。 30．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，第一次相遇距A地40千米，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次相遇距A地20千米，求A、B两地路程． 【答案】见试题解答内容 【分析】据题意可知，第一次相遇时甲车行了40千米，第二次相遇时两车共行了3个全程，由于每行一个全程甲车就行了40千米，所以第二次相遇时甲车共行了40×3＝120（千米），又因为此时距A地20千米，由此可以求得A、B两地间距离的2倍是120+20＝140千米，然后除以2即可． 【解答】解：（40×3+20）÷2 ＝140÷2 ＝70（千米） 答：A、B两地间的距离是70千米． 【点评】完成本题的关键是明白两车第二次相遇时共行了3个全程． 31．一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？ 【答案】150千米。 【分析】第一次相遇时两车行程之和是一趟全程，第二次相遇时，卡车、摩托车各自走了一个全程后又返回再相遇，所以两车行程之和是三趟全程，则第二次相遇用的时间时是第一次相遇的3倍。速度一定，行程与时间成正比，第一次相遇卡车行程60千米，那么第二次相遇时卡车行程（60×3）千米。第二次在离B地30千米处相遇，即第二次相遇时卡车走了比一趟全程多30千米，再减去30千米就是全程。 【解答】解：60×3﹣30 ＝180﹣30 ＝150（千米） 答：A、B两地之间的距离是150千米。 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确明白：第一次两车相遇时，两车共行了一个全程（即A、B两地之间的距离）；第二次相遇时，两车又共行了2个全程。 32．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!） 【答案】；190千米。 【分析】根据题意，第一次相遇，两车合走一个全程，这时货车行了80千米；到第二次相遇，两车合走3个全程，这个时间是第一次相遇时间的3倍，那么货车能行80×3＝240（千米）；这时货车行了1个全程还多50千米，再用240千米减去多行的50千米，即可求出全程。据此解答。 【解答】解：画图如下： 80×3﹣50 ＝240﹣50 ＝190（千米） 答：甲、乙两地间相距190千米。 【点评】解答本题的关键是明确：到第二次相遇，两车合走3个全程，这个时间是第一次相遇时间的3倍，这时货车行了1个全程还多50千米。 33．有甲乙两车从A、B两地相向而行，甲乙的速度比是7：9，两车相遇后又继续前进，甲到达B地，乙到达A地后又返回，甲车在离B地80千米的地方与乙车相遇，求A、B两地的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】甲乙的速度比是7：9，那么相遇时甲乙行驶的路程比也是7：9；所以当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离；此时甲车行了A、B两地距离的3；那么80千米就相当于A、B两地距离的（31），然后根据分数除法的意义即可求出A、B两地的距离． 【解答】解：80÷（31） ＝80 ＝256（千米） 答：A、B两地的距离是256千米． 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确当第二次相遇时，两车共行了3个A、B两地间的距离． 34．两艘轮船从东西两港同时相对开出。在离东港80千米处相遇，相遇后两船仍以原速继续前进，各自到达对方港后都立即返回。结果又在距离西港100千米处相遇。东西两港相距多少千米？两次的相遇地点相距多少千米？ 【答案】140；40。 【分析】画出线段图，设东西两港相距x千米，第一次相遇，两船共走了一个x千米，第二次相遇共走了3x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两次相遇两船走的路程比相同列出方程求解即可，再根据容斥原理，求出两次相遇地点的距离。 【解答】解：设东西两港相距x千米，线段图如下： 根据两次相遇路程比相同，得到方程： 80（x﹣20）＝（x+20）（x﹣80） 80x﹣1600＝x2﹣60x﹣1600 x2﹣140x＝0 x（x﹣140）＝0 x＝140或0（舍去） 两次相遇点间的距离为： 80+100﹣140 ＝180﹣140 ＝40（千米） 答：东西两港相距140千米；两次的相遇地点相距40千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，根据相遇问题中，速度一定时，路程比不变列出方程是本题解题的关键。 35．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇） 【答案】20。 【分析】甲跑一个全程需30÷1＝30（秒） 乙跑一个全程需30÷0.6＝50（秒） 如图（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）： 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了20（次）。 【解答】解：甲跑一个全程需30÷1＝30（秒） 乙跑一个全程需30÷0.6＝50（秒） 如图（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）： 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒。 