第十三章　轴对称 课件 2024-2025学年 人教版数学八年级上册

第十三章　轴对称 13．1　轴对称 13．1.1　轴对称 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 轴对称图形与轴对称 1．(2023·长沙)下列图形中，是轴对称图形的是(　 　) 2．下列图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是(　 　) D D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，有四个表情图形，其中，__________________是轴对称图形，______与甲成轴对称． 甲、乙、丙、丁 丁 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．判断下列图形是否是轴对称图形．若是，请画出它们的对称轴． 解：①③④⑤是轴对称图形，②不是轴对称图形．对称轴如图所示． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 轴对称的性质 5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，AA′交直线MN于点P，下列结论中不一定正确的是(　 　) A．△ABC≌△A′B′C′ B．BB′⊥MN C．AP＝A′P D．AC⊥AA′ D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD.若AC＝30 cm，则AO＝________cm，∠AOB＝__________. 15 90° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称． (1)若∠A＝30°，∠B′＝40°，则∠C的度数是____________. (2)若AC＝5，BC＝3，则A′B′的取值范围是____________________. 110° 2＜A′B′＜8 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C 落在边AB上的点E处，折痕为BD，则下列结论中错误的是(　 　) A．CD＝DE B．CE⊥DB C．∠C＝∠A＋∠ADE D．AE＋CB＝DB D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．如图，将一个长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使点C，D分别落在点C1，D1处．若∠ABC1＝50°，则∠AEB的度数是__________. 70° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．如图，在2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有______个． 4 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．如图，△ABC和△ADE关于过点A的直线l对称，AE与BC交于点M，AC与DE交于点N. (1)求证：∠BAE＝∠DAC. (2)若AC＝8，AM＝3，求NC的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，∠DAE＝∠DAC＋∠EAC， ∴∠BAE＝∠DAC. (2)证△ADN≌△ABM(AAS)， ∴AN＝AM＝3， ∴NC＝AC－AN＝5. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 12．如图，点O为△ABC内部一点，OB＝3，点P，R为点O分别以直线AB，直线BC为对称轴的对称点． (1)请指出当∠ABC的度数是多少时，会使得PR的长度等于6？并说明理由． (2)根据第(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于6还是大于6？并说明你判断的理由． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)∠ABC＝90°时，PR＝6. 理由如下：如图，连接PB，RB，OP，OR. ∵点P，R为点O分别以直线AB，直线BC为对称轴的对称点， ∴PB＝OB＝3，RB＝OB＝3. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°， ∴点P，B，R三点共线，∴PR＝2×3＝6. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)PR的长度小于6.理由如下： ∵∠ABC≠90°， ∴点P，B，R三点不在同一直线上， ∴PB＋BR＞PR. ∵PB＋BR＝2OB＝2×3＝6，∴PR＜6. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） $$第十三章　轴对称 13．1　轴对称 13．1.2　线段的垂直平分线的性质 第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 线段的垂直平分线的性质 1．已知直线AB是线段CD的垂直平分线，并且垂足为B.若AC＝5 cm，则下列结论中正确的是(　 　) A．AB＝5 cm B．BC＝5 cm C．BD＝5 cm D．AD＝5 cm D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，AC⊥BD，OB＝OD，AB＝3，CD＝5，则四边形 ABCD的周长是________. 16 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．教材P62练习1改编如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．已知BD＝3，AB＝5，则DE＝______. 8 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，AB－BC＝3，△BCD的周长为15，求AB的长． 解：∵MN为AC的垂直平分线，∴DC＝DA， ∴DC＋DB＋BC＝AD＋DB＋BC＝AB＋BC＝15. 又∵AB－BC＝3，∴AB＝9. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 线段的垂直平分线的判定 6．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则(　 　) A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定 7．已知线段AB，直线CD⊥AB于点O，AO＝OB.若点M在直线CD上，则MA＝________；若NA＝NB，则点N在____________上． D MB 直线CD 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，边BC的垂直平分线MN经过点A.求证：点A在CD的垂直平分线上． 证明：如图，连接AC，证AC＝AB＝AD即可． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．如图，AB＝AC，OB＝OC.求证：AO垂直平分BC. 证明：∵AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上． ∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，边AC的垂直平分线分别交边AC，BC于点F，G.若△AEG的周长为8，则BC的长是(　 　) A．12　　　 B．8　　　　　 C．6　　　　　 D．4 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线的交点P恰好在边AC上，且AC＝10 cm，则点B到点P的距离为____________. 5 cm 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 12．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证： (1)DE＝DF. (2)AD垂直平分EF. 