第7讲 几何小综合题2024年九年级中考数学复习

第七讲 几何小综合题 第1课时 以三角形为背景的证明与计算 例1．如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点，，． （1）求的长； （2）求证：为等腰三角形． （3）求的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离． 【解答】（1）解：是边上的中线，， ，为的中位线，； （2）证明：，，， 而，，， 而，，为等腰三角形． （3）如图，连接、、， 在中，，设的半径为，的半径为， 在中，，解得，， ，，解得，即， ． 答：的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为． 【变式1】如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【解答】证明：（1），为线段的中点， ，， ，， （2）， ，，，且， ， 针对性训练 1．已知，如图，，，，，求证：． 【解答】证明：由得， 又， ， 在和中， ，． 2．如图，已知在四边形中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【解答】解：，，， 在和中，，，； （2），，， ，，． 3．如图，点、、、在一条直线上，，，，写出与之间的关系，并证明你的结论． 【解答】解：，， 理由是：，，， 在和中，，， ，， ． 4．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，． （1）求证：； （2），平分，，求的长． 【解答】（1）证明：在中，、分别是、的中点，，， 在中，是中点，，，． （2）解：，平分，， 由（1）可知，，， ，，，， 由（1）可知， 5．如图，在和的斜边分别为正方形的边和，其中． （1）求证：； （2）线段与线段相交于，若，求的值． 【解答】解：（1），，，． （2）由易得：，， ；，，， ，，，， 在中，． 6．已知，在中，，，点为的中点． （1）如图①，若点、分别为、上的点，且，求证：； （2）若点、分别为、延长线上的点，且，那么吗？请利用图②说明理由． 【解答】（1）证明：连接，如图①所示． ，，为等腰直角三角形，． 点为的中点，，． ，，． 在和中，，，； （2），证明如下：连接，如图②所示． ，． ，，． 在和中，，，． 7．如图，在中，，，是的角平分线，交于点，交于点，已知． （1）求的长； （2）求四边形的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 【解答】解：（1），，， 平分，， 在中，，，． （2）交于点，交于点，四边形是平行四边形， ，，四边形是菱形，， 在中，，，四边形的周长为． 8．已知四边形中，，，连接，过点作，且使，连接，过作于交于． （1）如图1，当在的延长线上时，求证：①；②； （2）如图2，当不在的延长线上时，还成立吗？请证明你的结论． 【解答】证明：（1）①如图1， ，，，，， 在和中，，； ②如图1，，， 在中，，， ，，， ，，，； （2）结论仍然成立，理由是：如图2所示，过作，交、延长线于、， ，，，，， ，， ，，，， 在和中，，， ，， ，，． 第2课时 以相似三角形为背景的证明与计算 例1．如图，，平分，过点作交于．连接交于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【解答】证明：（1）平分， ，且，，， （2），， ，且，，， ，且，，， ，， ，，，且， 【变式1】如图，在中，，为边上的中线，于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【解答】解：（1），，，， ，，． （2），，， 在中，，，． 针对性训练 1．如图，在中，，，，，是的平分线，交于点，求的长． 【解答】解：为的平分线，， ，，，， ，， ，， ，，， ， ． 2．如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【解答】（1）证明：，， ，，， ，． （2），，，， ，，． 3．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，，， 又，，，； （2）解：，，，，， 是的中点，， ，，即，，． 4．已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、． （1）求证：； （2）连接，如果．求证：． 【解答】证明：（1）四边形为正方形，，， ，，， ，，， 在和中，，，； （2）如图，，而， ，，，，而，， ，，即平分，而，． 5．如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接． （1）求证：； （2）当时（如图，求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：，， ，，，． （2）解：如图2中，作于． 在中，设，则， 由勾股定理，得到，，或（舍弃）， ，，， ，， ，，， ，，，， ，，． （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得． 理由：作于，于，于．则， 四边形为矩形，，， ，，，，，， 在中，由勾股定理，得， ，，， ，，， ，， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ，，， 点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时． 6．如图，中，，，为内部一点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证． 【解答】解：（1），， 又，， 又， （2）， 在中，，，， （3）如图，过点作于，于，过作于点 ，，， ，，， 又，，， ，即， ，， ． 即：． 第3课时 以平行四边形为背景的证明与计算 一：平行四边形的性质与判定 例1．如图，中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【解答】解：四边形是平行四边形，，，是的中点，， 又，，，又，四边形是平行四边形． 【变式1】如图，在中，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 【解答】（1）证明：在中，，，． 在等边中，，．为的中点，． 又，． 在中，，为的中点，，．， ，．又，． 又，．． 又，，即．四边形是平行四边形． （2）解：在中，，， ，，． 二：特殊平行四边形的性质与判定 例2．如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形，，， ，， 在和中，，，； （2）解：由（1）得：，，，， ，，，， 在中，，． 【变式2】如图，在正方形中，点，分别在边，上，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【解答】解：（1）在和中，； （2）由已知可得正方形面积为16，面积面积． 所以四边形的面积为． 针对性训练 1．如图，在平行四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 【解答】证明：四边形是平行四边形，，且， 又，，且，四边形是平行四边形． 2．如图，已知四边形中，对角线、相交于点，且，，过点作，分别交、于点、． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，， 在和中，，． （2）解：结论：四边形是菱形，，， ，，，四边形是平行四边形， ，，，四边形是菱形． 3．已知：如图，在中，，，，分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，， ，，， 在和中，，； （2）证明：，，， 四边形是矩形． 4．如图，将沿着边翻折，得到，且． