湖北省崇阳县第一中学2024-2025学年高二上学期数学周测试题（三）

· 崇阳一中高二上学期数学周测试题（三） (时间：120分钟　满分：150分) 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 若为纯虚数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：    ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 3. 在中，，，，则的面积为（    ） A．24 B．18 C．12 D．9 4. 在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 5. 下列说法不正确的是（   ） A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B．用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D．若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 7. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 8. 已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9. 在下列关于概率的命题中，不正确的是（    ） A．若事件、满足，则、为对立事件 B．若三个事件、、两两独立，则 C．若事件、满足，，，则、相互独立 D．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 11. 如图，在矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，若点为线段的中点，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B． C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正切值为 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 12. 已知，，点关于平面的对称点为，则长度为 . 13. 如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向 航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处， 发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为 海里. 14. 如图，在四边形中，，， ，，，求四边形绕直线 旋转一周所成几何体的表面积为 . 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15. (13分)已知空间中三点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； 16. (15分)如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)若，，求四棱锥的体积． 17. (15分)如图，在直三棱柱中，，，棱，N为的中点. (1)求； (2)求直线与所成角的余弦值. 18. (17分)在中，． (1)求； (2)若的面积是，求的最小值． 19. (17分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 崇阳一中高二上学期数学周测试题（三）参考答案： 1．B【详解】且，得，故．故选：B. 2．A【详解】满足题意的有：，，共个，所以概率.故选：A. 3．C【详解】，，，又，，．故选：C． 4．C【详解】连接， 则∥，可知异面直线与所成的角为（或其补角），由正方体可知，即为正三角形，可知， 5．C【详解】这11个数据的平均数是，故A正确； 20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则每个个体抽到的概率为， B正确； 数据4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8，∵6×60%＝3.6，∴这组数据的60%分位数为第4个数 5，故C错误； 数据，，…，的平均数为，故D正确.故选：C. 6．C【详解】对于A，，所以共面，故A错误； 对于B，，所以共面，故B错误； 对于C，假设共面，则存在，使得，则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，所以不共面，故C正确； 对于D，，所以共面，故D错误.故选：C. 7．C【详解】因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球，故正方体的棱长为，外接球半径为， 所以.故选：C. 8．D【详解】因为，所以，即，得，则在方向上的投影向量为. 9．ABD【详解】对于A选项，若事件、不互斥，但是恰好，满足，但是、不是对立事件．故A错误；对于B选项，若三个事件、、相互独立，则故B错误； 对于C选项，因为，所以、相互独立，故C正确； 对于D选项，若事件与是互斥事件，不妨设与对立，则，此时，与是同一事件，故D错误．故选：ABD. 10．BC【详解】A：，，向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选：BC. 11．ACD【详解】选项A，取的中点，连接，，则，， 因为矩形，且是的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，即选项A正确； 选项B，取的中点，连接，，因为，所以， 若，由于，、平面，则平面， 因为平面，所以，而是的中点，则，显然不成立， 所以不成立，即选项B错误； 选项C，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即点到平面的距离为， 而，， 设点到平面的距离为，因为， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离为，即选项C正确； 选项D，因为平面，所以与平面所成角即为， 在中，，，， 由余弦定理知，， 所以，在中，， 所以与平面所成角的正切值为，即选项D正确．故选：ACD． 12．【详解】由题意知点关于平面的对称点，由两点间距离公式知故答案为： 13．【详解】，，，渔船以海里/时的速度航行，所以海里，由正弦定理可得，即，得海里 14．【详解】作，，E，F为垂足， 因为，所以，因为，所以，， 故，又，，故， ，由勾股定理得， 四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分， 以为半径的圆的面积，以为母线和为半径的圆锥的侧面积，以为母线的圆台的侧面积 所以该几何体的表面积为.故答案为： 15． 【详解】解：（1）空间中三点，，，设，， 所以，， ，，且，设 ，， ，或． （2）， 且向量与互相垂直，，解得．的值是． 16． 【详解】（1）分别为的中点，连接， 又E为PD的中点，则有且，由已知，， 所以，，四边形为平行四边形，有， 为正三角形，，则， 又，平面，，所以平面PAD； （2），则有，又， 平面，，所以平面，平面，则， 为的中点，有，平面，，所以平面， 即是四棱锥的高，，则， 得四棱锥的体积. 17． 【详解】（1）因为，，所以， . （2）， 因为为直棱柱，所以，， 所以，，设直线与直线所成角为， 所则. 18． 【详解】（1），用余弦定理得到，，化简得到，则，,则. （2）由于,． 由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 19． 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，则，解得． （2）由题可知，成绩位于区间和的问卷比例为， 所以在区间抽取5份，设成绩分别为，则区间抽取2份，设成绩分别为，所以从这7份中随机抽取两份的样本空间为： ， 设“抽取两份答卷的成绩都落在”， 则，所以． （3）因为落在与的频率比为， 所以，． 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$