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，∴DE＝DF. (2)证Rt△AED≌Rt△AFD(HL)， ∴AE＝AF，DE＝DF， 即点A在EF的垂直平分线上，点D也在EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：CF＝AD. (2)连接BE.若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在AF的垂直平分线上？请说明理由． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE. ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE. 在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)， ∴CF＝AD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上． 理由如下：∵AD＝2， ∴CF＝AD＝2. ∵BC＝6， ∴BF＝BC＋CF＝6＋2＝8. ∵AB＝8， ∴AB＝BF， ∴点B在AF的垂直平分线上． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 14．如图，在△ABC中，点D在边AC的垂直平分线上，且BD平分∠ABC，DF⊥BC于点F. (1)求证：BC－AB＝2CF. (2)连接AD，若∠ABC＝90°，求∠DAC的度数． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，连接CD，过点D作DG⊥AB于点G. 证Rt△DCF≌Rt△DAG(HL)， ∴CF＝AG. 易证BF＝BG， ∴BC－AB＝(BF＋CF)－(BG－AG)＝CF＋AG＝2CF. (2)由(1)得∠ADC＝∠GDF＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∵ $$第十三章　轴对称 13．1　轴对称 13．1.2　线段的垂直平分线的性质 第2课时　线段的垂直平分线的作法与应用 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 尺规作图作线段的垂直平分线 A．11 cm B．13 cm C．15 cm D．17 cm A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在直线l上求作一点P，使PA＝PB(保留作图痕迹，不写作法)． 解：如图所示． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．作图题．(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图1中作出AB的垂直平分线． (2)在图2中作出边AC上的中线BE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图1所示，即为所求． (2)如图2所示，BE即为所求． 图1 图2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 尺规作图找对称轴 4．如图，△ABC和△DEF关于某条直线对称，请利用尺规作图画出这条直线，并说明作法． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，作出它们的对称轴． 解：如图所示． 　　　 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．(2023·陕西)如图，已知锐角三角形ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P.使PB＝PC，且∠PBC＝24°.(保留作图痕迹，不写作法) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图所示，点P即为所求． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E.若AE＝2 cm，△ABC的周长为 15 cm，则△ABD的周长为(　 　) 解：如图，连接AD，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧交于点M，N，连接MN，直线MN即为所求作直线． $$第十三章　轴对称 13.2　画轴对称图形 第1课时　画轴对称图形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 画轴对称图形 1．分别以直线l为对称轴作轴对称，下列所作轴对称图形中错误的是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′. 解：如图所示． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC(三角形的顶点都在网格格点上)，请在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′(要求：点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′相对应)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图所示，△A′B′C′即为所求． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．在3×3的正方形网格图中，有格点△ABC和格点△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．请在下列网格中画出所有这样的△DEF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图所示． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．(2023·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点)． (1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1. (2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2. (3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求． (2)如图所示，线段A2B2即为所求． (3)如图所示，直线MN即为所求． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） $$第十三章　轴对称 13.2　画轴对称图形 第2课时　用坐标表示轴对称 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 关于坐标轴对称的点的坐标特征 1．(2023·怀化)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是(　 　) A．(－2，－3) B．(－2,3) C．(2，－3) D．(2,3) 2．在平面直角坐标系中，点P(－3,4)关于y轴的对称点在(　 　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．已知A，B两点的坐标分别是(－4,7)和(4,7)，则下列四个结论：①A，B两点关于x轴对称；②A，B两点关于y轴对称；③A，B两点关于原点对称；④A，B两点之间的距离为8.其中正确的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．点(－2，－4)与点(－2,4)关于______轴对称，点(－2， －4)与点(2，－4)关于______轴对称． 5．若点A(a,4)与点B(3，b)关于y轴对称，则a＋b＝______. B x y 1 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．已知点A(2a－b,5＋a)，B(2b－1，－a＋b)． (1)若点A，B关于x轴对称，求a－b的值． (2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 024的值． 解：(1)∵点A，B关于x轴对称， ∴a－b＝－8＋5＝－3. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)∵点A，B关于y轴对称， ∴(4a＋b)2 024＝[4×(－1)＋3]2 024＝1. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 图形关于坐标轴对称 7．教材P71习题3改编已知正方形ABCD在坐标轴上的位置如图所示，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴，已知A(2,2)，则点B的坐标为___________，点C的坐标为____________，点D的坐标为______________. (2，－2) (－2，－2) (－2,2) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，分别画出四边形ABCD关于x轴和y轴对称的四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图所示． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．小红同学误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A(a，b)，另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称的点的坐标，写成B(－b，－a)，则A，B两点原来的位置关系是(　 　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．点A和点B重合 D．以上都不对 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．(2023·聊城)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(－4,4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1)，则点A2的坐标为(　 　) A．(1,5) B．(1,3) C．(5,3) D．(5,5) B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．若点M(2a－3,3－a)关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是______________. 12．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，－2)，若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为______________________________________. (2,0)或(－2,0)，(0，－4)，(0,4) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．如图，在平面直角坐标系中． (1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1. (2)在x轴上找出一个点P，使点P到A，B两点的距离相等． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求． (2)如图所示，点P即为所求． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 14．如图，在平面直角坐标系中，点A(a＋b,2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称． (1)试确定点A，B的坐标． (2)若点B关于x轴的对称点是点C，求△ABC的面积． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)点A，B的坐标分别为A(4,1)，B(－4,1)． (2)∵点B关于x轴的对称点是点C，B(－4,1)， ∴C(－4，－1)， ∴BC＝2，AB＝8， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 15．如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(－3,3)，B(－4，－2)，C(0，－1)．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） (1)在图1中，画出△ABC关于y轴对称的△DEC(点D与点A对应)，点E的坐标为________. (2)在图2中，画出△ABC的中线AM，点M的坐标为________. (3)在图2中，画出△ABC的高BF(保留作图痕迹)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图1，作出点A，B关于y轴的对称点D，E，顺次连接，则△DEC即为所求作的三角形，点E的坐标为(4，－2)． (2)如图2，连接PQ，交BC于一点M，连接AM，则AM即为所求． 根据作图可知，点M为所在方格的中点上，故点M的坐标为(－2，－1.5)． (3)如图2，连接BN，交AC于点F，则BF即为所求作△ABC的高． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∴解得 ∴解得 <a<3 ∴S△ABC＝×8×2＝8. $$第十三章　轴对称 13.3　等腰三角形 13．3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 等边对等角 1．(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是(　 　) A．70° B．45° C．35° D．50° 2．(2023·眉山)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为(　 　) A．70° B．100° C．110° D．140° C C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠B＝__________. 4．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数是__________. 70° 36° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D. 证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C， ∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∴∠ABC＝2∠D，∴∠C＝2∠D. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 三线合一 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　 　) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC　 D．AB＝2BD D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 55° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE＝__________. 35° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．如图，在四边形ABCE中，∠E＝90°，CA平分∠BCE，AB＝AC.求证：BC＝2CE. 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 证Rt△ADC≌Rt△AEC(AAS)， ∴CD＝CE，再证BC＝2CD＝2CE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．若等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　 　) A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA＝DE，若∠BAD＝35°，∠EDC＝25°，则∠DAE的度数为(　 　) A．