多面体的内切与外接问题 专项训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

多面体的内切与外接问题 题型一　内切问题 1.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　) A.，4 B.，3 C．6π，4 D.，3 2.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是(　　) A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 3.已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 ______ . 题型二　球外接的基本模型 4.在四面体A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 5.在四面体A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 6.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A－BC－S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A. B. C. D．3π 7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 题型三　翻折中的外接球与体积问题 8.在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，点H为AE的中点，将沿直线AE翻折至的位置，当时，三棱锥的外接球的体积是 ． 9.如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为 ． 10.矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 11.已知菱形的边长为6，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角为，则此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12.如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 13.已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 课后作业 一、单项选择题 1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B．2 C. D．3 2．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为(　　) A. B．4π C. D．4π 3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 4．(2024·南昌模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为(　　) A. 2 B．4 C．2 D. 5．(2023·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为(　　) A. B. C．4π D．8π 6．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　) A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为π C．正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 8.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．如图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r＝2，则(　　) A．球与圆柱的表面积之比为1∶2 B．平面DEF截得球的截面面积最小值为π C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为[2＋2，4] 三、填空题 9．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 10.如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 多面体的内切与外接问题 题型一　内切问题 1.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　) A.，4 B.，3 C．6π，4 D.，3 答案　D 解析　依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知AC＝＝10，设健身手球的半径为R，则×(6＋8＋10)×R＝×6×8，解得R＝2.则健身手球的最大直径为4. 因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球．于是一个健身手球的最大体积V＝πR3＝π×23＝. 2.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是(　　) A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　D 解析　三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A. 如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B. 则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由(R－)2＝22＋()2可得R＝＋. 3.已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 ______ . 【详解】 因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直 三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；，当时，取得最大值. 过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，    因为，，所以由余弦定理知，所以，易得. 所以.因为， 设内切球的半径为，则根据等体积法，有： ，即，解之得， 所以其内切球的表面积为故答案为： 题型二　球外接的基本模型 4.在四面体A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 答案　C 解析　由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且分别以x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为球的半径)，得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π. 5.在四面体A-BCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体A-BCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 答案　C 解析　由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且分别以x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为球的半径)，得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π. 6.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A－BC－S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A. B. C. D．3π 答案　A 解析　如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD， 由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，∴∠ADS＝， 由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O半径R＝OA， 由题意知BD＝，AD＝，DE＝AD＝，AE＝AD＝，连接OD，在Rt△ODE中， ∠ODE＝，OE＝DE＝，∴OA2＝OE2＋AE2＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝. 7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 答案：D 在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球表面积为________. 答案： 题型三　翻折中的外接球与体积问题 8.在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，点H为AE的中点，将沿直线AE翻折至的位置，当时，三棱锥的外接球的体积是 ． 【答案】 【详解】因为在矩形中，，，点E，F分别为BC，AD的中点， 所以，为等腰直角三角形，如图，由题可知点F为的外心，过点F作直线l，使l⊥平面ABCD． 又H点为的外心，过H点作⊥平面．      交l于O点，则点O为球心，设球的半径为，易知，则， 在中：．所以球的体积为．故答案为： 9.如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】因为是等腰直角三角形，点P为线段AB的中点，，， 所以，，则，因为，所以，则， 所以将该三棱锥补成正方体，如下图所示：    则三棱锥的外接球就是边长为的正方体的外接球，所以该外接球的直径为正方体的体对角线，即，所以外接球表面积为. 故答案为：. 10.矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设的中点为，连接， 因为四边形为矩形，所以，，所以为四面体外接球的球心， 因为，所以， 所以，所以面体外接球的半径为， 所以该四面体外接球的体积为， 故选：A 11.已知菱形的边长为6，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角为，则此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交于，连接，易得为与的中点，    四边形为菱形，，即，， 二面角的平面角为，；又，，所以，在中，由余弦定理得， 由三棱锥的结构特征可得其外接球的球心在的平分线上，记外接球的球心为，设，外接球半径为，所以，即，解得，所以，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D. 12.如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点， 因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，因为，，所以， 过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动. 所以当平面时四面体的体积取得最大值.因为，所以， 所以，故选：D. 13.已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在等腰梯形中，，，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 连接交于点，连接，则为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）在等腰梯形中，由（1）知，即为等边三角形， 则，连接，则也为等边三角形，即，所以也为等边三角形， 在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点， 依题意且， 所以为二面角的平面角，即， 又，所以为等边三角形，所以， 又，平面，所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，又， 所以. 课后作业 一、单项选择题 1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B．2 C. D．3 答案　C 解析　由题意作图，如图所示，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. ∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC， ∴BC＝5，又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，∴球O的半径R＝OA＝＝. 2．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为(　　) A. B．4π C. D．4π 答案　A 解析　AB＝＝，设PB＝h，则由PA＝2PB， 可得＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P－ABC还原成如图所示的长方体， 则三棱锥P－ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R， 则2R＝＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝R3＝. 3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 答案　C 解析　根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3＝18. 4．(2024·南昌模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为(　　) A. 2 B．4 C．2 D. 答案　C 解析　因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF， 所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直， 故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球． 设正方形ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1， 故2R＝＝，则R＝. 设内切球球心为I，由VO－DEF＝VD－OEF＝·S△OEF·OD＝，三棱锥O－DEF的表面积S＝4， VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝Sr，所以r＝，则有＝2. 5．(2023·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为(　　) A. B. C．4π D．8π 答案　A 解析　将该多面体放入正方体中，如图所示． 由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为， 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得， 所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R＝，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝. 6．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大． 设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h， 则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝， 所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大． 二、多项选择题 7．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　) A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为π C．正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 答案　ABC 解析　设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a； 内切球的半径为棱长的一半，即a.∵M，N分别为外接球和内切球上的动点， ∴MNmin＝a－a＝a＝－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2， ∴正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球的体积为π，故A，B，C正确； 线段MN的最大值为＋1，故D错误． 8.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．如图是一个圆柱容球，O1，O2为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r＝2，则(　　) A．球与圆柱的表面积之比为1∶2 B．平面DEF截得球的截面面积最小值为π C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为[2＋2，4] 答案　BCD 解析　由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球与圆柱的表面积之比为2∶3，故A错误； ABCD所在截面如图所示，过点O作OG⊥DO1于点G， 则由题可得OG＝×＝， 设点O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1， 则d1≤OG，r＝r2－d＝4－d≥4－＝， 所以平面DEF截得球的截面面积最小值为π，故B正确； 由题可知四面体CDEF的体积等于，点E到平面DCO1的距离d∈(0,2]， 又＝×4×4＝8，所以＝×8d＝∈，故C正确； 由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设P在底面的射影为P′，则PP′＝2，PE＝， PF＝，P′E2＋P′F2＝16， 设t＝P′E2，则t∈[0,42]，PE＋PF＝＋， 所以(PE＋PF)2＝(＋)2＝24＋2＝24＋2∈[24＋8，48]， 所以PE＋PF∈[2＋2，4]，故D正确． 三、填空题 9．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案　 解析　圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线长BS＝3，底面半径BC＝1，其高SC＝＝2， 不妨设该内切球与母线BS切于点D， 令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，得＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝. 10.如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______． 答案　　6π 解析　如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF， 可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2， BC＝CE＝1，所以S△BCE＝CE×BC＝×1×1＝，直三棱柱ADF－BCE的体积V＝S△BCE·AB＝×2＝1， 添加的三棱锥的体积为V＝. 方法一　如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O， 因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD， 所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径，因为AM＝AF＝，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝＋1＝， 所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π. 方法二　因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE补成长方体，设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$