在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟。 正好是四个周期，也就相遇了20（次）。 答：他们跑了10分钟后，共相遇20次． 【点评】在两人同时从两地相向而行并不断往返的多次相遇问题中，计算出一个周期的用时，以及每个周期内相遇的次数，是本题解题的关键。 36．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后20分钟又与丙相遇，则甲乙相遇时，乙丙相距（60+80）×20＝2800米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲乙相遇时，他们行驶的时间为：2800÷（70﹣60）＝280分钟，然后乘甲乙的速度和，可得AB两地相距（80+70）×280＝42000（米）． 【解答】解：（60+80）×20÷（70﹣60）×（80+70） ＝2800÷10×150 ＝42000（米） ＝42（千米） 答：A、B两城的距离42千米． 【点评】本题考查了相遇问题，根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲乙相遇时乙丙的距离差是完成本题的关键． 37．轿车以每小时80千米的速度从东村出发，货车以每小时60千米的速度从西村出发，两车同时出发，相向而行，轿车到达西村，货车到达东村后立即原路返回，在东、西两村不断往返行驶，第100次相遇地与第101次相遇地相距200千米。那么东、西两村相距多少千米？ 【答案】700千米。 【分析】两车第1次相遇共走了1个全程，第2次相遇共走了3个全程，第3次相遇共走了5个全程，……两车第101次相遇比第100次相遇一共多走了2个全程，轿车比货车多走200千米，据此先计算出两车合走一个全程需要的时间，再根据“速度和×时间＝路程”计算出1个全程的路程。 【解答】解：200÷2÷（80﹣60） ＝100÷20 ＝5（小时） （80+60）×5 ＝140×5 ＝700（千米） 答：东、西两村相距700千米。 【点评】明确两车第100次相遇到第101次相遇共走的路程是2个全程，理解两车第100次相遇点与第101次相遇点的距离是轿车比货车多走的路程，根据“路程差÷速度差＝时间”、“速度和×时间＝路程”解答。 38．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。 （1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？ （2）这座桥长多少米？ （3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　第二次相遇时，共行三个全程。　 【答案】（1）第二次相遇时，两人一共行了6480米。 （2）这座桥长2160米。 （3）第二次相遇时，共行三个全程。 【分析】（1）第二次相遇所走的路程，就是两人的路程和，用两人速度的和乘时间即可。 （2）第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，用第（1）题中的得数，再除以3即可求出这座桥有多少米长。 （3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程，据此解答即可。 【解答】解：（1）（120+60）×36 ＝180×36 ＝6480（米） 答：第二次相遇时，两人一共行了6480米。 （2）6480÷3＝2160（米） 答：这座桥长2160米。 （3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程。 故答案为：第二次相遇时，共行三个全程。 【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程。 39．途途、高高分别从A、B两地同时出发，相向而行，高高的速度是途途的，两人相遇后继续行进，途途到B地、高高到A地后都立即返回，两人在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距4千米，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】10千米。 【分析】高高的速度是途途的，即高高和涂涂的速度之比是2：3，在相同的时间内，两人所走的路程也是2：3；第一次相遇时，两人走了一个全程，假设全程为5份，则高高走了2份，涂涂走了3份；第二次相遇时，两人又走了两个全程，即走了10份，因为速度之比是2：3，所以高高走了4份，涂涂走了6份；这时涂涂离A点距离：10﹣（6+3）＝1（份），第一次相遇时，涂涂离A点距离3份，此时相差的份数即为两次相遇点相距的距离，即可求出1份是多少，由此再求出全长。 【解答】解：第一次相遇时，假设全程为5份，则高高走了2份，涂涂走了3份； 第二次相遇时，两人走了两个全程，即走了10份，所以高高走了4份，涂涂走了6份； 3﹣1＝2（份） 1份：4÷2＝2（千米） 全长：2×5＝10（千米） 答：那么A、B两地相距10千米。 【点评】此题考查多次相遇问题。关键在于找到两次相距的距离是多少份，求出1份，再求全长。 40．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，相向而行，每小时行3千米，在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇，两次相遇点相距多少千米？ 【答案】6千米。 