第二十二章 二次函数综合测试卷2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数综合测试卷 考试时间：100分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（　　） A．图象顶点是（2，5） B．图象开口向上 C．图象关于直线x＝2对称 D．函数最大值为5 2．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3 3．已知二次函数y＝mx2﹣x﹣m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（　　） A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定 4．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（　　） A．b≤4 B．b≥2 C．b≤2 D．b≥4 5．已知二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且与x轴的负半轴交于点P，则一次函数y＝（﹣a﹣b）x+b的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果点A（1，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣4）2+h上两个不同的点，那么m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 （8题） （10题） （11题） （15题） 9．已知二次函数y＝﹣2（x﹣m）2+4，当x＜﹣2时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，且m满足m2﹣2m﹣3＝0，则当x＝0时，y的值为（　　） A．2 B．4 C．1 D．1± 10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，当y＞0时，x的范围是 　 　． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，则m　 　n（填“＞”、“＝”或“＜”）． 13．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是 　 　． 14．已知二次函数y＝﹣3x2+（m﹣1）x+1，当x时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　． 15．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）用配方法求此抛物线的顶点坐标． 17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， （1）试判断原方程根的情况； （2）若抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（1，0），B（t，0）两点，求m的值． 18．（9分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球 的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题 （1）小球从飞出到落地要用多少时间？ （2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？ 19．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； （3）当时，x的取值范围是 　 　． 20．（9分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+m与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴正半轴交于点C（0，2）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点O的直线交BC于点D，且OD刚好平分△ABC的面积，求点D的纵坐标． 21．（9分）学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元． （1）根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是　 　元/件，该产品的成本价格是　 　元/件； （2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ （3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？ 22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， （1）抛物线的对称轴是 　 　，顶点坐标 　 　，B点坐标（用含a的式子表示） 　 　； （2）已知点，Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 23．（11分）如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线yx+3经过A、B两点． （1）求b、c的值． （2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值． （3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1． D．2． C．3． C．4D．5． D．6． D．7． D．8． B．9． A．10． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，当y＞0时，x的范围是 　﹣1＜x＜3　． 12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m），（3，n）在抛物线上，则m　＞　n（填“＞”、“＝”或“＜”）． 13．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是 　﹣8　． 14．已知二次函数y＝﹣3x2+（m﹣1）x+1，当x时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　m≥﹣2　． 15．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　（1，3）或（2，﹣3）　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）用配方法求此抛物线的顶点坐标． 解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得， 所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）． 17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， （1）试判断原方程根的情况； （2）若抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（1，0），B（t，0）两点，求m的值． 解：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8， ∵（m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（m﹣1）2+8＞0， ∴原方程有两个不等实数根； （2）将x＝1代入一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0中得12﹣（m﹣3）﹣m＝0， 解得m＝2． 18．（9分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球 的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题 （1）小球从飞出到落地要用多少时间？ （2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？ 解：（1）令h＝20t﹣5t2＝0 解得t1＝0（舍去），t2＝4 ∴小球从飞出到落地要用4s （2）由配方法得 y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20 ∵a＝﹣5＜0 ∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s． 19．（9分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； （3）当时，x的取值范围是 　或　． 解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）把点的纵坐标，代入得：， 解得：或， 则EF长； （3）由（2）和图象知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 20．（9分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+m与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴正半轴交于点C（0，2）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点O的直线交BC于点D，且OD刚好平分△ABC的面积，求点D的纵坐标． 解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m与x轴交于A（﹣1，0），与y轴正半轴交于点C（0，2）． ∴，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m与x轴交于A（﹣1，0），且对称轴为直线x1， ∴B（3，0）， ∴OB＝3， ∵OA＝1，OC＝2， ∴AB＝4， ∴S△ABCAB•OC4， 设D的纵坐标为n． 由题意S△BODS△ABC， ∴3×n＝2， ∴n， ∴点D的纵坐标为． 21．（9分）学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元． （1）根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是　68　元/件，该产品的成本价格是　40　元/件； （2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ （3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？ 解：（1）设销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝kx+b， 由题意可得， 解得：， ∴销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：yx+80， 当x＝60时，y60+80＝68（元）， ∴该产品的成本价格＝6840（元）， 故答案为：68，40； （2）∵w＝（y﹣40）x， ∴w＝（x+80﹣40）xx2+40x（x﹣100）2+2000， ∴当x＝100时，销售利润最大，最大值为2000元． 答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元； （3）设科技创新后该产品的成本价格为a元， ∵w＝（y﹣a）xx2+（80﹣a）x， ∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大， ∴120， ∴a＜32， 答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元． 22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， （1）抛物线的对称轴是 　x＝0　，顶点坐标 　（0，）　，B点坐标（用含a的式子表示） 　（0，）　； （2）已知点，Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝0； ∵抛物线y＝ax2与y轴交于点A， ∴A（0，）， ∵点A关于x轴的对称点为点B， ∴B（0，）； 故答案为：x＝0；（0，）；B（0，）； （2）当a＞0时，如图1： 抛物线经过点P时，a， 解得a或a（舍去）； 抛物线经过点Q时，9a0， 解得a或a（舍去）； ∴a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 当a＜0时，如图2： 抛物线经过点P时，a， 解得a或a（舍去）； 抛物线经过点Q时，9a0， 解得a或a（舍去）； ∴a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 综上所述：a或a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点． 23．（11分）如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线yx+3经过A、B两点． （1）求b、c的值． （2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值． （3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线yx+3经过A、B两点． ∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线yx+3与坐标轴的交点坐标为A（﹣4，0），B（0，3）． 分别将x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入yx2+bx+c得，， 解得，b，c＝3， （2）由（1）得yx2x+3， 设点P（m，m+3），则D（m，m+3）， ∴PD， ∴当m＝﹣2时，PD最大，最大值是． （3）存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为或或； ∵yx2x+3， ∴y＝0时，x＝﹣4或x＝2， ∴C（2，0）， 由（2）可知D（﹣2，），抛物线的对称轴为x＝﹣1， 设G（n，n+3），Q（﹣1，p），CD与y轴交于点E，E为CD的中点， ①当CD为对角线时， n+（﹣1）＝0， ∴n＝1， 此时G（1，）． ②当CD为边时， 若点G在点Q上边，则n+4＝﹣1，则n＝﹣5，此时点G的坐标为（﹣5，）． 若点G在点Q上边，则﹣1+4＝n，则n＝3，此时点G的坐标为（3，）． 综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为或或； 学科网（北京）股份有限公司 $$