微专题 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

微专题10　半倍角模型——截长补短法 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 基本图形一　半45°倍90° 1．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，过点C作NC⊥AC交AN于点N，过点B作BM⊥AB交AM于点M，连接MN. (1)如图1，当∠MAN在∠BAC内部时．求证：BM＋CN＝MN. (2)如图2，当AM，AN在AC的两侧时，直接写出BM，CN，MN之间的数量关系． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图，延长MB至点G，使BG＝CN，连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS)， ∴AG＝AN，∠BAG＝∠CAN. ∵∠GAM＝∠BAG＋∠BAM＝∠CAN＋∠BAM＝45°＝∠MAN，证△AMN≌△AMG(SAS)， ∴MN＝MG＝BM＋BG＝BM＋CN. (2)MN＝BM－CN. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 基本图形二　半60°倍120° 2．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E为AB上一点，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°.求证：DE－AD＝BE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：延长EB至点F，使BF＝AD，连接CF，易证△CBF≌ △CAD(SAS)， △CED≌△CEF(SAS)， ∴DE－AD＝FE－BF＝BE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 基本图形三　半α倍2α 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，延长FD至点G，使DG＝BE，连接AG. 证△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE＝AG， ∠BAE＝∠DAG. ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋ ∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF. 证△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF＝GF. ∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋DF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD.求证：EF＝BE＋DF. ∵∠EAF＝∠BAD， $$微专题11　一线三等角模型(一) 三垂直图形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 基本模型：如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，B在同一条直线上，DC＝CE，则△ADC≌△BCE； 如图2，∠A＝∠EBC＝∠DCE＝90°，点A，C，B在同一条直线上，CD＝CE，则△ADC≌△BCE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，C(0,2)，A(3,0)，AB⊥AC，且AB＝AC，求点B的坐标． 解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E. 证△AOC≌△BEA(AAS)， ∴OA＝BE＝3，OC＝AE＝2， ∴点B的坐标是(5,3)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝3，BC＝5，过点A作AE⊥AB，且AE＝AB，连接DE，求△ADE的面积． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，过点B作BM⊥AD交DA的延长线于点M，过点E作EN⊥AD交AD的延长线于点N， ∴∠AMB＝∠ENA＝90°. ∵AE⊥AB，∴∠BAM＋∠EAN＝90°. 又∵∠BAM＋∠ABM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAN. 又∵AB＝AE，∴△ABM≌△EAN(AAS)， ∴AM＝EN. ∵AD＝3，DM＝BC＝5， ∴AM＝5－3＝2，∴EN＝2， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：△ADC与△CEB全等．理由如下： 根据题意，可知AC＝CB， ∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°. 在Rt△ADC中，∠CAD＋∠ACD＝90°. 又∵∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE. ∴△ADC≌△CEB(AAS)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∴S△ADE＝AD·EN＝×3×2＝3. 在△ADC与△CEB中， $$微专题12　一线三等角模型(二) 一般情形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 基本模型：如图1，∠D＝∠BAC＝∠E，AB＝AC，则△ADB ≌△CEA； 如图2，∠BAC＝∠BDF＝∠CEF，AB＝AC，则△ADB≌ △CEA. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，点E，A，D在同一条直线上，AB＝AC，∠AEC＝∠ADB＝∠BAC＝60°.求证：DE＝DB＋CE. 证明：证△ADB≌△CEA(AAS)． ∴DB＝EA，AD＝CE. ∵DE＝EA＋AD， ∴DE＝DB＋CE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E为AD上两点，∠ADB＝∠AEC＝120°，探究BD，CE与DE之间的数量关系. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：CE＝BD＋DE.理由如下： 在△ABD中，∠ADB＝120°， ∴∠ABD＋∠BAD＝180°－120°＝60°. ∵∠BAD＋∠CAE＝∠BAC＝60°， ∴∠ABD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴△ABD≌△CAE(AAS)， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴AD＝AE＋DE＝BD＋DE， 即CE＝BD＋DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E为AD上两点，∠ADB＝∠AEC＝120°，BD＝2，CE＝4.5，求DE的长． 解：证△ABD≌△CAE(AAS)， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD－AE＝CE－BD＝4．5－2＝2.5. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：证△AEC≌△BDA(AAS)， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点F在边BC上，CF＝2BF，点D，E在线段AF上，∠1＝∠2＝∠BAC，求的值． ∴S△AEC＋S△BDF＝S△BDA＋S△BDF＝S△ABF＝S△ABC， ∴＝. $$微专题13　轴对称作图 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1．如图，△ABC在8×8的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形． (1)画出△ABC关于AB的轴对称图形，使点C的对称点为点D，连接CD. (2)直接写出△ADC的面积为______. 6 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△ABD与△ABC关于AB成轴对称，点D即为所求． 故答案为6. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．已知△ABC在如图所示的方格中． (1)作出△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1. (2)写出△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？ (3)在图上标出C1平移的方向并测出平移的距离(精确到0.1 cm)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)由图可得，先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度可以得到△A2B2C2. (3)如图所示，C1C2即为平移方向，测量距离略． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A(－2,1)，B(－4,5)，C(－5,2)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1. (2)写出点A1，B1，C1 的坐标． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求． (2)点A1，B1，C1 的坐标分别为A1(2,1)，B1(4,5)，C1(5,2)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．若点C(－2，－3)关于x轴的对称点为点A，关于y轴的对称点为点B. (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积． (2)将△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△ABC即为所求， (2)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1，B1，C1的坐标分别为A1(2，5)，B1(6，－1)，C1(2，－1)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)S△ADC＝S△DBC－2S△ABC＝×6×6－2××6×2＝6， △ABC的面积为×6×4＝12. $$微专题14　线段的垂直平分线 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　线段的垂直平分线的性质 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，连接BE.若△ABC与△EBC的周长分别是40和24，求AB的长． 解：设AB＝x，BC＝y， ∴x＝16，∴AB＝16. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　线段的垂直平分线的判定 2．如图，AD与BC相交于点O，连接AB，CD，BD，点E是BD下方一点，连接OE，BE，DE.若OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：在△AOB与△COD中， ∴△AOB≌△COD(ASA)， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上． ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　线段的垂直平分线在实际问题中的应用 3．如图，AO，BO是互相垂直的墙壁，墙脚O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处有一只老鼠正向洞口逃去．