函数与几何大综合2024年九年级中考数学复习

第十讲 函数与几何大综合 第1课时 二次函数的综合题 例1．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点，是直线上的两个动点，且点在第二象限，点在第四象限，． （1）求的周长； （2）设，试用含的代数式表示点的坐标； （3）当动点，在直线上运动到使得与的周长相等时，记，若过点的二次函数同时满足以下两个条件： ①； ②当时，函数的最大值等于，求二次项系数的值． 【变式1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若为等腰直角三角形，求的值； （2）若对任意，、两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点，总有成立，求实数的最小值． 针对性训练 1．如图，点为抛物线上一动点． （1）若抛物线是由抛物线通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线经过轴上一点，且平行于轴，点的坐标为，过点作于． ①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． ②问题解决：如图二，若点的坐标为，求的最小值． 2．如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为 （1）求该二次函数的解析式； （2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值； （3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线对应的二次函数表达式； （2）探究：如图1，连接，作交的延长线于点，连接交于点，是的中点，则是否将四边形分成面积相等的两部分？请说明理由； （3）应用：如图2，是抛物线在第四象限的图象上的点，且，连接、，在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标． 提示：若点、的坐标分别为，、，，则线段的中点坐标为，． 4．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形； （3）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标； （4）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 5．若关于的二次函数，，，，是常数）与轴交于两个不同的点，，，，与轴交于点，其图象顶点为点，点为坐标原点． （1）当，时，求与的值； （2）当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论； （3）当时，记，的面积分别为，，若，且，求的值． 6．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 第2课时 函数有关的动态型问题 例1．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点． （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点是线段上一个动点． ①如图1，设，当为何值时，？ ②如图2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由． 针对性训练 1．如图，抛物线与两坐标轴相交于点、、，是抛物线的顶点，是线段的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标； （2）是抛物线上的动点： ①当，时，求的面积的最大值； ②当时，求点的坐标． 2．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线、为常数）分别与轴、轴交于点、，抛物线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是抛物线上的任意一点，设点到直线的距离为，求关于的函数解析式，并求取最小值时点的坐标； （3）若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，求的最小值． 4．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且． （1）求抛物线的解析式； （2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值； （3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 5．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），点是抛物线上一点，且，，如图所示． （1）求抛物线的解析式． （2）设点为抛物线上的一个动点，且在曲线上移动． ①当点在曲线之间（含端点）移动时，是否存在点使的面积为？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②当点在曲线之间（含端点）移动时，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 6．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点、点的运动时间为． （1）当时，求经过点，，三点的抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）当线段与线段相交于点，且时，求的值； （4）连接，当点，在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式． 第3课时 二次函数与圆相关的综合题 例1．如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点． （1）求点的坐标； （2）过点作的切线交轴于点． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，，，当，时，求的值． 【变式1】如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1． （1）请直接写出点的坐标，并求、的值； （2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由； （3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式． 针对性训练 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．