【分析】第一次相遇，两人共走了一个全程，再一次相遇，两人又走了两个全程，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出第一、二次相遇的时间，再求出两次相遇点距离A地的距离，作差即为两次相遇点的间距。 【解答】解：第一次相遇时间： 21÷（4+3） ＝21÷7 ＝3（小时） 第一次相遇点距离A地的距离： 3×4＝12（千米） 第二次相遇时间： 21×（2+1）÷（4+3） ＝21×3÷7 ＝9（小时） 第二次相遇点距离A地距离： 9×3﹣21 ＝27﹣21 ＝6（千米） 两次相遇点相距： 12﹣6＝6（千米） 答：两次相遇点相距6千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确地算出每次相遇的总路程是本题解题的关键。 41．甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行．甲车每小时行60千米，乙车每小时比甲车多行30千米．两车相遇后都继续往前行驶，都到达后立即按原路返回并再次相遇．两车从出发到第二次相遇共用了5小时，求AB两城相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两辆汽车第一次相遇走了一个全程，甲到达B地加上乙到达A地走了第二个全程，第二次相遇走了第三个全程．第二次相遇时一共走了三个全程，然后再根据路程＝速度×时间，进一步解答即可． 【解答】解：根据题意可得： （60+30+60）×5÷3 ＝150×5÷3 ＝750÷3 ＝250（千米） 答：AB两城相距250千米． 【点评】本题主要考查多次相遇问题，本题的关键是理解甲乙两人到第二次相遇时总共走了3个全程，然后再进一步解答即可． 42．甲、乙两车分别从相距450米的A、B两地同时出发，相向而行，在直道A、B之间往返跑，甲每分钟走15米。乙每分钟走30米，甲、乙两人第二次相遇距离B地多远？ 【答案】0米。 【分析】甲乙两人第一次相遇时，甲乙两车路程之和为A、B两地的距离；第二次相遇时，甲乙两车路程之和为A、B两地距离的3倍；即两人所走的路程和是3个全程，由此解答即可。 【解答】解：由题意得：甲、乙两车的速度比为15：30＝1：2， 第一次相遇时，甲乙两车路程之和为450米，则甲行了：450÷（1+2）＝150（米），乙行了：150×2＝300（米），即甲乙两车在相距B地300处相遇。 第二次相遇时，甲乙两车路程之和为450×2＝900（米），因为是各自跑到A、B处，然后再返回才能相遇；450×2＝900（米），900÷（1+2）＝300（米）， 则甲行了：150+300＝450（米），即甲到达B点时与乙相遇。 答：甲、乙两人第二次相遇距离B地0米。 【点评】此题考查多次相遇问题，明确距离总和是来回路程的3倍，是解题的关键。 43．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在离A地32千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续按原速前进，到达A、B两地后立即沿原路返回，在离A地64千米处第二次相遇，求AB两地的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】据题意可知，第一次相遇时甲车行了32千米，第二次相遇时两车共行了3个全程，由于每行一个全程甲车就行了32千米，所以第二次相遇时甲车共行了32×3＝96（千米），又因为此时距A地64千米，那么两个全程的距离就是32×3+64＝160千米，由此再除以2可以求得A、B两地间的距离． 【解答】解：（32×3+64）÷2 ＝160÷2 ＝80（千米） 答：A、B两地间的距离是80千米． 【点评】完成本题的关键是明白两车第二次相遇时共行了3个全程． 44．甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120米的直线形道路上来回跑步，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒． （1）经过多少时间，两人第一次相遇？ （2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？ （3）若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇多少次？（端点除外） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）第一次相遇，两人共走了两个道路总长，根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入数值求解即可； （2）（3）分别计算两人跑一个道路总长所用的时间，画出柳卡图，做出判断即可。 【解答】解：（1）120×2÷（5+3） ＝240÷8 ＝30（秒） 答：经过30秒，两人第一次相遇。 （2）（3）甲跑一次全程用时： 120÷5＝24（秒） 24秒分钟 乙跑一次全程用时： 120÷3＝40（秒） 40秒分钟 柳卡图如下： 由图可知，2分钟时两人第一次在端点相遇， 甲走了5个全程，120×5＝600（米） 每4分钟为一个周期，每个周期内，迎面相遇6次， 15÷4＝3……3（分钟） 3分钟时，可以确定发生了4次相遇，第五次无法直接判断， 可以确定的相遇次数为： 3×6+4 ＝18+4 ＝22（次） 第五次相遇，两人走了12个全程， 12×120÷（5+3） ＝1440÷8 ＝180（秒） 3分钟＝180秒 所以，第五次相遇刚好发生， 22+1＝23（次） 答：两人第一次在端点相遇时，甲跑了600米；若两人都跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇23次。