若猫以与老鼠同样的速度去追捕，请在图中找出最快能截住老鼠的位置C(保留作图痕迹)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，连接AB，作DE垂直平分AB交AB于点D，交OB于点C，连接AC，则AC＝BC，因此点C即为所求． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化四　线段的垂直平分线的综合应用 4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，边 BC 的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E，连接BD，求∠ADB的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC＋∠C＝180°－60°＝120°. 又∵∠ABC＝2∠C， ∴3∠C＝120°， ∴∠C＝40°. ∵边BC的垂直平分线交边AC于点D， ∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝40°， ∴∠ABD＝40°， ∴∠ADB＝180°－60°－40°＝80°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 则 $$微专题15　巧用“三线合一”解题 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 方法技巧一　遇等腰→作高 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC的外部，∠ABD＝∠C，∠D＝90°.求证：BC＝2BD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，过A作AE⊥BC于点E. ∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠ABC＝∠ACB，∠AEB＝∠AEC＝90°. ∵∠ABD＝∠C，∠D＝90°， ∴∠D＝∠AEB＝90°，∠ABD＝∠ABE. ∵AB＝AB， ∴△ABD≌△ABE， ∴BD＝BE， ∴BC＝2BD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交BA的延长线于点D，试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， 则∠BAE＝∠CAE. ∵∠BAE＋∠B＝∠BCD＋∠B＝90°， ∴∠BAE＝∠BCD， ∴∠BAC＝2∠BCD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，点D，E分别在CA的延长线和AB上，AB＝AC，DE⊥BC.求证：AD＝AE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F，延长DE交BC于点G. ∵AB＝AC， ∴∠BAF＝∠CAF. ∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴DE∥AF， ∴∠BAF＝∠AED，∠CAF＝∠D， ∴∠AED＝∠D，∴AD＝AE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧二　遇底边中点→连接底边上的中线 4．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为边AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE＝CF，求∠OEF的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，连接OC，OF. 证△AEO≌△CFO(SAS)， △OEF为等腰直角三角形， ∴∠OEF＝45°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)求证：DE＝DF. (2)若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：连接AD. ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. (2)∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°. ∵∠BDE＝55°，∴∠B＝35°. ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝35°， ∴∠BAC＝110°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） $$微专题16　构造等腰三角形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 方法技巧一　作平行线构造等腰三角形 (一)利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，连接AD. 则AD⊥BC，易证DE＝AE， 再证BE＝DE， 创新作业本·数学八年级上（人教版） (二)作腰的平行线构造等腰三角形 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边AB上，点F在AC的延长线上，且BE＝CF，EF交BC于点N，EM⊥BC于点M. (1)求证：EN＝NF. (2)若∠B＝45°，求证：BN＝CN＋2EM. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)如图，过点E作EG∥AC交BC于点G. 证△ENG≌△FNC(AAS)， ∴EN＝NF. (2)证BM＝MG，GN＝CN， 可得BN＝CN＋2BM. 又∵∠B＝45°，∴BM＝EM， ∴BN＝CN＋2EM. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (三)作底边的平行线构造等腰三角形 3．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在边AC的延长线上，点E在边BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，过点D作DM∥AB交BC的延长线于点M. 易证∠CDM＋∠CDE＝∠MDE＝90°， ∴DE⊥DM. 又∵DM∥AB， ∴DE⊥AB. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (四)中线倍长得平行线构造等腰三角形 4．如图，在△ABC中，AD为中线，点E为边AB上一点，AD，CE相交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG. 证△ABD≌△GCD(SAS)， ∴AB＝CG， 再证∠G＝∠EAF＝∠EFA＝∠GFC， ∴CG＝CF， ∴AB＝CF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧二　利用倍半角关系构造等腰三角形 (一)作二倍角的平分线构造等腰三角形 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，AC＝2BC.求证：∠B＝90°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，作∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE⊥ AC于点E. 证CD＝AD， AE＝CE＝BC，△BCD≌△ECD即可． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (二)延长二倍角的一边构造等腰三角形 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交边AB于点D.求证：AC＋AD＝BC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长CA至点E，使EA＝AD， 连接DE. 证∠E＝∠ADE＝∠B， 再证△CDE≌△CDB(AAS)即可． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧三　截长补短法构造等腰三角形 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：方法一(截长法)：如图，在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE. 则CE＝AB＝AE， ∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C. ∵∠BAC＝135°，∴180°－3∠C＝135°， ∴∠C＝15°； 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法二(补短法)：如图，延长DB至点F， 使BF＝AB. 则AB＋BD＝DF＝CD， ∴180°－3∠C＝135°，∴∠C＝15°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长BC至点D，使CD＝AC. 可证∠B＝∠D， AB＝AD. ∵AB＋AD>BC＋CD， ∴2AB>BC＋AC， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，DE∥AC.求证：DE＝AC. ∴DE＝AB＝AC. ∴AF＝AC，∠C＝∠F＝∠ABC， 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B.求证：AB>(BC＋AC)． ∴AB>(BC＋AC)． $$微专题17　数学思想与等腰三角形中的求角 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 思想方法一　方程的思想 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数． 解：易证∠ADC＝90°. 设∠CDE＝x， 则∠ADE＝∠AED＝x＋50°， ∴x＋(x＋50°)＝90°， ∴x＝20°， ∴∠CDE＝20°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝DA＝AC，∠BAC＝72°.求∠CAD的度数． 解：设∠B＝∠BAD＝x， 则∠ADC＝∠C＝2x， ∠B＋∠C＝3x. ∵3x＋72°＝180°， ∴x＝36°， ∴∠CAD＝180°－4x＝180°－144°＝36°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于点D. (1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝75°，求∠DAE的度数． (2)如图2，若DF⊥AD交AB于点F，求证：BF＝DF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)∵∠C＝3∠B，∠C＝75°， ∴∠B＝25°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝65°. ∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－65°＝25°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－4α. ∵DF⊥AD， ∴∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝90°－∠BAD＝2α. ∵∠AFD＝∠B＋∠BDF， ∴∠BDF＝α＝∠B， ∴BF＝DF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 思想方法二　整体的思想 4．如图，点E，F分别在△ABC的边AB，AC上，DE＝DB，DC＝DF.若∠A＝α，求∠EDF的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：设∠B＝x＝∠DEB， ∠C＝∠DFC＝y， 则∠EDF＝180°－[(180°－2x)＋(180°－2y)] ＝2x＋2y－180°. 