3.2 基本不等式 教案-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

南京市秦淮中学高一上学期数学教案09 备课时间：2024年9月20日 总备课第 9 课 单元、章、节 3.2.1 教学内容 基本不等式 证明 需课时： 3 课时 第 1课时 课型：新授课 教学目标 1. 掌握基本不等式及其推导过程（逻辑推理） 2. 能利用基本不等式比较两个实数的大小（数学运算） 3. 能初步利用基本不等式进行证明和求最值（数学运算） 重点 基本不等式及其应用； 难点 利用基本不等式求最值。 教学方法 启发式、讲练结合． 教学辅助手段 运用多媒体（计算机等） 教 学 过 程 一：导问引领，新知生成： 问题1：阅读书本P51页，理解的物理意义 学生回答：当均为正数时，我们把叫作________，把叫作________ 问题2：证明它对有什么要求？ 如果将、换成，有什么结果？ 请用三种方法证明： 问题3：你能找到一个基本不等式的几何解释吗？ 问题4：基本不等式可以推广吗？写出基本不等式的几个常用变形并加以证明。 二：数学运用 【书本例题P49】 【例1】设a，b为正数，证明下列不等式成立： 【例2】已知函数，，求此函数的最小值． 【书本练习P54】 1.计算下列两个数的算术平均数与几何平均数其中 ， ， ， ， 2.如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b表示这种关系. 3.证明：； 4.求函数的最小值. 5.设，利用直角三角形三边关系证明：. 反 思 南京市秦淮中学高一上学期数学教案10 单元、章、节 3.2.1 教学内容 基本不等式证明 需课时： 3 课时 第 2课时 课型：新授课 教学目标 1.能利用基本不等式比较两个实数的大小（数学运算） 2.能初步利用基本不等式进行证明和求最值（数学运算） 重点 利用基本不等式进行证明和求最值 难点 利用基本不等式求最值。 教学方法 启发式、讲练结合． 教学辅助手段 运用多媒体（计算机等） 教 学 过 程 一：前测训练 1.设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 2.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3.若，则函数的最小值为______． 4.已知，函数的最小值为的最小值为______． 5.不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 6.已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二：典例分析 【例1】已知，，且，则xy的最大值为 ． 【变式训练1】已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】若正数满足，则的最大值为 ． 【例2】已知，则的最大值为 ． 【变式1】已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【例3】已知，且满足，求的最小值是 . 【变式1】已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 反 思 南京市秦淮中学高一上学期数学教案11 单元、章、节 3.2.2 教学内容 基本不等式的应用 需课时： 3 课时 第 3课时 课型：新授课 教学目标 1. 能利用基本不等式进行证明和求最值（数学运算） 2. 基本不等式的综合应用 重点 利用基本不等式进行证明和求最值 难点 利用基本不等式应用题 教学方法 启发式、讲练结合． 教学辅助手段 运用多媒体（计算机等） 教 学 过 程 一：前测训练 1.若，则的最小值为_____． 2.已知，且，则的最小值是_______. 3．正实数，满足：，则当取最小值时，____. 4.若都是正数，且，则的最大值是_________. 二：典例分析 【例1】若两个正实数x，y满足，且恒成立，求实数m的取值范围。 【变式1】已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________． 【变式2】已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 三：基本不等式综合应用 【书本例题P55】 【例3】用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？ 【例4】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【例5】如图，在中，，，，且当的面积最小时，求a，b的值. 【例6】如下图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．则当纸张的长和宽分别为多少时，才能使纸的用量最少？ 【书本练习P56】 1.若则的最小值是 A. 4 B. C. 9 D. 18 2.已知直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是 A. B. 10 C. D. 20 3.设，，且，求xy的最大值. 4.将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大？ 5.如图，质量是W的重物挂在杠杆上距支点a处.质量均匀的杆子每单位长度的质量为杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小? 板 书 设 计 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京市秦淮中学高一上学期数学教案09 单元、章、节 3.2.1 教学内容 基本不等式 证明 需课时： 3 课时 第 1课时 课型：新授课 教学目标 1. 掌握基本不等式及其推导过程（逻辑推理） 2. 能利用基本不等式比较两个实数的大小（数学运算） 3. 