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，运用柳卡图来直观反映问题是本题解题的关键。 45．A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发，两地往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米。甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？ 【答案】二。 【分析】当两人第一次相遇时，两人行驶了两地间距离的2倍，也就是950×2＝1900米，第一次相遇时需要的时间应该是：1900÷（40+150）＝1900÷190＝10（分钟），也就是说每过10分钟两人就需要相遇一次，所以第一次相遇时距B地的距离应该是950﹣40×10＝550 （米），第二次相遇时距B地的距离应该是950﹣400×2＝150米，第三次距B地的距离应该是400×3﹣950＝250米，此时甲要往回走，以后与B地的距离应该是越来越远，故此可得：第二次相遇时距离B地最近，据此即可解答。 【解答】解：（950×2）÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 950﹣10×2×40 ＝950﹣20×40 ＝950﹣800 ＝150（米） 答：甲、乙二人第二次迎面相遇时距B地最近。 【点评】解答本题的关键是判断出两人每次相遇间隔的时间，进而求出相遇的地点与B地的距离。 46．两辆汽车同时从A，B两地相向而行，第一次相遇在距A地180千米的地方，相遇后继续前进，各自到达B，A两地后按原路返回，第二次相遇在距A地260千米的地方，A，B两地相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，第一次相遇，他们共行一个全程，甲行180千米；第二次相遇，他们共行3个全程，甲应行180×3千米．这时离A地还有260千米．就是说它再加上260千米就是2个全程．所以，全程长：（180×3+260）÷2＝400（千米）． 【解答】解：（180×3+260）÷2 ＝（540+260）÷2 ＝800÷2 ＝400（千米） 答：A，B两地相距400千米． 【点评】本题主要考查多次相遇问题，关键利用路程、速度和时间的关系做题． 47．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前行到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 【答案】280千米。 【分析】甲、乙两车相遇两次共行了3个全程，甲车在甲、乙两车相遇一次的时候，行了95千米，也就是每行一个全程甲车行95千米。现在行了3个全程，甲车一共行了95×3＝285（千米），比一个全程长多25千米，然后进一步解答即可。 【解答】解：95×3﹣25 ＝285﹣25 ＝260（千米） 答：A、B两地间的距离是280千米。 【点评】本题主要考查相遇问题，关键根据甲车两次相遇所行路程来求全程。 48．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米） 【答案】第三次相遇点距A地10千米。 【分析】画出线段图，从图上可以发现，第一次相遇离A站的距离，就是甲第一次相遇走的路程，第一次相遇后到第二次相遇，两车走的总路程为A、B距离的两倍，根据路程＝速度×时间，速度不变时，两车分别的路程比等于两车的总路程比，可以求出第一次相遇后到第二次相遇，甲走的总路程，从而可以求出A、B间的距离，从第二次相遇到第三次相遇，两车走的总路程也为A、B距离的两倍，所以，甲走的路程可以求出，再根据图示关系，求出第三次相遇点距离A或B站的距离即可。 【解答】解：线段图如下： 设第一次相遇乙走了x千米，则第二次相遇，甲走了（x+30）千米，乙走了（50+50+x﹣30）千米， 第一次相遇两车共走了一个全程，从第一次相遇到第二次相遇两车共走了两个全程， 根据总路程＝甲车总路程+乙车总路程可知，速度不变时，两车分别走的路程与总路程成正比， x+30＝50×2 x＝70 所以从第一次相遇到第二次相遇，甲车走了70+30＝100（千米）， 从第二次相遇到第三次相遇，两车也共走了两个全程， 所以，甲车又走了100千米， 此时相遇点到A的距离为： 100﹣（50+70﹣30） ＝100﹣90 ＝10（千米） 答：第三次相遇点距A地10千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图找出其中的数量关系是本题解题的关键。 49．甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动当甲走了160米以后，他们第一次相遇；在乙走过A后20米的D处又第二次相遇．求圆形场地的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】两人从开始到第一次相遇共走半个圆周长，那么每行半个圆周长，甲就行160米；从第一次相遇到第二次相遇共走一个圆的周长，那么甲就行160×2＝320米；然后再加上乙行的160+20＝180米，就是圆形场地的周长． 【解答】解：160×2＝320（米） 160+20＝180（米） 320+180＝500（米） 答：圆形场地的周长是500米． 【点评】完成本题要注意两人分别从一条直径的两端点同时出发，而不是从同一点出发． 50．