又∵x＋y＝180°－∠A＝180°－α， ∴∠EDF＝180°－2α. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 思想方法三　分类讨论的思想 (一)顶角底角不明时需讨论 5．等腰三角形的一个角比另一个角大30°，求该等腰三角形的顶角的度数． 解：①较大的角为顶角，设这个角为x， 则 x＋2(x－30°)＝180°，x＝80°； ②较大的角为底角，设顶角为y， 则 y＋2(y＋30°)＝180°，y＝40°， 综上所述，该等腰三角形的顶角为80°或40°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．等腰三角形的一个角是80°，求它的另外两个角的度数． 则另外两个角分别是50°和50°； ②若底角是80°，则顶角为180°－80°－80°＝20°， 则另外两个角分别是80°和20°， 综上所述，另外两个角是50°和50°或80°和20°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (二)涉及高时常需讨论 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形的顶角的度数． 解：如图， 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD为边AC上的高，由题意知∠ABD＝50°,则∠A＝40°，即等腰三角形的顶角为40°. 以上解法错在哪里？请你写出正确的解答过程． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：错在当为钝角三角形时没有求解． ①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示． ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°－50°＝40°， ∴该等腰三角形的顶角为40°； 创新作业本·数学八年级上（人教版） ②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示． ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠BAD＝90°－50°＝40°. ∵∠BAD＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝140°， ∴该等腰三角形的顶角为140°. 综上所述，该等腰三角形的顶角为40°或140°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (三)动点引起的分类讨论 8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°. (1)如图，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝CE，BE与CD交于点F.求证：BF＝CF. (2)若点D是边AB上的一个动点，点E是边AC上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 在△BCD与△CBE中， ∴△BCD≌△CBE(SAS)， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴BF＝CF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)∵AB＝AC，∠BAC＝45°， 由(1)知∠FBC＝∠FCB， ∴∠DBF＝∠ECF. 设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝(67.5°－x)，∠BDF＝∠ECF＋∠BAC＝x＋45°， ∠DFB＝2∠FBC＝2(67.5°－x)＝135°－2x. ∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论： 创新作业本·数学八年级上（人教版） ①当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB， ∴x＋45°＝135°－2x，得x＝30°， 即∠FBD＝30°； ②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB， ∴x＝135°－2x，得x＝45°， 即∠FBD＝45°； ③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB， ∴x＝x＋45°，不符题意，舍去． 综上所述，∠FBD＝30°或45°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∴∠BAD＝∠BAC＝40°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC. 解：①若顶角是80°，则底角为(180°－80°)＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝67.5°. $$微专题18　作平行线构造等边三角形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 基本模型：如图，若DE∥BC，△ABC是等边三角形，则△ADE也是等边三角形． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，点E是边BC的延长线上一点，DE交AC于点F，DF＝EF.求证：AD＝CE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，构造等边三角形ADG. 证△CEF≌△GDF(ASA)， ∴CE＝GD＝AD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．【变式体验】(人教八数上P93复习题13T13)如图，△ABC是等边三角形，点D是边AC上一点，延长BC至点E，使CE＝AD.求证：DB＝DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：方法一：如图1，过点D作DF∥BC交AB于点F. 证△BDF≌△DEC， ∴∠FDB＝∠CED. ∵DF∥BC， ∴∠FDB＝∠DBE＝∠CED， ∴DB＝DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法二：如图2，过点D作DG∥AB交BC于点G，先由△DCG是等边三角形得CD＝CG. 又∵AC＝BC，∴AD＝BG，再证△DBG≌△DEC即可． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且△ADE是等边三角形，CE＝AB.求证：CB＝CD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F. ∵△ADE为等边三角形， ∴△ABF为等边三角形， ∴∠DEC＝∠CFB＝120°， AB＝AF＝BF. ∵CE＝AB， ∴AF＝BF＝AB＝CE，∴DE＝AE＝CF， ∴△FCB≌△EDC(SAS)，∴CB＝CD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，等边三角形ABC的边长为1，过AB上一点P，作PE⊥AC于点E，点Q为BC的延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，求DE的长． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，过点P作PF∥BC交边AC于点F. ∵PF∥BC， △ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD， △APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF. ∵PE⊥AC，∴AE＝EF. ∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 在△PFD和△QCD中， ∴△PFD≌△QCD(AAS)， ∴FD＝CD. ∵AE＝EF，∴EF＋FD＝AE＋CD， ∴AE＋CD＝DE＝AC. ∵AC＝1，∴DE＝. $$微专题19　巧用含30°角的直角三角形解题 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 方法技巧一　直接利用含30°角的直角三角形的性质求长度或比值 30° 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F. (1)∠D＝__________. (2)若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为________. 30° 10 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧二　构造含30°角的直角三角形 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点D为边BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，连接AD. 在△ABC中， ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°. ∵点D为边BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. 在Rt△AED中，AD＝2AE＝4， 在Rt△ADC中，AC＝2AD＝8， ∴CE＝AC－AE＝8－2＝6. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AC于点E，AB的垂直平分线FH交边AB于点F，交边AC于点H. (1)∠A的度数是__________. 解：(2)如图，连接BH，BE. ∵CE＝BE， 15° 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧三　作垂线构造含30°角的直角三角形 5．如图，AD是△ABC的中线，AD⊥AB，∠DAC＝30°，AC＝10，求AB的长． 解：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E. 证△ABD≌△ECD(AAS)， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D是边AB上一点，且∠ACD＝20°，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，则∠ABF的度数是__________，的值是______. ∴AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝60°. (2)求的值． BE＝BH，BH＝AH，∴＝. ∴AB＝CE＝AC＝5. $$微专题1　三角形的三边关系 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　利用三边关系判断能否组成三角形 1．已知下列四组三条线段的长度比，则能组成三角形的是(　 　) A．1∶2∶3 B．1∶1∶2 C．1∶3∶4 D．2∶3∶4 2．长度分别为8,6,6,4的四根木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边的长为(　 　) A．8 B．10 C．12 D．14 D B 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　利用三边关系求边长、周长或取值范围 A．5 B．6 C．7 D．8 4．三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是(　 　) A．6<l<15 B．6<l<16 C．11<l<13 D．10<l<16 A D 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则边AB的长的取值范围是(　 　) A．1 cm<AB<4 cm B．5 cm<AB<10 cm C．4 cm<AB<8 cm D．