点是直线与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标． （2）如图①，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，，．求四边形面积的最大值及此时点的坐标． （3）如图②，经过、、三点的圆交轴于点，求点的坐标． 2．已知函数的图象与轴有两个公共点． （1）求的取值范围，并写出当取值范围内最大整数时函数的解析式； （2）题（1）中求得的函数记为． ①当时，的取值范围是，求的值； ②函数的图象由函数的图象平移得到，其顶点落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数的图象顶点为，求点与点距离最大时函数的解析式． 3．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点． （1）求二次函数的解析式及顶点的坐标； （2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点． ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 4．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象． （1）求的函数表达式； （2）设点是以点为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象与轴相交于两点、，求的最大值； （3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求与所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数． 5．如图，抛物线，，是常数，的对称轴为轴，且经过和，两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的总经过定点． （1）求，，的值； （2）求证：在点运动的过程中，始终与轴相交； （3）设与轴相交于，，，两点，当为等腰三角形时，求圆心的纵坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是以为直径的的内接四边形，点，在轴上，是边长为2的等边三角形，过点作直线与轴垂直，交于点，垂足为点，且点平分． （1）求过，，三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形是菱形； （3）请问在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲 函数与几何大综合 第1课时 二次函数的综合题 例1．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点，是直线上的两个动点，且点在第二象限，点在第四象限，． （1）求的周长； （2）设，试用含的代数式表示点的坐标； （3）当动点，在直线上运动到使得与的周长相等时，记，若过点的二次函数同时满足以下两个条件： ①； ②当时，函数的最大值等于，求二次项系数的值． 【解答】解：（1）在函数中，令，得，， 令，得，，则，，周长为． （2），，， 设，则， ，，， 过点作于点，则为等腰直角三角形， ，，，． （3）由（2）可知，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，， ，，同理可得，， ， 抛物线经过点，， 又，，， 对称轴，取值范围， ①若，则开口向上，由题意时取得最大值， 即，解得． ②若，则开口向下，由题意时取得最大值， 即，解得． 综上所述所求的值为或． 【变式1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若为等腰直角三角形，求的值； （2）若对任意，、两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点，总有成立，求实数的最小值． 【解答】解：（1）令，则，，，即， 又，当为等腰直角三角形时，，即，； （2）由（1）可知点， 对任意，、两点总关于原点对称，必有， 设直线的解析式为， 将，代入，可得，解得，直线的解析式为， 点为直线与抛物线的交点， 解方程组，可得或（点舍去），即点的坐标为； （3）当，时，， ，， 又点为线段的中点，， 又，，， 把代入抛物线，可得，解得， 抛物线的解析式为，即， 点，为抛物线上任意一点，， 令， 则当时，， 若要使成立，则，， 实数的最小值为． 针对性训练 1．如图，点为抛物线上一动点． （1）若抛物线是由抛物线通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线经过轴上一点，且平行于轴，点的坐标为，过点作于． ①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． ②问题解决：如图二，若点的坐标为，求的最小值． 【解答】解：（1）抛物线的顶点为 抛物线的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线的图象． （2）①存在一定点，使得恒成立．如图一，过点作轴于点 设点坐标为， ，中，，，点坐标为 ②如图二中，由①，，的最小值为的最小值 当、、三点共线时，有最小值，最小值为点纵坐标加纵坐标的绝对值． 的最小值为6． 2．如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为 （1）求该二次函数的解析式； （2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值； （3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）将，代入，得： ，解得：，该二次函数的解析式为． （2）当时，，解得：，， 点的坐标为，，点的坐标为，， 点的坐标为，，点的坐标为，． 矩形为正方形， ，解得：（舍去），． 当矩形为正方形时，的值为4． （3）以、、、四点为顶点构成的四边形能为平行四边形． 由（2）可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：，解得：，直线的解析式为． 当时，，， 点的坐标为，点的坐标为． 以、、、四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且， ，分三种情况考虑： ①当时，如图1所示，，， ，解得：（舍去），； ②当时，如图2所示，，， ，解得：（舍去），； ③当时，如图3所示，，， ，解得：（舍去），． 综上所述：当以、、、四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4，6或． 