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【解答】解：（1）四边形是菱形；理由如下： 沿着边翻折，得到，，，，， ，，， ，，四边形是菱形； （2）连接交于，如图所示：四边形是菱形，，，， ，， 四边形的面积． 5．如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，， ，，； （2）解：四边形是平行四边形，，， ，即，解得，． 6．如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【解答】证明：（1）是的中点，， ，，，； （2）连接，，，四边形是平行四边形， ，，，四边形是平行四边形，， ，，四边形是矩形． 7．如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、． （1）求证：； （2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长． 【解答】解：（1）正方形与正方形，对角线、， ， ，， ，在和中 （2）如图，过点作交于点 ，， ，， 在中，由勾股定理得 ，，，易证 ，得，则正方形的边长为 8．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．求证：中点四边形是平行四边形； （2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形的形状．（不必证明） 【解答】（1）证明：如图1中，连接． 点，分别为边，的中点，，， 点，分别为边，的中点，，， ，，中点四边形是平行四边形． （2）四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，． ，，即， 在和中，，， 点，，分别为边，，的中点，，， 四边形是平行四边形，四边形是菱形． （3）四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点．与交于点，与交于点． ，， ，， ，，， 四边形是菱形，四边形是正方形． 第4课时 以圆为背景的证明与计算 一：圆的基本性质有关的计算与证明 例1．如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 是中的中点，， 为的直径，，，， ，四边形是菱形． （2）四边形为的内接四边形，， ，， 四边形是菱形，，，，． （3），，，， 设，则，由此得，解得：或（不合题意，舍去），， 为的中位线，，． 【变式1】如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【解答】证明：（1）是的中点，， 是的直径，且，，，， 在和中，，； （2）解法一：如图，连接，设的半径为， 中，，即， 中，，即， ，，， ，即，解得：（舍或3， ，； 解法二：如图，过作于，连接、， ，， ，， ，，， ，，，，，， 是的直径，，， ，，，，． 解法三：如图，连接，交于， 是的中点，，， ，， ，，，， ，，． 二：圆的切线有关的计算与证明 例2．如图，与相切于点，，分别交于点，， （1）求证：； （2）已知，，求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接， 与相切于点，， 由于，，，， （2）由（1）可知：是等腰三角形，， ，，， ，扇形的面积为：， 的面积为：， 【变式2】如图，点、、在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且． （1）求证：是的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接，交于，，，， ，，即， ，，是的切线； （2）解：，，， ，，， ． 针对性训练 1．如图，在中，，是直径，是切线，为切点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【解答】（1）证明：，是直径，， 在和中，，； （2）解：是切线，，， ，，，，的度数为． 2．如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度．（结果保留 【解答】解：（1）如图，连接， ，， 平分，，，， ，，是的切线； （2）如图，作于点，连接，则，， 四边形是矩形，，， ，，， ，即，， 在中，， 在中，，，， 则的长度为． 3．如图，内接于，，是的直径，与相交于点，过点作，分别交、的延长线于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【解答】证明：（1），是圆的直径， 由圆的对称性可知：，， ，，是圆的半径，是的切线； （2）是圆的直径，， ，，， ，，，． 4．如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：连接， ，， ，，，， 是切线，， 在和中，， 是半径，是的切线； （2）解：连接，， 是切线，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，， 设，，，，解得或（舍去）， ，， 、是的切线，， 设，在中，，，解得，， 故的长为6． 5．已知的内切圆与、、分别相切于点、、，若，如图1． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）设与相交于点，如图2，，求的长． 【解答】解：（1）连接．结论：为等腰三角形， 理由：，， 又，，，，为等腰三角形； （2）连接、、、，如图， 等腰三角形中，，是中点，， 在和中，，，， 同理，， ，， ，，，， ， ． 6．如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点． （1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高． 【解答】解：在等腰中，，， 是的角平分线，，，，， 由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得，这个圆锥的高． 7．如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时，求阴影部分面积． 【解答】解：（1）如图，连接，，， 为的直径，， 在中，，， ，，，， 是的切线，，， 为半径，是的切线； （2），，，， ，，，， ，，． 四边形的面积为， 阴影部分面积为． 8．如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点，使，交于． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【解答】证明：（1）连接， 是等边三角形的外接圆，，， ，，， 是的切线； （2）是等边三角形，，， 、、、四点共圆，， ，是等边三角形，，， ，即， 在和中，，，． 9．如图，内接于，，的延长线交于点 （1）求证：平分； （2）若，，求和的长． 【解答】（1）证明：延长交于，连接，如图1所示： ，，、在线段的垂直平分线上，， 又，平分； （2）解：延长交于，连接，如图2所示： 则是的直径，，， ，， ，，，， ，，，即，解得：，， ，即，， 是的中位线，，，， 在中，． 10．如图，在直角坐标系中，经过原点，点，与点，点在劣弧上，连接交轴于点，且． （1）求的半径； （2）求证：平分； （3）在线段的延长线上找一点，使得直线恰好为的切线，求此时点的坐标． 【解答】解：（1）经过、、三点，且， 为直径点为，，点为，，， ，的半径为：； （2），，，即平分； （3）如图，过点作，垂足为，交的延长线于点，过点作于点，即是切线， 在中，，， ，， ，， ，，是等边三角形， ，，， ，点的坐标为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲 几何小综合题 第1课时 以三角形为背景的证明与计算 例1．