4 cm<AB<10 cm 6．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边的长为奇数，则第三边的长为______. 7．若三角形的三边长分别为4,1－2a,7，则a的取值范围是__________________. B 5 －5<a<－1 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．【变式体验】(人教八数上P8习题11.1T7)在△ABC中，AB＝2 cm，AC＝9 cm. (1)求第三边BC的长的取值范围． (2)若第三边BC的长是偶数，求BC的长． (3)若△ABC是等腰三角形，求其周长． 解：(1)7 cm<BC<11 cm. (2)BC的长是8 cm或10 cm. (3)若△ABC是等腰三角形，则BC＝9 cm， ∴△ABC的周长为2＋9＋9＝20(cm)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　利用三边关系化简 9．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，化简：|a＋b－c|－2|a－b－c|＋|a＋b＋c|. 解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 则a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a＋b＋c＞0， ∴|a＋b－c|－2|a－b－c|＋|a＋b＋c|＝a＋b－c＋2a－2b－2c＋a＋b＋c＝4a－2c. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋＝0，则c的值可以是(　 　) $$微专题20　幂的运算法则 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　正用幂的运算法则 (一)运用法则计算 1．计算： (1)a2·a5＋a·a3·a3. 解：2a7. (2)t3·t4·t＋(t2)4＋(2t4)2. 解：6t8. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ＝2x4y5. (4)(－3a2)3＋(－4a3)2. 解：－11a6. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (二)运用法则求值 2．已知8×2m×16m＝213，求m的值． 解：3＋m＋4m＝13，∴m＝2. 3．已知xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y4－n＝y5，求m，n的值． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　逆用幂的运算法则 (一)逆用法则简便计算 4．计算： (2)0.255×(－4)6. 解：4. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (二)逆用法则求值 5．已知10a＝4,10b＝3. (1)求102a＋103b的值． (2)求102a＋3b的值． 解：(1)原式＝(10a)2＋(10b)3＝42＋33＝16＋27＝43. (2)原式＝102a·103b＝(10a)2·(10b)3＝42×33＝432. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　综合运用幂的运算法则 6．已知a＝814，b＝(28)5，c＝647，试比较a，b，c的大小． 解：a＝814＝242，b＝(28)5＝240，c＝647＝(26)7＝242， ∴a＝c>b. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (3)(－2xy)2. 解：原式＝4x2y2·x2y3 解：由得 (1)2 023×2 024. 解：－. $$微专题21　整式的乘法 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　利用整式的乘法法则解方程或不等式 1．解方程：(x－3)(x－2)＋18＝(x＋9)(x＋1)． 解：去括号，得x2－5x＋6＋18＝x2＋10x＋9， 移项、合并同类项，得15x＝15， 解得x＝1. 2．解不等式：(3x＋4)(3x－4)＜9(x－2)(x＋3)． 解：去括号，得9x2－16＜9x2＋9x－54， 移项、合并同类项，得9x＞38， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　利用整式的乘法法则化简求值 3．若x＋y＝3，(x＋2)(y＋2)＝12. (1)求xy的值． (2)求(x＋5)(y＋5)的值． 解：(1)2. (2)42. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　利用整式的乘法法则进行证明 4．求证：对于任意的正整数n，式子n(n＋7)－(n＋3)(n－2)的值必是6的倍数． 证明：∵n(n＋7)－(n＋3)(n－2)＝6n＋6＝6(n＋1)， n为正整数， ∴原式必是6的倍数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．观察下列等式： (x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1； (x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27； (x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216. (1)按以上等式的规律填空： (a＋b)(____________________)＝a3＋b3. (2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立． (3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)． a2－ab＋b2 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3. (3)原式＝x3＋y3－x3－8y3＝－7y3. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化四　利用整式的乘法求待定系数的值 6．甲、乙两人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)·(3x＋b)，甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；乙抄漏了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.请计算出a，b的值各是多少？并写出这道整式乘法的正确结果． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：∵甲得到的算式：(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2＋11x－10.由对应系数相等，得2b－3a＝11，ab＝10. 乙得到的算式：(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(2b＋a)x＋ab＝2x2－9x＋10.由对应系数相等， 得2b＋a＝－9，ab＝10. ∴原式＝(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解得x＞. ∴解得 $$微专题22　整式的除法 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　同底数幂相除 1．计算： (1)x10÷x4. 解：x6. (2)(－xy)6÷(－xy)2÷(－xy)3. 解：－xy. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．已知am＝2，an＝4，ak＝32(a≠0)． (1)求a3m＋2n－k的值． (2)求k－3m－n的值． 解：(1)∵a3m＝23，a2n＝42＝24，ak＝32＝25， ∴a3m＋2n－k＝a3m·a2n÷ak ＝23·24÷25＝23＋4－5 ＝22＝4. (2)∵ak－3m－n＝25÷23÷22＝20＝1＝a0， ∴k－3m－n＝0， 即k－3m－n的值是0. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　单项式的除法 3．计算： (3)3a·(－2b)2÷6ab. 解：2b. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　多项式除以单项式 4．计算： (1)(9x2－12x3)÷9x2. (2)(4a3b－6a2b2＋12ab3)÷2ab. 解：(4a3b－6a2b2＋12ab3)÷2ab ＝2a2－3ab＋6b2. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化四　化简求值 5．先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 023，y＝2 024. 解：原式＝x－y＝－1. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化五　整体思想 6．已知2a－8b－5＝0，求[b(a－3b)－a(3a＋2b)＋(3a－b)(2a－3b)]÷(－3a)的值． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：－a2x. (1)a3b2c÷a2b. 解：abc. (2)a3x3÷. 解：1－x. 解：原式＝4b－a＝－(2a－8b)＝－. $$微专题23　乘法公式探究 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1．【变式体验】(人教八数上P112习题14.2T7) 已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝19. 2．【变式体验】(人教八数上P112习题14.2T7) 已知a＋b＝1，ab＝－3，求(a－b)2的值． 解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝13. 3．【变式体验】(人教八数上P112习题14.2T7) 已知a－b＝5，ab＝1，求a2＋b2与(a＋b)2的值． 解：a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝27， (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝29. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．已知a－b＝1，a2＋b2＝4，求ab与(a＋b)2的值． (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝7. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，求m2＋n2与mn的值． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．已知实数m，n满足m＋n＝6，mn＝－3. (1)求(m－2)(n－2)的值． (2)求m2＋n2的值． 解：(1)∵m＋n＝6，mn＝－3， ∴(m－2)(n－2)＝mn－2m－2n＋4＝mn－2(m＋n)＋4＝－3－2×6＋4＝－11. (2)m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝62－2×(－3)＝36＋6＝42. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．已知(x＋y)2＝25，xy＝，求x2＋y2的值． 解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝. 解：ab＝＝， 解：m2＋n2＝＝5， mn＝＝－. $$微专题24　因式分解 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　用提公因式法分解因式 1．