3．在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线对应的二次函数表达式； （2）探究：如图1，连接，作交的延长线于点，连接交于点，是的中点，则是否将四边形分成面积相等的两部分？请说明理由； （3）应用：如图2，是抛物线在第四象限的图象上的点，且，连接、，在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标． 提示：若点、的坐标分别为，、，，则线段的中点坐标为，． 【解答】解：（1）函数表达式为：， 将点坐标的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：； （2）将四边形分成面积相等的两部分，理由：如图1，，， ，即：，，； （3）设点，，而，解得：或4，故点； 如图2，故点作交的延长线于点，由（2）知：点是的中点， 将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：①， 同理直线的表达式为：， 直线，且直线经过点，同理可得直线的表达式为：②， 联立①②并解得：，即点，， 点是的中点，由中点公式得：点，． 4．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形； （3）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标； （4）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）函数的表达式为：， 即：，解得：，故抛物线的表达式为：，则顶点； （2），，， 则四边形为菱形，而，四边形为正方形； （3）将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：直线的表达式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点，则点， 则， ，故有最大值，此时，故点，； （4）存在，理由：如上图，过点作与轴夹角为的直线，作，垂足为， 则，最小值， 直线所在表达式中的值为，直线的表达式为：① 则直线所在表达式中的值为， 则直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得： 则直线的表达式为：②， 联立①②并解得：， 故点，，而点， 则，即：的最小值为． 5．若关于的二次函数，，，，是常数）与轴交于两个不同的点，，，，与轴交于点，其图象顶点为点，点为坐标原点． （1）当，时，求与的值； （2）当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论； （3）当时，记，的面积分别为，，若，且，求的值． 【解答】解：（1）设的两根为、，把，代入得：， 是它的一个根，，解得：， 方程为：，另一个根为； （2）当时，，此时，， ，，当为等边三角形时， 即，，， 解得：，（舍去）， 此时，即，、重合，不可能为等边三角形； （3），，即，，， 由得，，，（舍去）， 方程可变形为，， ， ，，，． 6．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ 【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：， 即：，解得：， 则抛物线的表达式为； （2）存在，理由： 点、、的坐标分别为、、， 则，，，， 设的解析式为，将点、的坐标代入解得： ，解得，①， 设直线的解析式为，则有，解得直线的表达式为：， 设线段的中点为，，过点与垂直，直线的表达式中的值为， 同理可得过点与直线垂直，直线的表达式为：②， ①当时，如图1， 则， 设：，则，由勾股定理得：，解得：或4， 点在点的左侧，，故点； ②当时，如图1， ，则，则，故点，； ③当时，联立①②并解得：（舍去）；故点的坐标为：或，； （3）设点，则点， ，， ， ，有最大值，当时，的最大值为：． 第2课时 函数有关的动态型问题 例1．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点． （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线经过，， 把、两点坐标代入上式，，解得：， 故抛物线函数关系表达式为； （2），点，， 正方形中，，， ，，， 又，，， 设，则，，， ，时，线段长有最大值，最大值为． 即时，点在线段上运动至，时，线段有最大值．最大值是． （3）存在． 如图，过点作轴交于点， 抛物线的解析式为，，，点坐标为， 设直线的解析式为，，，直线的解析式为， 设，则，， ， ，时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为． 【变式1】已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点是线段上一个动点． ①如图1，设，当为何值时，？ ②如图2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线过点，， ，解得：，抛物线解析式为； ，顶点的坐标为； （2）①在中，，，， ，，， ，，为直角三角形，且． ，为的中点，，． ②在中，， 在中，，， ，，， 若以，，为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑： 当时，，， 设直线的解析式为， ，解得：，直线的解析式为，直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，解得：，直线的解析式为， ，解得：，． 当时，， ，， 直线的解析式为， ，解得：，． 综合以上可得点的坐标为或． 针对性训练 1．如图，抛物线与两坐标轴相交于点、、，是抛物线的顶点，是线段的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标； （2）是抛物线上的动点： ①当，时，求的面积的最大值； ②当时，求点的坐标． 【解答】解：（1）将、、代入， ，解得：，抛物线的解析式为． ，顶点的坐标为． （2）①过点作轴，交于点，如图1所示． 设直线的解析式为， 将、代入， ，解得：，直线的解析式为． 点的坐标为，点的坐标为， ，． ，当时，取最大值，最大值为1． ②过点作交轴于点，交抛物线于点，在轴负半轴取，连接，射线交抛物线于点，如图2所示． ，． ，，． 是线段的中点，，，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：，直线的解析式为． 联立直线、抛物线解析式成方程组，， 解得：，（舍去），点的坐标为，． 当时，，点的坐标为，点的坐标为． 