第15章 轴对称图形与等腰三角形 课件-2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.1　轴对称图形 第1课时　轴对称图形 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．(2023·连云港)在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是(　 　) 轴对称图形 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，认真观察4个图中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征1：___________________________________. 特征2：______________________________________________ ________. 都是轴对称图形 这些图形的面积都等于4个小正方形面积(答案合理 即可) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．下列图形中，只有三条对称轴的图形是_______(填序号)． ② 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．请画出下列轴对称图形的所有对称轴． 解：如图所示，即为所作． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．下列四种图形中，对称轴条数最多的是(　 　) A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①②③④⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域为_______(填序号)． 　①⑤ 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上．请你再找一个格点D，使点A，B，C，D能组成一个轴对称图形，并画出对称轴． 解：如图所示，即为所作． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.1　轴对称图形 第2课时　轴对称 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．如图所示： 其中，轴对称图形有__________________，与甲成轴对称的图形有______. 1 轴对称的概念 甲、乙、丙、丁 　丁 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．距离为20 cm的A 和B两点关于直线MN 成轴对称，则点A 到直线MN 的距离是________cm. 10 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC＝∠B′A′C′；③BC＝B′C′.其中正确的有(　 　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2 轴对称的性质 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称．若∠B1＝25°，∠A＝35°，则∠C的度数是(　 　) A．90° B．110° C．120° D．125° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称，B，D，C三点在同一条直线上．若AC＝3，BD＝2，则△ABC的周长是(　 　) A．5 B．10 C．6 D．12 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′. (2)△ABC的面积为______. 3 轴对称作图 3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．下列说法中正确的是(　 　) A．全等三角形是关于某直线对称的 B．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在边DC上的点F处．若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，则该长方形纸片ABCD的周长是(　 　) A．20 B．24 C．32 D．48 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC的边BC沿∠ACB的平分线CD折叠到CE，点E在边AC上．若∠ADE＝10°，求∠A的度数． 解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋B＝90°. 由折叠可知，∠CED＝∠B. ∵∠CED＝∠A＋∠ADE， 且∠ADE＝10°， ∴∠B＝∠A＋10°， ∴∠A＋∠A＋10°＝90°， ∴∠A＝40°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)如图所示． (2)证明：连接NE，易证△NEM≌△ACM， 得NE＝AC＝AB，NM＝AM，∠ENA＝∠MAC. ∵DM⊥MA，∴∠DMN＝∠DMA＝90°. 又∵DM＝DM，∴△DMN≌△DMA(SAS)， ∴DN＝DA，∠DNA＝∠DAM， 易证△NDE≌△ADB(SSS)， ∴∠DNE＝∠DAB， ∴∠DAN＝∠DNA＝∠DNE＋∠ENA＝∠DAB＋∠MAC， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)如图所示，△AB′C′即为所求． (2)△ABC的面积为2×4－×1×2－×1×4－×2×2＝3， 故答案为3. 10．如图，在五边形ABDEC中，AB＝AC，BD＝DE，M为CE的中点，DB∥AM，DM⊥AM. (1)作出△DMA关于直线DM对称的△DMN. (2)求证：∠DAM＝∠BAC. ∴∠DAM＝∠BAC. $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.1　轴对称图形 第3课时　平面直角坐标系中的轴对称 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．在平面直角坐标系中，点P(－3,4)关于y轴的对称点在(　 　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1 平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．在平面直角坐标系中，点P(1，－2)关于x轴对称的点的坐标是(　 　) A．(1,2) B．(－1，－2) C．(－1,2) D．(－2,1) A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，在平面直角坐标系中，线段AB垂直于y轴，垂足为点B，且AB＝2.若将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，则点C的横坐标为________. －2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．在平面直角坐标系中，已知点A(a＋b,2－a)与点B(5,2a)关于x轴对称．试确定点A，B的坐标并求ba的值． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－2,1)，(0,3)．请先在图中建立适当的平面直角坐标系，再作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′. 2 作关于坐标轴对称的图形 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：如图所示，在图中建立平面直角坐标系，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1,5)，B(－3，0)，C(－4，3)． (1)在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1. (2)点C关于y轴的对称点C1的坐标是______________. 解：(1)如图所示， △A1B1C1即为所求． (4,3) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．(2023·金华)如图，两个灯笼的位置A，B的坐标分别是 (－3,3)，(1,2)，将点B向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确是(　 　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．已知正方形ABCD在平面直角坐标系内的位置如图所示，原点为正方形的中心，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴．若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为______________，点C的坐标为_____________，点D的坐标为___________. (2，－2)　 (－2，－2) (－2,2) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．