分解因式： (1)7a2－21a. 解：7a(a－3)． (2)a2b＋ab2. 解：原式＝ab(a＋b)． (3)6q(p＋q)－4p(p＋q)． 解：2(p＋q)(3q－2p)． (4)(3a＋b)(2a－3b)＋4a(b＋3a)． 解：原式＝(3a＋b)(2a－3b＋4a) ＝(3a＋b)(6a－3b) ＝3(3a＋b)(2a－b)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　用平方差公式分解因式 2．分解因式： (1)－x2＋4y2 解：原式＝(2y－x)(2y＋x)． (3)x4－81. 解：(x2＋9)(x＋3)(x－3)． (4)(2x＋y)2－(x＋2y)2. 解：原式＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)＝3(x＋y)(x－y)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　用完全平方公式分解因式 3．分解因式： (1)4a2－4a＋1. 解：(2a－1)2. (2)(x－1)(x－3)＋1. 解：原式＝x2－4x＋3＋1＝x2－4x＋4＝(x－2)2. (3)(a＋b)2－2(a＋b)＋1. 解：(a＋b－1)2. (4)(a＋b)2＋4(a＋b)＋4. 解：(a＋b＋2)2. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化四　利用因式分解化简求值 4．已知a＋b＝5，ab＝3，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：∵a＋b＝5，ab＝3， ∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2＝3×52＝75. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)a2－b2. 解：. $$微专题25　分式的基本性质 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　分式的基本性质 1．下列分式从左到右变形错误的是(　 　) C 创新作业本·数学八年级上（人教版） C 创新作业本·数学八年级上（人教版） x＋y 8b 9a2 －24ab2 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　约分 6．下列各分式约分正确的是(　 　) C 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．约分： 创新作业本·数学八年级上（人教版） (a＋3)(a－3) 3(3－a) －3(a＋3)(a－3) 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．通分： 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） A．＝ B．＝－ C．＝ D．＝ 2．下列等式：①＝－；②＝－；③＝－；④＝－.其中成立的是(　 　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 3．填空：＝＝－. 4．填空：＝＝＝. 5．不改变分式的值，把分式的分子、分母的系数化为整数，则＝______________. A．＝ B．＝a＋b C．＝1－a D．＝ 解：. (1). 　　　　 解：－.　　　 　　 (2). 重点强化三　通分 8．将分式和进行通分时，分母a2－9可因式分解为_______________，分母9－3a可因式分解为____________，则这两个分式的最简公分母是___________________. 解：，. (1)，. 解：，. (2)，. (3)，. 解：， . $$微专题26　分式的化简求值 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 创新作业本·数学八年级上（人教版） (1)化简T. (2)若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 二、先通分，再化简求值 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 三、整体代入求值 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 一、先约分，再化简求值 1．先化简，再求值：＋，其中a＝2. 解：原式＝＋＝＋＝. 当a＝2时，原式＝＝3. 2．已知T＝＋. 解：(1).(2). 3．先化简，再求值：÷，其中a＝5. 解：. 4．先化简，再求值：÷，然后选择自己喜欢的一个数代入求值． 解：原式＝÷ ＝· ＝. 当x＝1时，原式＝1.(答案不唯一) 5．先化简，再求值：÷，其中x满足(x－1)(x－3)＝1. 解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝. ∵(x－1)(x－3)＝1， ∴x2－4x＝－2， ∴原式＝＝＝＝. $$微专题27　分式的求值技巧 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 方法技巧一　设参代入求值 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧二　化简不定方程(组) 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧三　整体代入求值 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧四　取倒求值 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．已知x∶y∶z＝2∶3∶4，求的值． 解：由题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴原式＝＝. 2．已知＝＝≠0，求的值． 解：设＝＝＝k(k≠0)， 则x＝4k，y＝6k，z＝7k， ∴原式＝＝. 3．已知实数x，y，z满足且xyz≠0，求的值． 解：由得 ∴原式＝. 4．已知x2－3xy＝y2，且xy≠0，求的值． 解：∵x2－3xy＝y2，∴x2－y2＝3xy， ∴原式＝＝＝. 5．已知＋＝3，求的值． 解：∵＋＝3，∴b＋a＝3ab， ∴原式＝＝＝. 6．已知＝－1，求的值． 解：由＝－1可知x≠0， ∴＝－1， ∴x－3＋＝－1，即x＋＝2， ∴＝x2－9＋＝2－11＝22－11＝－7， ∴＝－. $$微专题28　分式方程的应用 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　工程问题 1．某地新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需要多长时间？ 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：设原来规定x个月修好这条路，则甲工程队单独施工需x个月修好这条路，乙工程队单独施工需(x＋6)个月修好这条路． 整理，得2x－24＝0， 解得x＝12， 经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意． 答：原来规定修好这条路需要12个月． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　行程问题 2．某学校组织学生去9 km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度． 解：设自行车的速度为x km/h，则公共汽车的速度为3x km/h. 经检验，x＝12是原分式方程的解， ∴3x＝36. 答：自行车的速度是12 km/h，公共汽车的速度是 36 km/h. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6 m．在绿灯亮时，小明共用11 s通过AC段，其中通过BC段时的速度是通过AB段时速度的1.2倍，求小明通过AB段时的速度． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：设小明通过AB段时的速度是x m/s. 解得x＝1. 经检验，x＝1是原分式方程的解． 答：小明通过AB段时的速度是1 m/s. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　销售问题 4．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价是多少？ 解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为(x＋13)元． 经检验，x＝117是原分式方程的解，且符合题意． 答：A商家每张餐桌的售价是117元． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲种型号手机二月份售价比一月份每台降价500元．如果卖出相同数量的甲种型号手机，那么一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元． (1)一月份的甲种型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份购进乙种型号手机销售，已知甲种型号手机每台进价为3 500元，乙种型号手机每台进价为4 000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.5万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型号手机每台售价为(x－500)元． 解得x＝4 500， 经检验，x＝4 500是原分式方程的解，且符合题意． 答：一月份甲型号手机每台售价为4 500元． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机(20－m)台． 根据题意，得 解得8≤m≤10. ∵m为正整数， ∴m＝8或9或10. ∴共有3种进货方案：甲型号8台，乙型号12台；甲型号9台，乙型号11台；甲型号10台，乙型号10台． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化四　方案问题 6．在“双十二”期间，A，B两个超市开展促销活动，活动方式如下： A超市：购物金额打九折后，若超过2 000元再优惠300元； B超市：购物金额打八折． 某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A，B两个超市的标价相同．根据两个超市的活动方式： (1)若一次性付款4 200元购买这种篮球，则在B超市购买的数量比在A超市购买的数量多5个．求这种篮球的标价． (2)学校计划购买50个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少(直接写出购买方案)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)设这种篮球的标价为x元． 经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意． 答：这种篮球的标价为50元． (2)去A超市买45个，B超市买5个. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 根据题意，得4＋＝1， 由题意，得－＝，解得x＝12. 由题意，得＋＝11， 由题意，得＝，解得x＝117. 根据题意，得＝， 由题意，得＝－5，解得x＝50. $$微专题2　三角形的高、中线 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　三角形的高的运用 运用1　与高有关的角度问题 1．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 解：当高AD在△ABC的内部时(如图1)，∠BAC＝90°. 当高AD在△ABC的外部时(如图2)，∠BAC＝50°. 