第2章 对称图形-圆 闯关练习 -2024--2025学年苏科版九年级数学上册

第2章对称图形-圆闯关练习-数学九年级上册苏科版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 圆的基础概念 知识点一 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。 第二种：圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二 圆的相关概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为MD，AB是弦， 且CD⊥AB，M A B D o ⌒ ⌒ 垂足为C AC=BC AM=BM C 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C， CD⊥AB⌒ ⌒ AC=BC AM=BM⌒ ⌒ AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 弧、弦、圆心角 知识点一 弦、弧、圆心角的关系 （1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 圆周角 知识点一 圆周角定理 （1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。 （3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 知识点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：(1)圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是360° (3)圆内接四边形的外角等于其内对角 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 （1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 （2） 用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。 知识点二（1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆 （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。 知识点三 三角形的外接圆与外心 （1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 知识点四 反证法 （1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。 （2） 反证法的一般步骤： 1 假设命题的结论不成立； 2 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论； 3 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l和⊙O相交 d ＜ r； 直线l和⊙O相切 d = r； 直线l和⊙O相离 d ＞ r。 知识点二 切线的判定和性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 知识点三 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。 知识点四 三角形的内切圆和内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 (4) 直角三角形内切圆半径的求解方法： ①直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得 。 ②根据三角形面积的表示方法：ab=, . 正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 正多边形的性质 （1） 各边相等，各角相等； （2） 都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。 （3） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。 （4） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。 （5） 正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。 弧长和扇形面积 知识点一 弧长公式L= 在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式L=×2πR=。 知识点二 扇形面积公式 在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。 比较扇形的弧长公式和面积公式发现： S扇形= 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。 第二部分 典型例题 1．如图，为外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，． (1)求证：； (2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上．理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）根据垂径定理求解即可； （2）由（1）知：，，由等弧所对的圆周角相等，得到，再结合角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为直径，， ∴由垂径定理得：， ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：， （2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上， 理由：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上． 2．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据证明：； （2）连接，设的半径为r，由列出关于r的勾股方程即可求解； 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∵是的直径，且 ∴， ∴， ∴， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接，设的半径为r， 中，，即， 中，，即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 3．如图，为的外接圆，为的直径，点D为的中点，连接． (1)求证：． (2)设交于点E，若，，．求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再根据垂径定理的推论可得垂直平分，然后根据平行线的判定即可得证； （2）设的半径为，从而可得，再根据垂径定理的推论可得，然后在中，利用勾股定理可得的值，求出的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， ∵点D为的中点， ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， ， ， ∵点D为的中点， ∴， ， 在中，，即， 解得， ， 又， ， ， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键． 第三部分 跟踪训练 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为 5 ，那么 x轴与的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 2．已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 5．如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 6．设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 7．如图，中，，以为直径作半圆分别与边、交于D、E，则（　　） A． B． C． D． 8．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 二、填空题 9．已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 10．一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 11．如图，内接于，是直径，若，则 ． 12．如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    13．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是 ． 15．在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    16．如图示，半圆的直径，弦，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上，则折痕的长为 ． 三、解答题 17．如图，为的直径，，垂足为点E．若的半径为5．的长为8，求线段的长． 18．如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离． 20．如图，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若圆心到弦的距离为2，，求图中阴影部分的面积（结果保留） 21．如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为3，，求的长． 22．已知是的内接三角形，的平分线交于点．    (1)如图①，若是的直径，，求的长； (2)如图②，连接，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D C A D A 1．B 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．欲求与x轴的位置关系，关键是求出点A到x轴的距离d再与的半径5比较大小即可． 【详解】解：在直角坐标系内，以为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为， ∵， ∴， ∴与x轴的相离． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的侧面积． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 5．C 【分析】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．根据垂径定理得出，证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图，设线段，交于点E， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 6．A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查了圆周角定理的理解，直径所对的圆周角是直角，连接，得，结合直角三角形两锐角互余由，进行解决即可． 【详解】解：连接，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 9．1 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等；  在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等的知识是解题的关键． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等，故原命题是假命题，不符合题意； ②等弧：能完全重合的弧， ∴等弧所对的弦相等，故原命题是是真命题，符合题意； ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的弧相等，故原命题是假命题，不符合题意； 故答案为：1 ． 10． 【分析】本题考查的知识点是弧长公式以及扇形的面积公式．先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：， ∴扇形的面积， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 12．10 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故答案为：10． 13．/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】如图，连接、、、，根据勾股定理的逆定理确定，即的度数为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据题意得，即，推出当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：，进一步得出点为的中点，如图，根据弧的度数的意义确定，证明为等边三角形，得到，由等腰三角形三线合一得，求出，，再代入即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵每个小正方形的边长为，点为弧的三等分点（靠近点）， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即的度数为， ∴是直角三角形， ∵点为的中点，， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点，点为的中点， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：， 此时点为的中点，如图， ∵点为弧的三等分点（靠近点），的度数为， ∴的度数为：，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规律图形的面积，考查了勾股定理及逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，弧的度数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点．确定点、、三点共线时求出的最小值是解题的关键． 15．2 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    16． 【分析】连接、、、记交于点，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用等腰三角形性质、对称的性质、以及平行线性质和判定得到于点，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，进而得到，再利用勾股定理得到，进而得到． 【详解】解：连接、、、记交于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， 半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线性质和判定，轴对称性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 17． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证； （2）连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：，， 故的半径为． 19．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据证明即可； （2）由（1）得：，则，又由可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，即的度数为． （3）分两种情况：①当时，可得是等边三角形，则中，，，则可得，，则；②当时，可得． 【详解】（1）解：在和中， ，，， ． （2）解：由（1）得：， ， ， ， 在中，， 即， ， ， ∴的度数为． （3）解：①当时，如图： ，， ， ， 是等边三角形， 在中，，， ， ， ． ②当时，如图： 是等腰直角三角形， ． 综上，或． 【点睛】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理，弧的度数等于它所对圆心角的度数等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是发现并证明三角形全等，掌握直角三角形的性质和理解“弧的度数等于它所对圆心角的度数”． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由，，可得，，又为切线，可知，可得为切线； （2）过点作，垂足为，由及，求出半径，进而求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 是的直径，是的切线， ， ， 又为半径， 为的切线； （2）解：过点作，垂足为， ， ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ． 21．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）证法一：连接，得到，因为，所以；证法二：连接，可得，则，根据，可得，即可得到结果； （2）连接，根据角度间的关系可以证得为直角三角形，根据勾股定理可得边的长，进而求得结果． 【详解】（1）证法一：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 证法二：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键． 22．(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，进而由角平分线的定义得，即得到，再根据勾股定理即可求解； （）由圆周角定理可得，即得，得到，又由圆周角定理得，，等量代换即可求证； 本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴；    （2）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$