80° B．65° C．60° D．50° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 12．如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB的长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB＝__________. 37° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．如图，AD∥BE，点C在AB上，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE交DE于点F.求证：CF垂直平分DE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B. 在△ACD和△BEC中， ∴△ACD≌△BEC(SAS)， ∴CD＝CE， ∴△CDE是等腰三角形． ∵CF平分∠DCE， ∴CF垂直平分DE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且BD＝BC＝AD. (1)求△ABC各角的度数． (2)点E在边AB上，且AE＝DE.求证：BE＝AD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)设∠A＝∠ABD＝x，则∠C＝∠BDC＝2x. 在△ABC中，x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝72°，∠C＝72°. (2)证明：∵AE＝DE， ∴∠A＝∠ADE＝36°，∴∠BED＝72°＝∠C，易证∠EBD＝∠CBD＝36°，BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD(AAS)，∴BE＝BC＝AD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 15．核心素养·推理能力如图，在顶角为钝角的等腰三角形ABC中，AC＝AB，AD⊥AB交BC于点D，在AC上取一点E，使CD＝DE，连接BE. (1)作出△ADB关于AD对称的△ADF，连接CF，并证明CF⊥CD. (2)若FC＝3CD，探究BE与DE之间的关系． (3)若AE＝DE，求∠CAB的度数． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图，△ADF即为所求． ∵AF＝AC＝AB， ∴∠AFC＝∠ACF， ∠ACB＝∠ABC. 又∵∠AFC＋∠ACF＋∠ACB＋∠ABC＝2(∠ACF＋∠ACB)＝2∠FCB＝180°， ∴∠FCB＝90°，∴CF⊥CD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)BE⊥DE，BE＝3DE. 理由：易证∠EDB＝2∠ECD， ∠FDC＝2∠ABC，∴∠EDB＝∠FDC， ∴△FCD≌△BED(SAS)， ∴∠BED＝∠FCD＝90°，即BE⊥DE. ∵FC＝3CD，∴BE＝3DE. (3)设∠EAD＝∠ADE＝x，则∠CED＝∠ECD＝2x＝∠ABC，∠ADB＝3x. 在△ABD中，3x＋2x＝90°， ∴x＝18°，∴∠CAB＝108°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．(2023·吉林)如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC＝110°，则∠BAE＝__________. $$第十三章　轴对称 13.3　等腰三角形 13．3.1　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 等角对等边 1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2∶2∶5，则△ABC是(　 　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．下列说法中，不可能是等腰三角形的是(　 　) A．有两个内角分别为75°，75°的三角形 B．有两个内角分别为110°和40°的三角形 C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形 A B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD.若AB＝28，则AC的长是________. 28 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是______. 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD. ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠FAD＋∠AED＝90°. 又∵∠CAF＋∠CFA＝90°， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 作等腰三角形 6．如图，在4×5网格中的每个小正方形的边长都是1，线段AB的端点A，B是网格中的格点．请在下列三个图中找到格点C，画出以点A，B，C为顶点的等腰三角形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：如图所示． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α. 解：如图， ①作∠MBN＝∠α； ②在射线BM上截取BA＝a，然后以点A为圆心，a为半径画弧，交BN于点C； ③连接AC，则△ABC即为所求作的三角形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3 等腰三角形性质与判定的综合应用 8．如图，AC与BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB，OC＝3 cm，则OD＝______cm. 3 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．教材P79练习1改编如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，则∠1＝__________，图中有______个等腰三角形． 72° 3 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．如图，已知平面直角坐标系内一点A(3，－2)，点O为原点，点P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为(　 　) A．2 B．3 C．4 D．1 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论中一定成立的是(　 　) A．BC＝BE　 B．EC＝BE　 C．BC＝EC D．AE＝EC A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 12．如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝__________. 58° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC＝AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则AD的长为________. 10 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，点D是边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，∠DEA＝∠DFC. (1)求证：△DEF是等腰直角三角形． (2)若AB＝4，求四边形AEDF的面积． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，连接AD. 证△AED≌△CFD(ASA)， ∴DE＝DF， ∠ADE＝∠FDC. 证AD⊥BC， ∴∠EDF＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 15．