综上所述，∠BAC的度数为90°或50°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 运用2　与高有关的面积问题 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC上的高BD＝4，点P为边BC上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，求PE＋PF的值． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，连接AP. ∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC， ∵AB＝AC，BD＝4，∴PE＋PF＝4. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　三角形的中线的运用 运用1　与中线有关的线段问题 3．如图，BE＝EC，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，求△ABC的周长． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：∵△AEC的周长为24， ∴AE＋EC＋AC＝24. ∵EB＝EC， ∴AE＋EB＋AC＝AB＋AC＝24. ∵BD＝CD＝8， ∴BC＝16， ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 运用2　与中线有关的面积问题 4．(1)如图1，AD是△ABC的一条中线.求证：S△ABD＝S△ACD. (2)请运用第(1)题的结论解答下列问题：如图2，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G.若S△ABC＝60，求图中阴影部分的面积． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：如图1，过点A作AM⊥BC交BC于点M. ∴S△ABD＝S△ACD. (2)∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G， ∴S△CGE＝S△AGE＝S△AGF＝S△BGF＝S△BDG＝S△CDG. ∴S阴影＝S△CGE＋S△BGF＝20. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∴AB·PF＋AC·PE＝AC·BD. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC. ∵S△ABD＝BD·AM，S△ACD＝CD·AM， ∵S△ABC＝60，∴S△CGE＝S△BGF＝×60＝10， $$微专题3　常用角度转换模型 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 【模型1】　蝶形(8字形) 1．如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，DE，AC相交于点F，∠ABD＝25°，∠C＝∠E，求∠EFC的度数． 解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠CBE＝∠ABD＝25°. ∵∠C＝∠E， ∴∠EFC＝∠CBE＝25°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 解：如图，连接BE，则∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB. ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠AED＝∠ABE＋∠AEB＋∠A＝180°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型2】　燕尾形 3．如图，求证：∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长BD交AC于点E. ∵∠A＋∠B＝∠BEC， ∠BDC＝∠BEC＋∠C， ∴∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，PB平分∠ABD，PC平分∠ACD，∠A＝80°，∠D＝160°，求∠P的度数． 解：设∠ABP＝∠DBP＝x， ∠ACP＝∠DCP＝y， 则∠P＝x＋y＋80°， ∠D＝x＋y＋∠P＝160°， ∴2x＋2y＋80°＝160°， ∴x＋y＝40°， ∴∠P＝40°＋80°＝120°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型3】　余角模型 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.求证： (1)∠1＝∠A. (2)∠2＝∠B. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴∠1＋∠B＝∠A＋∠B＝90°， ∴∠1＝∠A. (2)∵∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠2＝∠A＋∠B＝90°， ∴∠2＝∠B. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．如图，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点F.求证： (1)∠A＝∠C. (2)∠AFE＝∠B. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)∵AD⊥BC， CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°， ∴∠A＋∠B＝∠C＋∠B＝90°， ∴∠A＝∠C. (2)∵∠AEF＝∠ADB＝90°， ∴∠AFE＋∠A＝∠B＋∠A＝90°， ∴∠AFE＝∠B. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型4】　补角模型 7．如图，∠B＋∠D＝180°.求证：∠DCE＝∠A. 证明：∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360°， ∠B＋∠D＝180°， ∴∠A＋∠BCD＝180°. 又∵∠DCE＋∠BCD＝180°， ∴∠DCE＝∠A. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型5】　一线三等角模型 8．如图，∠ADE＝∠B＝∠C.求证： (1)∠CDE＝∠A. (2)∠ADB＝∠E. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠B， ∠ADE＝∠B， ∴∠CDE＝∠A. (2)∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝∠E＋∠C， ∠ADE＝∠C， ∴∠ADB＝∠E. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，∠CDE＝∠BAD，求∠ADE的度数． 解：∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD， ∠CDE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠B＝45°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） $$微专题4　角平分线模型 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 【模型1】　三角形两内角平分线夹角模型 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵PB平分∠ABC， PC平分∠ACB， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．在△ABC中，∠A＝60°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (1)如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数是____________. (2)如图2，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，则∠BO1C的度数是__________，∠BO2C的度数是__________. (3)如图3,∠ABC,∠ACB的n等分线交于点O1,O2,…,On－1， 则∠BO1C的度数是___________________，∠BOn－1C的度数 是______________.(均用含n的代数式表示) 120° 100° 140° 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型2】　三角形两外角平分线夹角模型 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵点P是△ABC的两条外角平分线的交点． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型3】　三角形内角平分线与外角平分线夹角模型 5．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．问题情境： 如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (1)探索发现： 若∠A＝60°，则∠O的度数为__________；若∠A＝130°，则∠O的度数为__________. (2)猜想证明： 试判断∠A与∠O的关系，并说明理由． (3)结论应用： 如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D.若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为__________. 30° 65° 25° 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠ABC. ∵∠OCD是△OBC的外角， ∴∠OCD＝∠O＋∠OBC， 创新作业本·数学八年级上（人教版） (3)如图2，延长BM，CN交于点A. ∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°， ∴∠AMN＝180°－∠BMN＝180°－130°＝50°， ∠ANM＝180°－∠CNM＝180°－100°＝80°， ∴∠A＝180°－∠AMN－∠ANM ＝180°－50°－80°＝50°， ∴∠D＝25°.故答案为25°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【拓展变式】　(设参计算＋整体思想) 7．如图，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.若∠P＝20°，∠D＝10°，求∠A的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：设∠ABP＝∠DBP＝x， ∠ACP＝∠DCP＝y. ∵∠A＋x＝∠P＋y， ∴∠A＝20°＋y－x. ∵∠P＋∠D＋x＝y， ∴20°＋10°＋x＝y， ∴y－x＝30°， ∴∠A＝20°＋30°＝50°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，点M为线段BO上的一个动点，过点M作AB的垂线交x轴于点E，点D为垂足，∠OME与∠OAB的平分线交于点N. (1)求证：∠OEM＝∠ABO. (2)求∠ANM的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：∵∠EDA＝∠EOM＝90°， ∴∠OEM＋∠EAD＝∠OAD＋∠ABO， ∴∠OEM＝∠ABO. (2)易证∠OME＝∠OAB. ∴∠NMO＝∠OAN， ∴∠ANM＝∠AOM＝90°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型4】　角平分线与高线夹角模型(设参计算＋整体思想) 创新作业本·数学八年级上（人教版） 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝70°，AE平分∠CAB，AD⊥BC于点D，DF⊥AE于点F. (1)求∠CAE的度数． (2)求∠ADF的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)∵∠C＝40°，∠B＝70°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－40°＝70°. ∵AE平分∠CAB， (2)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－40°＝50°. 