已知点M(2a－3,3－a)关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是__________________. 10．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，－2)．若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为_______________________________. 1.5<a<3　 (2,0)或(－2,0)或(0，－4)或(0,4) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为点A(－2,4)，B(－4,1)，C(－1，－1)． (1)直接写出△ABC的面积. (2)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1. (3)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)S△ABC＝6.5. (2)如图所示，△A1B1C1即为所求． (3)点B2的坐标是(1,2)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A，B关于y轴对称． (1)若点A(1,3)，写出点B的坐标． (2)若点A(a，b)，且△AOB的面积为a2，求点B的坐标(用含a的代数式表示)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)∵点A(1,3)，且点A，B关于y轴对称， ∴点B的坐标为 (－1,3)． (2)如图，连接AB，交y轴于点P，连接OA，OB. ∵点A，B关于y轴对称， ∴AB⊥y轴，且AP＝BP. ∵A(a，b)在第一象限，∴a＞0，且b＞0， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示： 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标． (2)将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标． (3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(1,1)． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(4,2)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：∵点A(a＋b,2－a)与点B(5,2a)关于x轴对称，∴a＋b＝5,2－a＋2a＝0，∴a＝－2，b＝7， ∴A(5,4)，B(5，－4)，∴ba＝7－2＝. ∴AP＝a，OP＝b，∴AB＝2a， ∴S△AOB＝AB·OP＝×2a×b＝ab. ∵S△AOB＝a2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴A(a，a)． ∵点A，B关于y轴对称，∴B(－a，a)． (3)△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)， △A2B2C2各顶点的坐标分别为A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)， 它们的纵坐标分别对应相等，横坐标的平均数分别为＝3，＝3，＝3， ∴三对对应点的中点坐标中横坐标都是3，三中点坐标分别为(3,4)，(3,2)，(3,1)． ∵三点的横坐标相同，三点在直线x＝3上， ∴△A1B1C1与A2B2C2关于直线l：x＝3对称，如图所示，直线l即为所求． $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.2　线段的垂直平分线 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．如图，所保留的尺规作图痕迹是作(　 　) A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆 C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角 1 利用尺规作线段的垂直平分线 A　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，纸上有一线段AB. (1)请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)． (2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)作出线段AB的垂直平分线如图所示． (2)对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线即为线段AB的垂直平分线． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点．已知线段PA＝5，则线段PB的长是(　 　) A．6 B．5 C．4 D．3 2 线段垂直平分线的性质 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线．若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上．若BE＋CE＝20，则AB＝________. 20 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D.若△ADB的周长是10 cm，AB＝4 cm，求AC的长． 解：∵MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD. ∵△ADB的周长是10 cm， ∴AD＋BD＋AB＝10 cm， ∴AD＋CD＋AB＝10 cm， ∴AC＋AB＝10 cm. ∵AB＝4 cm，∴AC＝6 cm. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．已知在△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P一定是△ABC(　 　) A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 3 线段垂直平分线的判定 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，若直线l上存在一点P，满足PA＝PB，则点P是____________________________的交点． 直线l与线段AB的垂直平分线 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，点D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，并且DE＝DF，连接AD，EF.求证：AD垂直平分EF. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)， ∴AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上． 又∵DE＝DF， ∴点A，D在线段EF的垂直平分线上， 即AD垂直平分EF. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是(　 　) B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD.求证：点P在线段CD的垂直平分线上． 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB. ∵PC⊥PA，PD⊥PB， ∴∠APC＝∠BPD＝90°. ∴Rt△APC≌Rt△BPD(HL)， ∴PC＝PD， ∴点P在线段CD的垂直平分线上． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，平面上的四边形ABCD是一只风筝的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD. (1)王云同学观察了这个风筝的骨架后，她认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为点E，且BE＝ED，你同意王云同学的判断吗？请说明理由． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)王云同学的判断是正确的．理由如下： ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC为线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，且BE＝ED. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，垂足分别为点D，M，分别交BC于E，N，且DE和MN交于点F. (1)若∠B＝20°，求∠BAE的度数． (2)若∠BAC＝110°，求∠EAN的度数． (3)若AB＝8，AC＝3，求△AEN的周长C的范围． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， AD＝BD， 又∵DE＝DE， ∴△BDE≌△ADE(SSS)，∴∠BAE＝∠B＝20°. (2)同(1)可证∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C. ∵∠BAC＝110°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＋∠C＝70°， ∴∠BAE＋∠CAN＝70°， ∴∠EAN＝40°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (3)∵DE，MN是边AB，AC的垂直平分线， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴BC＝BE＋EN＋CN＝AE＋EN＋AN，即为△AEN的周长． ∵AB＝8，AC＝3，∴5＜BC＜11， ∴△AEN的周长C的范围为5＜C＜11. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∵ 在Rt△APC和Rt△BPD中，∵ (2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积． (2)由(1)，得AC⊥BD， ∴S四边形ABCD＝S△CBD＋S△ABD＝BD·CE＋BD·AE＝BD·AC＝ab. $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.3　等腰三角形 第1课时 　等腰三角形的性质 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，则∠B的度数为(　 　) A．20° B．30° C．40° D．80° 1 等边对等角 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．等腰三角形的一个底角是50°，则另外两个角的度数分别是(　 　) A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．(2023·长沙)如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是__________. 65° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长BC至点M，则∠ACM＝____________. 110°　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，下列结论：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④∠ADB＝∠ADC＝90°.其中正确的结论有(　 　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 2 三线合一 　D　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝______cm. 3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠BAD的度数为__________. 60° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．[易错题]在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为(　 　) A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72° D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为(　 　) A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．(2023·台州)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中是假命题的是(　 　) A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD＝__________. 55°　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是____________________. 10°或100° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF. (1)求证：△ADE≌△ADF. (2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 由作图可得AE＝AF. ∴△ADE≌△ADF(SAS)． (2)∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝40°. 由作图可得AE＝AD，∴∠ADE＝70°， ∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝20°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 15．如图，在△AEC中，∠AEC＝90°，点D在边EC上，AD＝DC，DF⊥AD交AC于点F，FM⊥CD，垂足为点M. (1)求证：∠EAD＝∠FDM. (2)求证：AE＝DF＋FM. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 证明：(1)∵∠AEC＝90°， ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∵AD⊥DF， ∴∠ADF＝90°， ∴∠FDM＋∠ADE＝90°， ∴∠EAD＝∠FDM. (2)证法一：在AE上截取AN＝DF，连接DN. ∵∠EAD＝∠FDM，AD＝DC， ∴△AND≌△DFC(SAS)， ∴∠ADN＝∠C，DN＝FC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∵AD＝CD，∴∠ADN＝∠C＝∠DAC， ∴DN∥AC，∴∠NDE＝∠C. ∵∠E＝∠FMC＝90°， ∴△NDE≌△FCM(AAS)，∴NE＝FM， ∴AE＝AN＋NE＝DF＋FM. 证法二：过点C作CH⊥DF交DF的延长线于点H，易证CH∥AD， ∴∠HCF＝∠DAC＝∠ACE. ∵FM⊥BC，CH⊥DH， ∴∠FHC＝∠FMC＝90°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 又∵FC＝FC，∴△FHC≌△FMC(AAS)， ∴FM＝FH. ∵∠EAD＝∠FDC，∠AEC＝∠CHD＝90°，AD＝CD， ∴△ADE≌△DCH(AAS)，∴AE＝DH＝DF＋FH＝DF＋FM. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 证明：在△AOB和△AOC中， ∵ ∴△AOB≌△AOC(SSS)， ∴∠BAO＝∠CAO. ∵AB＝AC，∴AO⊥BC. 在△ADE和△ADF中，∵ $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15．3　等腰三角形 第2课时　等边三角形的性质 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，则∠BAD的度数是(　 　) A．90° B．60° C．45° D．30° 1 等边三角形的性质 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数是(　 　) A．60° B．45° C．40° D．30° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，且BD＝1 cm，则AC的长是________cm. 2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是边AC，AB上的高，且相交于点F，则∠BFC＝____________. 120° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，求∠ACD的度数． 解：∵△ABC是等边三角形． ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABD＝12°，∴∠DBC＝72°. ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB＝72°， ∴∠BCD＝36°， ∴∠ACD＝60°－36°＝24°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF.若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是(　 　) A．