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：DE＝BD＋CE. (2)如图2，若点F是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线的交点，其他条件不变．求证：DE＝BD－CE. 图1 图2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)∵BF和CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠CBF＝∠DBF，∠BCF＝∠ECF. 又∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DF＝BD，EF＝CE， ∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，即DE＝BD＋CE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)∵BF和CF分别是∠ABC和∠ACH的平分线， ∴∠CBF＝∠DBF，∠ECF＝∠HCF. 又∵DF∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∠HCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DF＝BD，EF＝CE， ∴DE＝DF－EF＝BD－CE， 即DE＝BD－CE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)S四边形AEDF＝S△AED＋S△ADF＝S△CFD＋S△ADF＝S△ADC＝S△ABC＝4. $$第十三章　轴对称 13.3　等腰三角形 13.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质和判定 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 等边三角形的性质 1．已知△ABC为等边三角形，则它的一个内角∠A＝(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则BD的长为(　 　) A．3 B．6 C A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，直线l1∥l2∥l3，将等边三角形按如图所示放置．若∠α＝40°，则∠β的度数是__________. 20° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数是__________. 15° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，BC＝CD，求∠ADB的度数． 解：∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝30°.∵BC＝AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝75°， ∴∠ADB＝∠CDA－∠BDC＝30°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 等边三角形的判定 6．下列命题中是假命题的是(　 　) A．有一个角是60°的三角形是等边三角形 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．三边相等的三角形是等边三角形 7．如图，已知OA＝5，点P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝______时，△AOP为等边三角形． A 5 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若△ADE是等边三角形，AD＝2，BD＝3，则△ABC的周长为________. 15 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 证明：∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°. 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．(2023·金昌)如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数是(　 　) A．20° B．25° C．30° D．35° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．如图， 在△ABC中， AB＝AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边△ABE，△ACD，∠EDC＝40°，则∠BAC的度数为__________. 20° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 12．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则∠OBD＝____________. 120° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．如图，点D，E分别在等边△ABC的边CB，CA上，且CD＝CE，AF∥BC，AF与DE的延长线交于点F. (1)求证：△AEF是等边三角形． (2)连接CF，交BE的延长线于点G，求∠BGF的度数． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：先证△CDE为等边三角形． ∵AF∥DC， ∴△AEF是等边三角形． (2)证△ABE≌△ACF(SAS)， ∴∠ABE＝∠ACF， ∠BGC＝∠BAC＝60°， ∴∠BGF＝120°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内一点，AE∥CD，交BD的延长线于点E，∠E＝60°，∠ABE＝∠BCD. (1)求证：△ABC为等边三角形． (2)探究AE，CD与BE之间的数量关系，并证明． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） 证明：(1)∵AE∥CD，∠E＝60°， ∴∠EDC＝∠E＝60°. ∵∠ABE＝∠BCD， ∴∠ABE＋∠DBC＝∠BCD＋∠DBC， ∴∠ABC＝∠EDC＝60°. ∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)如图，在BE上取点F，使得AF＝AE. ∵∠E＝60°，∴△AFE是等边三角形， ∴∠AFE＝60°，AF＝AE＝EF， ∴∠FAB＋∠ABF＝60°. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝BC， ∴∠ABF＋∠CBD＝60°， ∴∠FAB＝∠CBD. 又∵AB＝BC，∠ABF＝∠BCD， ∴△FAB≌△DBC(ASA)，∴BF＝CD. ∵BE＝BF＋EF， ∴BE＝CD＋AE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（人教版） C．3 D．3 $$第十三章　轴对称 13.3　等腰三角形 13.3.2　等边三角形 第2课时　含30°角的直角三角形 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 含30°角的直角三角形的性质 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，则AB的长为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为(　 　) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm D C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是中线，且AD＝3 cm，则AB的长是______cm. 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并给出证明． 