同理，利用待定系数法可求出直线的解析式为． 联立直线、抛物线解析式成方程组，， 解得：，（舍去），点的坐标为，． 综上所述：当时，点的坐标为，或，． 2．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）二次函数表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，解得：，故函数表达式为：①； （2）设点的坐标为，则点， 则，， 矩形的周长， ，故当，有最大值，最大值为10，此时，点与点重合； （3）的面积是矩形面积的，则， 连接，在的上下方等距离处作的平行线、， 过点作轴的平行线交、直线于点、，即， 过点作于点， 将、坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：， ，，， 设点，则点， ，解得：， 则，解得：，故点，， 直线的表达式为：②， 联立①②并解得：，即点、的横坐标分别为或； 故点横坐标为：或或． 3．如图，直线、为常数）分别与轴、轴交于点、，抛物线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是抛物线上的任意一点，设点到直线的距离为，求关于的函数解析式，并求取最小值时点的坐标； （3）若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，求的最小值． 【解答】解：（1）由题意可得，解得，直线解析式为； （2）如图1，过作于点，过作轴，过作轴，两垂线交于点， 则，且， ，，且， ，， 设，则，， ，， ，，，且， ，整理消去可得， 与的函数关系式为， ，当时，有最小值，此时， 当取得最小值时点坐标为，； （3）如图2，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得， ， 当、、三点一线且与垂直时最小， ， ， 由（2）可知当时，， 即的最小值为． 4．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且． （1）求抛物线的解析式； （2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值； （3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【解答】解：（1）点在线段上，，， ， 四边形是矩形，， 抛物线经过点、 解得：，抛物线的解析式为 （2）如图1，作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，连接、、 ，抛物线对称轴为直线 点、在抛物线上，且轴， ，即点、关于直线对称 ，即 ， 平分，，，， 点、关于轴对称，点在轴上，， 为中点， 点、关于轴对称，点在轴上，，， 当、、、在同一直线上时，最小 四边形周长最小值为． （3）存在点，使中边上的高为． 过点作轴交直线于点， ，，直线解析式为， 设点坐标为，，则点， ①如图2，当时，点在点左侧， ， 中边上的高， ，，方程无解 ②如图3，当时，点在点右侧 ，解得：（舍去），， 综上所述，点坐标为满足使中边上的高为． （4）设抛物线向右平移个单位长度后与矩形有交点、 平分矩形的面积 在线段上，在线段上，如图4，， 连接，交于点 ， ，， ，即点为中点，也是中点 ， 抛物线平移的距离为3个单位长度． 5．已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），点是抛物线上一点，且，，如图所示． （1）求抛物线的解析式． （2）设点为抛物线上的一个动点，且在曲线上移动． ①当点在曲线之间（含端点）移动时，是否存在点使的面积为？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②当点在曲线之间（含端点）移动时，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 【解答】解：（1）如图1，令代入，， ，，，，，， 过点作轴于点，， ，，， 由勾股定理可求得：， ，，， 把，代入，，， 抛物线解析式为；； （2）点在抛物线上，，的坐标为， ①当点在曲线之间（含端点）移动时，， 如图2，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， 把与，代入，得：，解得 直线的解析式为：， 令代入，，的坐标为， ， 当时，，解得或， ，，此时，的坐标为； ②当点在曲线之间（含端点）移动时，，， 当时，， 当时，可取得最大值，最大值为，此时，的坐标为，， 当时，， 当时，可取得最大值，最大值为，此时，的坐标为，， 综上所述，当点在曲线之间（含端点）移动时，的坐标为，或，时，的最大值为． 6．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点、点的运动时间为． （1）当时，求经过点，，三点的抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）当线段与线段相交于点，且时，求的值； （4）连接，当点，在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式． 【解答】解：（1）当时，则， ，四边形是矩形，，且， 抛物线过原点，可设抛物线解析式为， ，解得，过、、三点的抛物线的解析式为； （2）当时，则，即点与点重合，，如图1， ，且，； （3）当线段与线段相交于点，则可知点在线段上，点在线段的延长线上，如图2， 则，，，， ，，，且，，解得， 当线段与线段相交于点，且时，为； （4）当时，如图3，由题意可知，； 当时，设交于点，如图4， 由题意可知，，则，， 同（3）可得，， ，解得， ； 当时，设与交于点，如图5， 由题意可知，， ，，即，解得，， ； 综上可知． 第3课时 二次函数与圆相关的综合题 例1．如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点． （1）求点的坐标； （2）过点作的切线交轴于点． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，，，当，时，求的值． 【解答】解：（1）令，，； （2）①证明：如图，连接，连接，延长交轴于点， 过、、三点，为顶点，，， 又，， 为切线，， 又，，． ②解：设，，，， 由角平分线成比例定理可得：，即：， ，， ． 【变式1】如图，已知的圆心为点，抛物线过点，与交于、两点，连接、，且，、两点的纵坐标分别是2、1． （1）请直接写出点的坐标，并求、的值； （2）直线经过点，与轴交于点．点（与点不重合）在该直线上，且，请判断点是否在此抛物线上，并说明理由； （3）如果直线与相切，请直接写出满足此条件的直线解析式． 