能初步利用基本不等式进行证明和求最值（数学运算） 重点 基本不等式及其应用； 难点 利用基本不等式求最值。 教学方法 启发式、讲练结合． 教学辅助手段 运用多媒体（计算机等） 教 学 过 程 一：导问引领，新知生成： 问题1：阅读书本P51页，理解的物理意义 学生回答：当均为正数时，我们把叫作正数的算术平均数，把叫作正数的几何平均数 问题2：证明它对有什么要求？ 如果将、换成，有什么结果？ 学生回答：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数， 即当均为正数时，，当且仅当时，等号成立。 请用三种方法证明： 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 问题3：你能找到一个基本不等式的几何解释吗？ 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 问题4：基本不等式可以推广吗？写出基本不等式的几个常用变形并加以证明。 ①（同号）；②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 二：数学运用 【书本例题P49】 【例1】设a，b为正数，证明下列不等式成立： 【答案】解：证明  因为a，b为正数，所以，也为正数.由基本不等式，得，当且仅当，即时，取得等号.所以原不等式成立. 因为a，b为正数，所以，也为正数.由基本不等式，得，，所以，当且仅当，，即时，取得等号.因此，原不等式成立. 【例2】已知函数，，求此函数的最小值． 【答案】解  ，， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时取“=”， 当时，函数取得最小值  【书本练习P54】 1.计算下列两个数的算术平均数与几何平均数其中 ， ， ， ， 【答案】解：已知， ，8的算术平均数为，几何平均数为； ，12的算术平均数为，几何平均数为； ，9p的算术平均数为，几何平均数为； ，的算术平均数为，几何平均数为；  2.如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b表示这种关系. 【答案】若，，则，当且仅当时，等号成立. 证明：因为直角三角形的直角边长为a，b，所以，，且直角三角形的斜边长为 设，则大正方形的边长为，面积为，四个小直角三角形的面积之和为，小正方形的边长为，面积为又因为大正方形的面积=小正方形面积+四个小直角三角形的面积之和，所以大正方形的面积-四个小直角三角形的面积之和=小正方形面积， 即，当且仅当时，等号成立，因此若，，则， 当且仅当时，等号成立.  3.证明：； 【答案】解：证明：， ， 当且仅当，即时等号成立； ，， 当且仅当，即时等号成立．  4.求函数的最小值. 【答案】解：因为函数， 当且仅当时，也即时等号成立， 故当时，函数的最小值为  5.设，利用直角三角形三边关系证明：. 【答案】证明：如图所示， 在中，设，则，，且， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即，所以  板 书 设 计 教 学 反 思 南京市秦淮中学高一上学期数学教案10 单元、章、节 3.2.1 教学内容 基本不等式证明 需课时： 3 课时 第 2课时 课型：新授课 教学目标 1.能利用基本不等式比较两个实数的大小（数学运算） 2.能初步利用基本不等式进行证明和求最值（数学运算） 重点 利用基本不等式进行证明和求最值 难点 利用基本不等式求最值。 教学方法 启发式、讲练结合． 教学辅助手段 运用多媒体（计算机等） 教 学 过 程 一：前测训练 1.设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【解析】∵，∴，∴， 即，∴，当且仅当时等号成立，∵，当且仅当时等号成立，又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立故答案为： 2.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误.故选：C. 3.若，则函数的最小值为______． 【解析】（1）因为，则函数，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值5．故答案为：5. 4.已知，函数的最小值为的最小值为______． 【解析】因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B 5.不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立，故选：. 6.已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】实数，， 当且仅当，即时等号成立，函数的最小值为6.故选：B. 二：典例分析 【例1】已知，，且，则xy的最大值为 ． 【答案】8 【解析】因为，，且，可得，当且仅当，即，时，等号成立，所以xy的最大值为8．故答案为：8. 【变式训练1】已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为. 【变式2】若正数满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【解析】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故的最大值为10．故答案为：10 【例2】已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得，所以的最大值为2.故答案为：2 【变式1】已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【解析】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．