解：DC＝2BD，证明如下： ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝30°. ∵∠B＝90°，∴∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°，∴AD＝2BD，∴DC＝2BD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 含30°角的直角三角形的性质的应用 5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面6 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为(　 　) A．6 m B．9 m C．12 m D．18 m D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．若∠A＝30°，AB＝8，则BD的长是(　 　) A．2　　　 B．3　　　 C．4 D．6 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起．若AB＝ 4 cm，则阴影部分的面积是______cm2. 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A＝30°，AB＝7 m，则BC＝__________m，DE＝____________m. 3.5 1.75 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．新情境(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　 　) A．4 m B．6 m C．10 m D．12 m B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，边AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，边AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，若MN＝2，则NF的长是(　 　) C．2 D．4 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 11．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，BP＝4 cm，点Q为射线边BC上一点．当CQ的长为______________时，△PBQ是直角三角形． 4 cm或2 cm 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交边AB于点M，过点M作MN∥BC交边AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为______. 6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 13．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以每小时航行18 n mile的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得灯塔C在A的北偏西15°，灯塔C在B的北偏西30°方向上，在灯塔C的周围20 n mile范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：会有触礁危险．理由如下： 如图，过点C作CE⊥AN于点E. 由题意可得AB＝2×18＝36 n mile， ∵∠NBC＝∠A＋∠ACB， ∠NAC＝15°，∠NBC＝30°， ∴∠ACB＝∠NAC＝15°. ∴BC＝AB＝36 n mile. ∵CE⊥AN，∴∠BEC＝90°. ∵∠NBC＝30°， ∵18＜20， ∴轮船不改变方向继续向前航行，会有触礁危险． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，交CA的延长线于点D. (1)求证：AD＝AC. (2)若BC＝8，求DE的长． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，连接AF. ∴∠AFC＝∠ABC＋∠BAF＝2∠ABC＝60°， ∴∠FAC＝90°， ∴AF⊥DC.易证FD＝FC， ∴AD＝AC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） A. B．1 ∴CE＝BC＝18 n mile. ∵∠ABC＝∠ACB＝×(180°－120°)＝30°， (2)设EF＝a，则FA＝BF＝2a，DF＝CF＝4a，BC＝6a＝8，a＝，DE＝DF－EF＝3a＝4. $$第十三章　轴对称 13.4　课题学习　最短路径问题 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1 两点之间线段最短 1．如图，小明家在点A处，学校在点B处，则小明从家到学校最短的路径是______(填序号)，其中的数学道理是____________________. ② 两点之间线段最短 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点P处饮水，然后到对岸的B地买生活用品．请在图中画出路径最短时点P的位置，并说明理由． 解：连接AB交直线l于点P.理由：两点之间线段最短． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2 利用轴对称解决最短路径问题 3．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(　 　) A．点A B．点B C．点C D．点D C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点M处饮水，然后到C地宿营．请在图中画出最短路径． 解：作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，交直线l于点M，连接AM，CM. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)． (1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1. (2)在直线l上画出点P，使得PA＋PC1最小． (3)在直线l上画出点Q，使得QA1＋QB1最小． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示． (2)连接AC1交直线l于点P. (3)连接AB1交直线l于点Q. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 6．如图，已知六边形ABCDEF是正六边形，点G，H分别是AF和CD的中点，点P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的最小值为(　 　) A．线段GE的长度 B．线段AE的长度 C．线段AB长度的两倍 D．线段GD的长度 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 8．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8，则∠AOB的度数是__________. 30° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 9．如图，牧马人骑马从A地出发，先到草地a让马吃草，再到河边b饮水，然后到C地宿营．请在图中画出最短路径． 解：作点A关于直线a的对称点A′，作点C关于直线b的对称点C′，连接A′C′，分别交直线a，b于点M，N，连接AM，MN，CN. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 10．在如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点△ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4,6)，(－1,4)． (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1. (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示． (2)如图所示． (3)作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′，交y轴于点P，P(0,2)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（人教版） 7．