由(1)得∠CAE＝35°， ∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝50°－35°＝15°. ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝90°－∠DAE＝90°－15°＝75°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型5】　蝶形(8字形)＋双角平分线(设参计算＋整体思想) 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：设∠PCD＝∠PCB＝x， ∠PAD＝∠PAB＝y， ∠P＋y＝x＋∠D①，∠P＋x＝y＋∠B②， 由①＋②得，2∠P＋x＋y＝∠B＋∠D＋x＋y， ∴2∠P＝∠B＋∠D， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型6】　燕尾形＋双角平分线(设参计算＋整体思想) 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长BP交AC于点E.设∠PBA＝∠PBD＝x，∠PCA＝∠PCD＝y， ∠BPC＝∠BEC＋y＝x＋∠A＋y， ∴x＋y＝∠BPC－∠A，同理可得 ∠D＝x＋y＋∠BPC＝2∠BPC－∠A， ∴2∠BPC＝∠A＋∠D， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．(1)如图1，∠BAC＝90°，PB，PC分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点P，求∠P的度数． (2)如图2，∠BAC＝∠BDC＝90°，直线BA，CD交于点F，直线BD，AC交于点E，PB，PC分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P，求∠P的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)∠P＝90°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．【变式体验】(人教八数上P17习题11.2T9)如图，点P是△ABC的两条内角平分线的交点．求证：∠P＝90°＋∠A. ∴∠PBC＝∠ABC， ∠PCB＝∠ACB， ∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－ (180°－∠A)＝90°＋∠A. 180°－ 60°＋ 3．如图，点P是△ABC的两条外角平分线的交点．求证：∠P＝90°－∠A. ∴∠PBC＝∠DBC＝(∠A＋∠ACB)， ∠PCB＝∠BCE＝(∠A＋∠ABC)， ∴∠PBC＋∠PCB＝(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＋∠A＝×180°＋∠A＝90°＋∠A， ∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝90°－∠A. 解：∠C＝90°－∠AOB＝90°－×90°＝45°. 解：∠P＝∠BOA＝×90°＝45°. 解：(2)猜想：∠O＝∠A.理由如下： 在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD. ∴∠O＋∠OBC＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠OBC， ∴∠O＝∠A. 由(2)得∠D＝∠A， ∵∠NMO＝∠OME，∠OAN＝∠OAB， 9．如图，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高，∠B>∠C.求证：∠DAE＝(∠B－∠C)． 证明：∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－(∠DAC＋∠C) ＝90°－ ＝90°－ ＝90°－ ＝(∠B－∠C)． ∴∠CAE＝∠BAC＝×70°＝35°. 11．如图，CP，AP分别平分∠BCD，∠BAD，且交于点P.求证：∠P＝(∠B＋∠D)． ∴∠P＝(∠B＋∠D)． 12．如图，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P.求证：∠P＝(∠A＋∠D)． ∴∠P＝(∠A＋∠D)． 解：(1)∠P＝90°＋∠A＝90°＋×90°＝135°. $$微专题5　数学思想与求角 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 【数学思想1】　整体思想 【方法指导】根据问题的结构特点，把相互关联的量看成一个整体，从宏观上寻求解决问题的思想方法． 1．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＋∠B＝140°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内．求∠1＋∠2的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－140°＝40°， ∴∠CMN＋∠CNM＝140°， ∴∠DMC＋∠DNC＝2×140°＝280°， ∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【数学思想2】　分类讨论思想 【方法指导】当题目问题或条件指待不明，存在不同情况时，则需要分类讨论，特别是有关等腰三角形或三角形的高的问题． 2．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是高，∠ABD＝20°，求∠ACB的度数． 解：∠ACB＝55°或35°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【数学思想3】　方程思想 【方法指导】当问题中的角度关系较为复杂时，可通过挖掘等量关系，设未知数，建立方程来解决． 3．如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5， 故设∠A＝3x，∠ABC＝4x，∠ACB＝5x. ∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠A＝3x＝45°. ∵BD，CE分别是边AC，AB上的高， ∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， ∴在△ABD中，∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝180°－90°－45°＝45°， ∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝45°＋90°＝135°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠DBA＝∠A. (1)求证：BD平分∠ABC. (2)求∠A的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：设∠DBA＝∠A＝x， 则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x， ∴∠CBD＝x＝∠DBA， 即BD平分∠ABC. (2)由(1)知∠A＝x， ∠ABC＝∠C＝2x. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°，∴∠A＝36°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【数学思想4】　转化思想 【方法指导】转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决． 一、借助平行转化 5．如图，AB∥ED，∠A＝20°，∠ACD＝140°，求∠D的度数． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，延长DC交AB于点F. ∵AB∥ED， ∴∠D＝∠BFC＝∠A＋∠ACF＝20°＋(180°－140°)＝60°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 二、多边形转化为三角形或四边形 6．(1)如图1，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数． (2)如图2，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)∵∠EGH＝∠A＋∠D， ∠GHC＝∠EGH＋∠E， ∴∠GHC＝∠A＋∠D＋∠E. 在四边形BCHF中， ∵∠B＋∠C＋∠GHC＋∠F＝360°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°. (2)如图2，连接CD. ∵∠F＋∠G＝180°－∠FHG，∠1＋∠2＝180°－∠CHD，∠FHG＝∠CHD， ∴∠F＋∠G＝∠1＋∠2. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 在五边形ABCDE中， ∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°， ∴∠A＋∠B＋∠BCG＋∠1＋∠2＋∠FDE＋∠E＝540°， ∴∠A＋∠B＋∠BCG＋∠FDE＋∠E＋∠F＋∠G＝540°， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） $$微专题6　证明三角形全等的基本思路 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 重点强化一　已知两边对应相等 方法1　寻找第三边对应相等，用“SSS” 1．如图，点E是AC上一点，BC＝CE，BC＋AE＝DE，AB＝CD，求证：△ABC≌△DCE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵BC＝CE，BC＋AE＝DE， ∴CE＋AE＝DE， ∴AC＝DE. 在△ABC和△DCE中， ∴△ABC≌△DCE(SSS). 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法2　寻找夹角对应相等，用“SAS” 2．【变式体验】(人教八数上P37练习T1)如图，点C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE. 求证：∠D＝∠E. 证明：证△ACD≌△CBE(SAS)， ∴∠D＝∠E. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化二　已知两角对应相等 方法1　寻找夹边对应相等，用“ASA” 3．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF． 求证：△ABC≌△DEF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE. ∵BF＝EC， ∴BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法2　寻找任一对应角的对边对应相等，用“AAS” 4．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF，AD＝10，求DF的长． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠FED， ∠BAF＝∠EDF. 