如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点，，． （1）求的长； （2）求证：为等腰三角形． （3）求的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离． 【变式1】如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 针对性训练 1．已知，如图，，，，，求证：． 2．如图，已知在四边形中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 3．如图，点、、、在一条直线上，，，，写出与之间的关系，并证明你的结论． 4．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，． （1）求证：； （2），平分，，求的长． 5．如图，在和的斜边分别为正方形的边和，其中． （1）求证：； （2）线段与线段相交于，若，求的值． 6．已知，在中，，，点为的中点． （1）如图①，若点、分别为、上的点，且，求证：； （2）若点、分别为、延长线上的点，且，那么吗？请利用图②说明理由． 7．如图，在中，，，是的角平分线，交于点，交于点，已知． （1）求的长； （2）求四边形的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 8．已知四边形中，，，连接，过点作，且使，连接，过作于交于． （1）如图1，当在的延长线上时，求证：①；②； （2）如图2，当不在的延长线上时，还成立吗？请证明你的结论． 第2课时 以相似三角形为背景的证明与计算 例1．如图，，平分，过点作交于．连接交于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】如图，在中，，为边上的中线，于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 针对性训练 1．如图，在中，，，，，是的平分线，交于点，求的长． 2．如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 3．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 4．已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、． （1）求证：； （2）连接，如果．求证：． 5．如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接． （1）求证：； （2）当时（如图，求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 6．如图，中，，，为内部一点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证． 第3课时 以平行四边形为背景的证明与计算 一：平行四边形的性质与判定 例1．如图，中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】如图，在中，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求平行四边形的面积． 二：特殊平行四边形的性质与判定 例2．如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式2】如图，在正方形中，点，分别在边，上，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 针对性训练 1．如图，在平行四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 2．如图，已知四边形中，对角线、相交于点，且，，过点作，分别交、于点、． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 3．已知：如图，在中，，，，分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 4．如图，将沿着边翻折，得到，且． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 5．如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 6．如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 7．如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、． （1）求证：； （2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长． 8．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．求证：中点四边形是平行四边形； （2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形的形状．（不必证明） 第4课时 以圆为背景的证明与计算 一：圆的基本性质有关的计算与证明 例1．如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【变式1】如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 二：圆的切线有关的计算与证明 例2．如图，与相切于点，，分别交于点，， （1）求证：； （2）已知，，求阴影部分的面积． 【变式2】如图，点、、在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且． （1）求证：是的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 针对性训练 1．如图，在中，，是直径，是切线，为切点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 2．如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度．（结果保留 3．如图，内接于，，是的直径，与相交于点，过点作，分别交、的延长线于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 4．如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 5．已知的内切圆与、、分别相切于点、、，若，如图1． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）设与相交于点，如图2，，求的长． 6．如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点． （1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高． 7．如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时，求阴影部分面积． 8．如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点，使，交于． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 9．如图，内接于，，的延长线交于点 （1）求证：平分； （2）若，，求和的长． 10．如图，在直角坐标系中，经过原点，点，与点，点在劣弧上，连接交轴于点，且． （1）求的半径； （2）求证：平分； （3）在线段的延长线上找一点，使得直线恰好为的切线，求此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$