【解答】解：（1）过点、分别作轴的垂线交于点、， ，，，又， ，，，故点、的坐标分别为、， 将点、坐标代入抛物线并解得：，， 故抛物线的表达式为：； （2）将点坐标代入并解得：，则点， 点、、、的坐标分别为、、、，则，， 点在直线上，则设的坐标为， ，则，解得：或6（舍去，故点， 把代入，故点在抛物线上； （3）①当切点在轴下方时， 设直线与相切于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接， ，， ，，， ，即：，解得：或（舍去，故点， 把点、坐标代入并解得：直线的表达式为：； ②当切点在轴上方时，直线的表达式为：； 故满足条件的直线解析式为：或． 针对性训练 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．点是直线与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标． （2）如图①，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，，．求四边形面积的最大值及此时点的坐标． （3）如图②，经过、、三点的圆交轴于点，求点的坐标． 【解答】解：（1）把，代入二次函数解析式得：， 解得：，即二次函数解析式为， 联立一次函数解析式得：， 消去得：，解得：或，则； （2）如图①，过作轴，交于点， 设，则， ， ， 当时，，此时坐标为，； （3）连接，如图②所示， 当时，，，，， ，，， ，即，解得：， 则坐标为． 2．已知函数的图象与轴有两个公共点． （1）求的取值范围，并写出当取值范围内最大整数时函数的解析式； （2）题（1）中求得的函数记为． ①当时，的取值范围是，求的值； ②函数的图象由函数的图象平移得到，其顶点落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数的图象顶点为，求点与点距离最大时函数的解析式． 【解答】解：（1）函数图象与轴有两个交点， 且，解得：且． 为符合条件的最大整数，．函数的解析式为． （2）①抛物线的对称轴为． ，，当时，随的增大而减小． 当时，．，解得或（舍去）．的值为． ②，，． 如图所示： 当点在与的交点处时，有最大值． 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得：． 的解析式为． 设点的坐标为． 由两点间的距离公式可知：，解得：或（舍去）．点的坐标为． 当点与点距离最大时函数的解析式为． 3．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点． （1）求二次函数的解析式及顶点的坐标； （2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点． ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 【解答】解：（1），，则，， 即点，，的坐标分别为，，， 则二次函数表达式为：， 即：，解得：，故函数表达式为：，点； （2）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：， 设点，的坐标为，，，， 则，，则：， 同理：， ①，当时，，即点， ，则， ，解得：； ②点、的坐标为，，，，点， 则直线表达式中的值为：，直线表达式中的值为：， 为：， 故，即：恒为直角三角形； ③取的中点，则点是外接圆圆心， 设点坐标为，则， ，整理得：，即：该抛物线的表达式为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象． （1）求的函数表达式； （2）设点是以点为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象与轴相交于两点、，求的最大值； （3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求与所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数． 【解答】（1）解：二次函数的图象沿轴翻折得到函数的解析式为，此时顶点坐标， 将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象的顶点为， 故的函数表达式． （2），， ， 当最大时最大．如图，延长与交于点，此时最大， 的最大值，最大值． （3）与所围成封闭图形如图所示， 由图象可知，与所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个． 5．如图，抛物线，，是常数，的对称轴为轴，且经过和，两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的总经过定点． （1）求，，的值； （2）求证：在点运动的过程中，始终与轴相交； （3）设与轴相交于，，，两点，当为等腰三角形时，求圆心的纵坐标． 【解答】方法一： 解：（1）抛物线，，是常数，的对称轴为轴，且经过和，两点，抛物线的一般式为：，，解得：， 图象开口向上，，抛物线解析式为：，故，； （2）设，的半径， 又，则，化简得：， 点在运动过程中，始终与轴相交； （3）设， ，作于，则， 又，则，故，，， 又，，， 当时，，解得：， 当时，，解得：，则； 当时，，解得：，则； 综上所述，的纵坐标为：0或或． 方法二： （3）设， ，，，，， 为等腰三角形，，，， ，， ，， ，， ①当时，的纵坐标为0， ②当时，，的纵坐标为， ③当时，，的纵坐标为， 综上所述，的纵坐标为：0或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是以为直径的的内接四边形，点，在轴上，是边长为2的等边三角形，过点作直线与轴垂直，交于点，垂足为点，且点平分． （1）求过，，三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形是菱形； （3）请问在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：由题意可知，为等边三角形，点，，，均在上， 则， 又，，，，， 抛物线顶点的坐标为， 设函数解析式为，把点代入，解得：， 故二次函数解析式为：； （2）证明：连接， 为等边三角形，，， 点平分弧，， ，，是等边三角形，， 四边形为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）； （3）解：存在． 理由如下：设点的坐标为 ，，，即，解得：， 当时，，解此方程得：，，即点的坐标为，， 当时，，此方程无解， 故所求点坐标为，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 学科网（北京）股份有限公司 $$