15.2 线段的垂直平分线讲义 2024—-2025学年沪科版数学八年级上册

线段的垂直平分线 本节课知识框架： 知识点1：线段的垂直平分线的作法 知识点2：线段垂直平分线的性质 知识点3：线段垂直平分线的判定 本节课重难点： 重点：作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质定理、、线段垂直平分线的判定定理 难点：三角形三边垂直平分线的性质 本节课学习目标： 1、 能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线,并能证明它的正确性 2、 掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理 3、 能够利用线段垂直平分线的性质定理及判定定理证明相关结论,理解三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 知识点1：线段的垂直平分线的作法 1.作线段的垂直平分线的常用方法 (1) 折纸： 在半透明纸上画一条线段 AA′, 折纸 ，使 A 与A′重合，得到的折痕 l 是线段 AA′的垂直平分线 . (2) 过中点画垂线： 先用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线，所得的垂线即为线段的垂直平分线 . (3) 尺规作图： 保留作图痕迹，并指出结论 . 特别解读 作法中，“ 大于AB 长为半径画弧”才能确保有两个交点，这个半径不能“等于或小于AB 长”，要明确这一点 . 2. 尺规作图步骤与图示 已知 : 线段 AB，如图 15.2-1. 求作 : 线段 AB 的垂直平分线 . 作法 : ①如图 15.2-1，分别以点 A， B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧交于点 C， D. ②过点 C，D 作直线 . 则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 . 例题1：画出如图 15.2-2 的图形的对称轴 . 方法点拨 作轴对称图形的对称轴的两种方法： 一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴； 二是先找到轴对称图形的一组对应点，再作连接这组对应点的线段的垂直平分线 . 牛刀小试： 使用尺规作线段 AB 的垂直平分线 CD 的痕迹如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．弧①②的半径长一定相等 B. 弧③④的半径长一定相等 C. 弧②③的半径长一定相等 D. 弧①的半径长大于 AB 长度的一半 知识点2：线段垂直平分线的性质 1.性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 . 条件： 点在线段的垂直平分线上 . 结论： 这个点到线段两端点的距离相等 . 2. 几何语言 如图 15.2-4， ∵ AD ⊥ BC， BD=CD，∴ AB=AC. 例题2：如图 15.2-5，△ ABC 中， DE，FG 分别为 AB， AC 的垂直平分线， E， G 分别为垂足，∠ DAF=20°． (1) 若△ DAF 的周长为 6，求 BC 的长； (2)求∠ BAC 的度数． 解法指导 利用线段的垂直平分线的性质转化线段的位置，是一种常用的解题方法 . 本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将 BC的长转化为△ DAF的周长，进行求解 . 牛刀小试： 第一题： 如图，在四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，垂足为 E ，下列结论不一定成立的是(　　) A. AB ＝ AD B. CA 平分∠ BCD C. AB ＝ BD D. △ BEC ≌△ DEC 第二题：如图，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线分别交 AB ， BC 于点 D ， E ，连接 AE ，若 AE ＝4， EC ＝2，则 BC 的长是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第三题： 如图，在△ ABC 中， AB ， AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E ， F ，若△ ABC 的周长是20， AB ＝4， AC ＝7，则△ AEF 的周长为 ⁠. 知识点3：线段垂直平分线的判定 1. 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 . 2. 几何语言 如图， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 . 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 . 例题3：如图 15.2-7， AD 为∠ BAC 的平分线，交 BC 于点D， AE=AF，请判断线段 AD 所在的直线是否为线段 EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由 . 教你一招 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单 . 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等 . 牛刀小试： 第一题： 如图， AC ＝ AD ， BC ＝ BD ，则有(　　) A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. 以上都不正确 第二题： 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，且 BC ＝ BD ＋ AD ，则点 D 在某一线段的垂直平分线上.这条线段是(　　) A. AB B. AC C. BC D. 不确定 第三题：已知在同一平面内， C ， D 是线段 AB 外的两点， AC ＝ BC ， AD ＝ BD ，点 P 在直线 CD 上.若 AP ＝5，则 BP 的长为(　　) A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 25 课后作业 第一题：如图，在△ ABC 中， BC 的垂直平分线交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，连接 CE . 若 CE ＝ CA ，∠ ACE ＝40°，则∠ B 的度数为 ⁠. 第二题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：△ ABC . 求作：点 P ，使 PA ＝ PC ，且点 P 在△ ABC 边 AB 的高上. 第三题：如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，点 P 在射线 AD 上(不与点 A ， D 重合)，连接 PB ， PC ，下列说法中错误的是(　　) A. 若 AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，则 PB ＝ PC B. 若 PB ＝ PC ， AD ⊥ BC ，则 AB ＝ AC C. 若 AB ＝ AC ，∠1＝∠2，则 PB ＝ PC D. 若 PB ＝ PC ，∠1＝∠2，则 AB ＝ AC 第四题：如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， G 为三角形外一点，且 GB ＝ GC . (1)求证： AG 垂直平分 BC ； (2)点 D 在 AG 上，求证： DB ＝ DC . 第五题：如图，在△ ABC 中， E 是 BC 边上一点，连接 AE ， BD 垂直平分 AE ，垂足为点 F ，交 AC 于点 D ，连接 DE . (1)若△ ABC 的周长为18，△ DEC 的周长为6，求 AB 的长； (2) 若∠ ABC ＝30°，∠ C ＝45°，求∠ CDE 的度数. 第六题： 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线交 AB 于点 N ，交 BC 的延长线于点 M . (1)若∠ A ＝40°，求∠ M 的度数. (2)如果将(1)中∠ A 的度数改为70°，其余条件不变，求∠ M 的度数. (3)由(1)(2)你发现了什么规律？并说明理由. 第七题：如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝90°， AB ＝25 cm， DA ＝15 cm， CB ＝10 cm.动点 E 从 A 点出发，以2 cm/s的速度向 B 点移动，设移动的时间为 x s. (1) 当 x 为何值时，点 E 在线段 CD 的垂直平分线上？ (2)在(1)的条件下，判断 DE 与 CE 的位置关系，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$