又∵EF＝BF， ∴△ABF≌△DEF(AAS)， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 重点强化三　已知一边一角对应相等 方法1　有一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS” 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E，AD＝3，DE＝4，求BC的长． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：证△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE， ∴BC＝BD＝BE＋DE＝AD＋DE＝3＋4＝7. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法2　有一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS” 6．【变式体验】(人教八数上P39练习T2)如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：AF＝DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE. 证△ABF≌△DCE(SAS)， ∴AF＝DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法3　有一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA” 7．如图，点D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵DE∥AB， ∴∠CAB＝∠EDA. 在△ABC和△DAE中， ∴△ABC≌△DAE(ASA)， ∴BC＝AE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 在△ABC和△DEF中， ∴AF＝DF＝AD＝5. $$微专题7　中点模型——全等构造 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 方法技巧一　将中点处的线段倍长→构造全等三角形 基本图形1：如图，若OA＝OC，OB＝OD，则△AOB≌ △COD(SAS)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD. (2)若AB＝5，AC＝7，则AD的取值范围为_____________. 1<AD<6 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 证△ADC≌△EDB(SAS)， ∴AC＝BE. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD. (2)∵BE－AB＜AE＜BE＋AB， ∴7－5＜2AD＜7＋5，∴1＜AD＜6. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：EB＋CF＞EF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长FD至点N，使DN＝DF，连接BN，EN. 易得△CDF≌△BDN(SAS)， ∴CF＝BN. 在△BEN中，由三角形的三边关系，得EB＋BN＞EN， ∴EB＋CF＞EN. ∵DE⊥DF，DN＝DF，∴EF＝EN， ∴EB＋CF＞EF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 方法技巧二　过线段的两端点向中点处的线段作垂线→构造全等三角形 基本图形2：如图，若OA＝OB，BC⊥CD，AD⊥CD，则△AOD≌△BOC(AAS)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，A(－2,1)，C(0,2)，且点C为线段AB的中点，求点B的坐标． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E. 证△ACD≌△BCE(AAS)， ∴AD＝BE＝2，CD＝EC＝1， ∴点B的坐标是(2,3)． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，∠C＝90°，BE⊥AB，且BE＝AB，BD⊥BC，且BD＝BC，CB的延长线交ED于点F. (1)求证：DF＝EF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于点M. 先证△EMB≌△BCA(AAS)， ∴EM＝BC＝BD， 再证△DBF≌△EMF(AAS)， ∴DF＝EF. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)的值是______. (2). $$微专题8　线段和差处理——等量代换法 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 方法技巧：通过全等得到等线段，等量代换，将不在同一条直线上的几条线段转化到一条直线上来解决问题． 1．如图，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，AB＝AC，AB⊥AC.求证：DE＝BD＋CE. 证明：证△ABD≌△CAE(AAS)， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CE交于点I.求证：BC＝BE＋CD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，作∠BIC的平分线IF交BC于点F.可求得∠BIC＝120°， ∴∠BIF＝∠BIE＝60°. 证△BIE≌△BIF(ASA)， ∴BE＝BF，同理CD＝CF， ∴BF＋CF＝BE＋CD， ∴BC＝BE＋CD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，AD为△ABC的中线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F.求证： (1)DE＝DF. (2)AE＋AF＝2AD. 证明：(1)证△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF. (2)AE＋AF＝AD＋DE＋AD－DF＝2AD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，点F，E分别是△ABC的中线CD及其延长线上的点，AE∥BF.求证： (1)AE＝BF. (2)CE－CF＝2DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)∵CD是边AB上的中线， ∴AD＝BD. ∵AE∥BF， ∴∠EAD＝∠FBD. ∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE＝BF. (2)由(1)可得△ADE≌△BDF， ∴DE＝DF， ∴EF＝DE＋DF＝DE＋DE＝2DE. ∵EF＝CE－CF，∴CE－CF＝2DE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 在△ADE和△BDF中， $$微专题9　角的平分线模型探究 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 【模型一】　作垂线 (一)已知角的平分线上的点向角的两边作垂线 基本图形1：如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB； 若PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，则∠1＝∠2. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，BE是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点D，S△ABC＝30 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长． 解：DE＝2 cm. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (二)要证角的平分线向角的两边作垂线 2．如图，在△ABC中，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD.求证：AD平分∠BAC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N， 则∠BMD＝∠CND＝90°. 在△BDM和△CDN中， ∴△BDM≌△CDN(AAS)， ∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，F. ∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBF＝180°， ∴∠1＝∠PBF. 在△PAE和△PBF中， ∴△PAE≌△PBF(AAS)， ∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型二】　截长补短 基本图形2：如图，若∠1＝∠2，OA＝OB，则△OAP≌ △OBP. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接EC.求证：BC＝AB＋CE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，在BC上截取BM＝BA，连接DM. 证△BAD≌△BMD(SAS)，∴AD＝MD＝DE. 再证△CED≌△CMD(SAS)， ∴CE＝CM，∴BC＝BM＋CM＝AB＋CE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 【模型三】　角平分线＋垂线段→延长法 基本图形3：如图，若∠1＝∠2，AC⊥OC，延长AC交OB于点B，则△OCA≌△OCB. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC.若△ABC的面积为4，求△BPC的面积． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图，延长AP交BC于点D. 证△ABP≌△DBP(ASA)， ∴AP＝DP， ∴S△ABP＝S△DBP，S△APC＝S△DPC， 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，垂足为E.求证：∠ACE＝∠B＋∠ECD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长CE交AB于点F. ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠AEF＝90°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠CAE. ∴△FAE≌△CAE(ASA)， ∴∠AFC＝∠ACE. ∵∠AFC＝∠B＋∠ECD， ∴∠ACE＝∠B＋∠ECD. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2AE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO， ∴∠ABE＝∠FBE. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(ASA)， ∴AE＝FE，∴AF＝2AE. ∵∠AEB＝∠AOB＝90°， ∴∠OAF＋∠AFO＝90°， 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∠OBD＋∠AFO＝90°. ∴∠OAF＝∠OBD. 又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， ∴△AOF≌△BOD(ASA)， ∴AF＝BD， ∴BD＝2AE. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∴S△BPC＝S△ABC＝2. 在△FAE和△CAE中， $$