A、B两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A、B两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于它们相向而行，各自达到目的地后又立即返回，他们应是在乙车返回A地后又在去B地的路上和返回A地的甲车相遇，所以相遇时他们行了3个全程，即236×3＝708（千米），已知行驶时间为6小时，用总路程除以6小时，求出两车的速度和，再减去甲车的速度，即可求出乙车每小时行多少千米． 【解答】解：236×3÷6 ＝708÷6 ＝118（千米） 118﹣56＝62（千米） 答：乙车每小时行62千米． 【点评】明确两车第二次相遇时，两车一共行驶了3个AB两地间的距离，是解答本题的关键，依据是等量关系式：速度＝路程÷时间． 51．甲、乙两人在一条东西方向的长为30米的马路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。甲从马路的一端由东向西跑，乙从马路的另一端由西向东跑，两人同时出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 【答案】20次。 【分析】分别求出甲、乙两人跑一个全程所需要的时间，然后画出柳卡图，根据柳卡图总结规律从而找出10分钟内相遇多少次。 【解答】解：甲跑全程的时间为： 30÷1＝30（秒） 乙跑全程的时间为： 30÷0.6＝50（秒） 柳卡图如下： 根据柳卡图可知，每300秒为一个周期，每个周期相遇10次， 10分钟＝600秒 600÷300＝2 2×10＝20（次） 答：共相遇20次。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图求解是本题解题的关键。 52．甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 【答案】156千米。 【分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行，那第一次相遇时间的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决． 【解答】解：将A、B两地的距离看作单位“1”， 则甲每小时行，乙每小时行， 第一次相遇时间是：1（小时）， 此时甲行了全程：， 乙行了全程的：1， 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程， 所以甲走了， 这个地方离甲的出发点是全程的：2， 故两次相遇点之间的距离是全程的：， 全程的距离是：72156（千米）。 答：A、B两地的距离是156千米。 【点评】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。 53．A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 【答案】第7次。 【分析】甲、乙走完A、B间的两个单程才第一次相遇，需时间950×2÷（40+150）＝10（分钟），90分钟内，所以总共相遇90÷10＝9（次），甲每10分钟走40×10＝400（米），并且与乙相遇一次，因为950×3﹣400×7＝50（米），差最小；也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小，在第7次相遇时他们离B点距离最近。 【解答】解：950×2÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 90÷10＝9（次） 40×10＝400（米） 因为950×3﹣400×7＝50米，差最小； 也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小。 答：在第7次相遇时他们离B点的距离最近。 【点评】此题重点考查学生分析问题以及推理能力。本题解答的关键是要求出两人多少时间相遇一次。 54．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？ 【答案】2.5小时。 【分析】第一次相遇，两车走了一个全程，第二次相遇两车走了（1+2）个全程，其中两车分别以原速度各走一个全程，据此画出线段图，设A、B两地的距离为x千米，根据相遇问题中，相遇时间×速度和＝总路程分别计算两次相遇的时间，再根据两次相遇地点距离列出方程求解，再分别计算两车各走两个全程的时间，时间差即为所求。 【解答】解：线段图如下： 设A、B两地相距x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比可知， 甲走了xx（千米） 因为乙的速度比甲快，所以当甲到达B时，乙已经返回了一段路程， 变速后，甲的速度为：32×（1）＝40（千米/时） 乙的速度为：48×（1）＝40（千米/时） 第二次相遇的时间为： x÷32+[x﹣（x÷32﹣x÷48）×40]÷（40+40） [x40]÷80 [xx]÷80 xx÷80 x（小时） 第二次相遇点据A地的距离： （x）×40 x×40 x（千米） 可得方程： xx＝74 解得：x＝240 两车返回的时间差为： （240÷32+240÷40）﹣（240÷48+240÷40） ＝（7.5+6）﹣（5+6） ＝7.5+6﹣5﹣6 ＝2.5（小时） 答：乙车比甲车早2.5小时返回出发点。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算出第二次的相遇时间是本题解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$