故答案为：． 【例3】已知，且满足，求的最小值是 . 【答案】18 【解析】， 当且仅当，即，联立，得，所以的最小值是. 故答案为： 【变式1】已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 【变式2】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为.故选：D. 【例4】已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立.故选：. 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D 【变式2】若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】由为正实数，且，得，则， 当且仅当，即时，取最小值9.故选：C. 板 书 设 计 教 学 反 思 时间：2024年09月10日 南京市秦淮中学高一上学期数学教案11 单元、章、节 3.2.2 教学内容 基本不等式的应用 需课时： 3 课时 第 3课时 课型：新授课 教学目标 1. 能利用基本不等式进行证明和求最值（数学运算） 2. 基本不等式的综合应用 重点 利用基本不等式进行证明和求最值 难点 利用基本不等式应用题 教学方法 启发式、讲练结合． 教学辅助手段 运用多媒体（计算机等） 教 学 过 程 一：前测训练 1.若，则的最小值为_____． 2.已知，且，则的最小值是_______. 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，取等号.故选：B. 3．正实数，满足：，则当取最小值时，____. 【答案】 【解析】， ，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：． 4.若都是正数，且，则的最大值是_________. 【答案】 【解析】因为､都是正数，且，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故答案为：. 二：典例分析 【例1】若两个正实数x，y满足，且恒成立，求实数m的取值范围。 【解析】由题意，两个正实数x，y满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又由恒成立，可得，即， 解得，即实数m的取值范围是. 【变式1】已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为、为两个正实数，由可得， 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，，因此，实数的取值范围是.故答案为：. 【变式2】已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】因为，恒成立，即 所以，即， 又，所以 所以，所以，所以正实数的最小值为2．故选：A． 三：基本不等式综合应用 【书本例题P55】 【例3】用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？ 【答案】解：设矩形的长为，则宽为，矩形面积为， 且，当且仅当，即时取“=” 由此可知，当时，有最大值 答：将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为  【例4】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】长方体贮水池容积为，深度为，可得底面积为，设底面的长为x米，则宽为米，水池总造价为z元，根据题意有， ，当且仅当，即时取等号， 所以将水池底面设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低为297600元.  【例5】如图，在中，，，，且当的面积最小时，求a，b的值. 【答案】解：由条件，且，则，即，当且仅当即时等号成立.在直角三角形中，故，即的面积最小值为4，此时  【例6】如下图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．则当纸张的长和宽分别为多少时，才能使纸的用量最少？ 【详解】设纸张的面积，排版的矩形长和宽分别为则， 当且仅当，即时，有最小值，此时纸张的长和宽分别为 答：当纸张的长和宽分别为时，纸张的用量最少。 【书本练习P56】 1.若则的最小值是 A. 4 B. C. 9 D. 18 【答案】D  【解答】，，，当时取等号， 故的最小值是 故本题选 2.已知直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是 A. B. 10 C. D. 20 【答案】D  【解答】设直角三角形的直角边分别为a，，则， 故，当且仅当时取等号．故本题选 3.设，，且，求xy的最大值. 【答案】解：，，且 ，化为：，当且仅当时取等号，此时， 的最大值为  4.将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大？ 【答案】解：如图所示，矩形ABCD为横截面，设圆木的半径为 R， 则，又， 所以，即，当且仅当时等号成立.因为横截面的面积， 故当即矩形为正方形时，横截面的面积最大，最大值为  5.如图，质量是W的重物挂在杠杆上距支点a处.质量均匀的杆子每单位长度的质量为杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小? 【答案】解：设杠杆长为x单位长度时，在另一端用来平衡重物的力F最小，则， 所以当且仅当时取“=”； 所以杠杆的长度为时，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小．  板 书 设 计 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $$