第8讲 阅读理解与新定义题2024年九年级中考数学复习

第八讲 阅读理解与新定义题 第1课时 阅读理解型问题 例1．阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列5，10，15，的公差为　5　，第5项是　　． （2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，． 所以 ， ， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：　　． （3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？ 【解答】解：（1）根据题意得，； ，，，故答案为：5；25． （2），，， ，故答案为：． （3）根据题意得，等差数列，，的项的通项公式为：， 则，解之得： 是等差数列，，的项，它是此数列的第2019项． 【变式1】某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下： 对于三个实数，，，用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数，例如，2，，，2，，，1，．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①，，　　； ②，，　　； （2）若，，，则的取值范围为　　； （3）若，，，求的值； （4）如果，，，，，求的值． 【解答】解：（1）①，，，②，，； 故答案为：，． （2），，， ，解得，故答案为． （3），，， ，解得或3． （4），，，，， 又， ，解得，． 针对性训练 1．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：　　，　 　； （2）计算：； （3）计算：． 【解答】解：（1），．故答案为：，1； （2）； （3）． 2．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点，，，，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段的中点的坐标公式：，． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程； 运用：（2）①已知点，，则线段长度为　　； ②直接写出以点，，，为顶点的平行四边形顶点的坐标：　 　； 拓展：（3）如图3，点在函数的图象与轴正半轴夹角的平分线上，请在、轴上分别找出点、，使的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值． 【解答】解：（1），，，，， ，， 为梯形的中位线，， 即线段的中点的坐标公式为，； （2）①，，，故答案为：； ②，，， 当为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为， 设，则，，解得，，此时点坐标为， 当为对角线时，同理可求得点坐标为， 当为对角线时，同理可求得点坐标为， 综上可知点坐标为或或， 故答案为：或或； （3）如图，设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，连接交直线于点，连接交轴于点，连接交直线于点，交轴于点， 又对称性可知，，， 此时的周长即为的长，为最小， 设，由题意可知，， ，解得（舍去）或，，， ，解得，，， 设，则，，解得，，，， ，即的周长的最小值为． 3．阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ， ，． ．即． ． 函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ， （1）计算：　　，　　； （2）猜想：函数是　　函数（填“增”或“减” ； （3）请仿照例题证明你的猜想． 【解答】解：（1），， （2），，函数是增函数，故答案为：增 （3）设， ，，，， 函数是增函数 4．观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ， 其结果为　　． 【解答】解： ， 7．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：． 令，则原式 问题： （1）计算 ； （2）解方程． 【解答】解：（1）设， 则原式； （2）设， 则原方程化为：，，解得：或1， 当时，，，，，，，； 当时，，，，此时方程无解； 即原方程的解为：，． 6．有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数与，当时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数与图象的交点为，，已知点的坐标为，则点的坐标为　　； （2）若点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点． ①设直线交轴于点，直线交轴于点．求证：． 证明过程如下：设，直线的解析式为． 则，解得　 　， 直线的解析式为　　 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明． ②当点坐标为，时，判断的形状，并用表示出的面积． 【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点、关于原点对称， 点的坐标为，点的坐标为．故答案为：． （2）①证明过程如下，设，直线的解析式为． 则，解得：，直线的解析式为． 当时，，点的坐标为． 过点作轴于，如图1所示， 点坐标为，点的坐标为，． 同理可得：．，． 故答案为：；． ②由①可知，在中，，为等腰三角形，且． 当点坐标为时，，， ，，，即， 为直角三角形． 当时，如图1， ， ； 当时，如图2， ． 第2课时 新定义型问题 例1．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” ． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；　 　命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；　　命题） ③两个大小不同的正方形相似．　　命题） （2）如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． （3）如图2，四边形中，，与相交于点，过点作分别交，于点，．记四边形的面积为，四边形的面积为，若四边形与四边形相似，求的值． 【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真． （2）证明：如图1中，连接，． ，且，△，，， ，，，，△， ，，， ，，，，，， 四边形与四边形相似． （3）如图2中， 四边形与四边形相似．， ，， ，，， ，， ，， ，， ． 【变式1】定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，，中，若至少有一个三角形与相似，则称点是的自相似点． 例如：如图1，点在的内部，，，则，故点是的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点是曲线上的任意一点，点是轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点是上一点，，试说明点是的自相似点；当点的坐标是，，点的坐标是，时，求点的坐标； （2）如图3，当点的坐标是，点的坐标是时，求的自相似点的坐标； （3）是否存在点和点，使无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），，，点是的自相似点； 过作轴于，则，， 当点的坐标是，，点的坐标是，，， ，， 在中，， ，，，； （2）作轴于，如图3所示：点的坐标是，点的坐标是， ，直线的解析式为，，， 分两种情况： ①如图3所示：是的相似点， ，作轴于，，， 的横坐标为1，，； ②如图4所示：由勾股定理得：， 是的相似点，，，即，解得：， 即的纵坐标为，代入得：，解得：，； 综上所述：的自相似点的坐标为或； （3）存在点和点，使无自相似点，，，，；理由如下： ，，，，，，是等边三角形， 点在的内部，，， 存在点和点，使无自相似点． 针对性训练 1．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如与是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？ （2）、是一对“互换点”，若点的坐标为，求直线的表达式（用含、的代数式表示）； （3）在抛物线的图象上有一对“互换点” 、，其中点在反比例函数的图象上，直线经过点，，求此抛物线的表达式． 【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为和． ①当时，它们不可能在反比例函数的图象上， ②当时，由可得，即和都在反比例函数的图象上； （2）由得，设直线的表达式为． 则有解得，直线的表达式为； （3）设点，则， 直线经过点，，由（2）得， ，，解并检验得：或，或， 这一对“互换点”是和， 将这一对“互换点”代入得， 解得，此抛物线的表达式为． 2．若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数，，构成“和谐三组数”． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； （2）若，，三点均在函数为常数，的图象上，且这三点的纵坐标，，构成“和谐三组数”，求实数的值； （3）若直线与轴交于点，，与抛物线交于，，，两点． ①求证：，，三点的横坐标，，构成“和谐三组数”； ②若，，求点，与原点的距离的取值范围． 【解答】解：（1）不能，理由如下： 、2、3的倒数分别为1、、，，， 实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2），，三点均在函数为常数，的图象上， 、、均不为0，且，，，，，， ，，构成“和谐三组数”， 有以下三种情况： 当时，则，即，解得； 当时，则，即，解得； 当时，则，即，解得； 的值为、或2； （3）①、、均不为0，，，都不为0， 直线与轴交于点，，，解得， 联立直线与抛物线解析式，消去可得，即， 直线与抛物线交与，，，两点，、是方程的两根， ，，，，，构成“和谐三组数”； ②，，， ，，且，整理可得，解得， ，，， 令，则且，且， ， 当时，随的增大而减小，当时，有最大临界值，当时，有最小临界值， 当时，随的增大而增大，当时，有最小临界值，当时，有最大临界值， 且， 到原点的距离为非负数，且． 3．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”． （1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　菱形，正方形　； ②在凸四边形中，且，则该四边形　　“十字形”．（填“是”或“不是” （2）如图1，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，与交于点，，当时，求的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，，与轴交于，两点（点在点的左侧），是抛物线与轴的交点，点的坐标为，记“十字形” 的面积为，记，，，的面积分别为，，，．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①；②；③“十字形” 的周长为． 【解答】解：（1）①菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是：“十字形”， 平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形； ②如图， 当时，在和中，，，， ，，当时，四边形不是“十字形”，故答案为：不是； （2），，， ，，，， 如图1，过点作于，于，连接，， ，，，，，四边形是矩形， ，，， ，，，； （3）由题意得，，，，，，， ，， ，，，，，， ，，， ，， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，，，，，四边形是菱形， ，，即：， ，，或（舍，即：． 4．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． （1）如图1，等腰直角四边形，，， ①若，，求对角线的长． ②若，求证：， （2）如图2，在矩形中，，，点是对角线上一点，且，过点作直线分别交边，于点，，使四边形是等腰直角四边形，求的长． 【解答】解：（1）①，，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形， ，四边形是正方形，． ②如图1中，连接、． ，，， ，，． （2）若，则四边形是矩形，， ，，四边形表示等腰直角四边形，不符合条件． 若与不垂直， ①当时，如图2中，此时四边形是等腰直角四边形，． ②当时，如图3中，此时四边形是等腰直角四边形，， ，，， ， 综上所述，满足条件的的长为5或6.5． 5．若抛物线，，是常数，与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“一带一路”关系．此时，直线叫做抛物线的“带线”，抛物线叫做直线的“路线”． （1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求，的值； （2）若某“路线” 的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线” 的解析式为，求此“路线” 的解析式； （3）当常数满足时，求抛物线的“带线” 与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 【解答】解：（1）令直线中，则，即直线与轴的交点为； 将代入抛物线中，得． 抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为． 将点代入到直线中，得：，解得：．答：的值为，的值为1． （2）将代入到中有，，即，解得：，． 该“路线” 的顶点坐标为或． 令“带线” 中，则， “路线” 的图象过点． 设该“路线” 的解析式为或， 由题意得：或，解得：，． 此“路线” 的解析式为或． （3）令抛物线中，则，即该抛物线与轴的交点为． 抛物线的顶点坐标为，， 设“带线” 的解析式为， 点，在上， ，解得：． “带线” 的解析式为． 令“带线” 中，则，解得：． 即“带线” 与轴的交点为，，与轴的交点为． “带线” 与轴，轴所围成的三角形面积， ，，， 当时，有最大值，最大值为； 当时，有最小值，最小值为． 故抛物线的“带线” 与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围为． 6．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”． （1）求函数的图象上所有“中国结”的坐标； （2）若函数，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数的值与相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数为常数）的图象与轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？ 【解答】解：（1）是整数，时，是一个无理数， 时，不是整数，，，即函数的图象上“中国结”的坐标是． （2）①当时，函数，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：、、； ②当时，函数，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：、． ③当时，函数，为常数）的图象上最少有4个“中国结”：、、、，这与函数，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾， 综上可得，时，函数，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： 、、； 时，函数，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： 、、． （3）令， 则，， 整理，可得，， 、都是整数，或或 ①当时，，； ②当时，，，无解； 综上，可得，，， ， 顶点为， 函数的图象与轴所围成的平面图形中轴上的“中国结”有5个： 、，、、，； 顶点也是“中国结”． 综上，可得若二次函数为常数）的图象与轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”： 、、，，、、． 7．已知二次函数 （1）若，， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②定义：对于二次函数，满足方程的的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数有两个不同的“不动点”． （2）设，如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别相交于不同的两点，，，，其中，，与轴相交于点，连结，点在轴的正半轴上，且，又点的坐标为，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，满足．的延长线与的延长线相交于点，若，求二次函数的表达式． 【解答】解：（1）①，，，， 该二次函数图象的顶点坐标为 ②证明：当时，，整理得： △，方程有两个不相等的实数根 即二次函数有两个不同的“不动点”． （2）把代入二次函数得： 二次函数与轴交于点，，，， 即、为方程的两个不相等实数根，， 当时，， ，，， 轴，，轴 ，， ，，，，即 ，展开得：， ，， ， ，，即 ，， ， ，， ，，解得：，（舍去） ， 二次函数的表达式为 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 学科网（北京）股份有限公司 $$