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△ABC的面积为，点D，E分别为边BC，AC的中点，点P是AD上的一个动点，则PE＋PC的最小值为(　 　) A. B． C．1 D．2 $$第十三章　轴对称 图形研究　在等腰三角形中利用尺规作图 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 1．如图，在△ABC中，AB＝AC. (1)作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的基础上，若AB＝10，△BCE的周长为16，求BC的长． 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)如图所示，即为所求． (2)∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴△BCE的周长为BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝16. 又∵AC＝AB＝10， ∴BC＝16－10＝6. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC. (1)尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC. 解：(1)如图所示，射线DE即为所求． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)证明：∵DA＝DC， DE平分∠ADC， ∴AE＝EC，DE⊥AC， ∴AC＝2AE. ∵AD⊥AB，AC⊥CB， ∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∴△DEA≌△ACB(AAS)， ∴DE＝AC，AE＝BC， ∴DE＝2BC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，若点D是边AC的中点， (1)求证：△ABC是等边三角形． (2)在线段BD上求作点E，使得CE＝2DE.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)∵BD⊥AC，点D是边AC的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴BC＝AB. ∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形． (2)∵CE＝2DE，BD⊥AC， ∴∠DCE＝30°. ∵∠ACB＝60°， ∴CE平分∠ACB. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 4．如图，△ABC是等边三角形，点E是边AB上一点． (1)尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，连接ED，延长ED与直线BC交于点F.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2，求BF的长． 解：(1)如图所示，即为所求． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (2)∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝60°. ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BEF＝90°， ∴∠ADE＝∠BFE＝30°， ∴AD＝2AE＝4，BF＝2BE. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AB＝2AD＝8， ∴BE＝AB－AE＝6， ∴BF＝2BE＝12. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 在△DEA和△ACB中， ∴BD⊥AC，即∠BDA＝90°，∠ABD＝∠ABC＝30°， $$第十三章　轴对称 综合与实践　筝形的折叠研究 创新作业本·数学八年级上（人教版） 1 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 创新作业本·数学八年级上（人教版） (1)【概念理解】 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ABCD，则四边形ABCD______(选填“是”或“不是”)筝形． (2)【性质探究】 如图2，已知四边形ABCD纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． 是 创新作业本·数学八年级上（人教版） (3)【拓展应用】 如图3，AD是锐角三角形ABC的高，将△ABD沿AB边翻折后得到△ABE，将△ACD沿AC边翻折后得到△ACF，延长EB，FC交于点G. ①请写出图3中的“筝形”：__________________(写出一个即可)． ②若∠BAC＝50°，当△BGC是等腰三角形时，请直接写出∠BAD的度数． 四边形AEBD 创新作业本·数学八年级上（人教版） 解：(1)∵四边形ABCD为对折后折出的三角形展开形成的四边形，∴AD＝CD，AB＝CB， ∴四边形ABCD是筝形． 故答案为是． (2)性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，证明如下： 证明：如图，连接BD，AC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∵四边形ABCD是筝形，∴AD＝CD，AB＝CB. ∴△ABD≌△CBD(SSS)， ∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ADC，BD平分∠ABC. 创新作业本·数学八年级上（人教版） (3)①四边形AEBD. ②∵△ACD沿AC边翻折后得到△ACF， ∴△ACD≌△ACF， ∴AD＝AF，DC＝FC， ∴四边形ADCF是筝形， ∴∠DAC＝∠FAC，∠ACD＝∠ACF. ∵△ABD≌△ABE， ∴∠DAB＝∠EAB，∠ABD＝∠ABE. ∵在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角， ∴∠EAF＝2(∠BAD＋∠DAC)＝2∠BAC＝100°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∵四边形内角和为360°，∠AEG＝∠AFG＝90°， ∴∠BGC＝360°－∠EAF－∠AEG－∠AFG＝360°－100°－90°－90°＝80°. 当△BGC是等腰三角形时，有三种情况： ①当BC＝BG时，∠BGC＝∠BCG， ∴∠BCG＝80°， ∴∠CBG＝180°－∠BGC－∠BCG＝180°－80°－80°＝20°， 创新作业本·数学八年级上（人教版） ∵AD是锐角三角形ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－80°＝10°； ②当BC＝CG时，∴∠CBG＝∠CGB＝80°， ∵AD是锐角三角形ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－50°＝40°； 创新作业本·数学八年级上（人教版） ③当BG＝CG时，∴∠CBG＝∠BCG＝50°， ∵AD是锐角三角形ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－65°＝25°. 综上所述，∠BAD的度数为25°或40°或10°. 创新作业本·数学八年级上（人教版） 在△ABD和△CBD中， ∴∠EBA＝∠DBA＝×(180°－∠CBG)＝×(180°－20°)＝80°. ∴∠EBA＝∠DBA＝×(180°－∠CBG)＝×(180°－80°)＝50°. ∴∠EBA＝∠DBA＝×(180°－∠CBG)＝×(180°－50°)＝65°. $$