60° B．45° C．30° D．15° 2 利用等边对等角求角度 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数是(　 　) A．39° B．40° C．49° D．51° A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，求∠ADB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°. ∵CD⊥AC，CD＝AC， ∴∠ACD＝90°，BC＝CD， ∴∠ADC＝45°，∠DBC＝∠BDC. ∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝150°， ∴∠BDC＝15°， ∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝30°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．在如图所示的钢架中，∠A＝18°，P1A＝P1P2，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5，…来加固钢架，则∠P5P4B的度数是(　 　) A．80° B．85° C．90° D．100° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数是(　 　) A．67.5° B．52.5° C．45° D．75° A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形ABE和等边三角形ACD.若∠EDC＝40°，则∠BAC的度数为__________. 20° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，求∠A的度数． 解：设∠EBD＝α. ∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AB＝AC， ∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝α，∠C＝∠BDC＝∠ABC. ∵∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2∠EBD， ∴∠A＝2∠EBD＝2α. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∵∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3∠EBD＝3α， ∴∠C＝∠ABC＝∠BDC＝3α. ∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°， ∴2α＋3α＋3α＝180°，∴α＝22.5°， ∴∠A＝2α＝45°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．沪科版八上教材P150练习12改编如图，△ABC为任意三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，CD与BE相交于点P. (1)求证：△DAC≌△BAE. (2)求∠BPC的度数． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE. ∴△DAC≌△BAE(SAS)． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)由(1)得∠ADC＝∠ABE， ∴∠BPC＝∠PBD＋∠PDB＝∠ABD＋∠ABE＋∠PDB＝∠ABD＋∠ADC＋∠PDB＝∠ABD＋∠ADB. ∵∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴∠BPC＝120°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 在△DAC和△BAE中，∵ $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15．3　等腰三角形 第3课时　等腰(边)三角形的判定 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶5，则△ABC是(　 　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 1 等腰三角形的判定 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．下列描述的三角形中不是等腰三角形的是(　 　) A．有两个内角分别为75°，75°的三角形 B．有两个内角分别为110°和40°的三角形 C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°.若AB＝6，则AC的长为______. 4．如图，点D为△ABC的边AB上一点．若∠1＝∠2，AB＝7，AC＝3，则△ACD的周长为________. 6 　10　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点E，交AC于点F.求证：CE＝CF. 证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°. ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF＝∠DBE，∴∠CFB＝∠DEB. 又∵∠FEC＝∠DEB， ∴∠CFB＝∠FEC，∴CE＝CF. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　 　) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2 等边三角形的判定 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．(2023·江西)将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm,3 cm，则线段AB的长为______cm. 2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，将边长为5 cm的等边三角形ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于点M，则△MEC是________三角形，DM＝______cm. 等边　 3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC于点A，AE⊥AB于点A. (1)求∠C的度数． (2)求证：△ADE是等边三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 即∠C＝30°. (2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEB＝60°. ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°. ∴△ADE是等边三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形(　 　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAD交BC于点E.下列结论中一定成立的是(　 　) A．AC＝AE B．EC＝AE C．BE＝AE D．AC＝EC D　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC＝AB，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则AD的长为________. 10 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF. 证明：过点D作DM∥AC交BC于点M， ∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠DMB，∴BD＝MD. ∵BD＝CE，∴MD＝CE. ∴△DMF≌△ECF(AAS)，∴DF＝EF. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别为∠BAC，∠ABC的平分线．求证： (1)△BQC是等腰三角形． (2)AB＋BP＝AQ＋BQ. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)延长AB至点M，使得BM＝BP，连接MP， ∴∠M＝∠BPM. 由(1)可得BQ＝CQ，∠QBC＝∠C＝40°. ∵∠ABC＝∠M＋∠BPM， ∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C. ∵AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠CAP. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 在△DMF和△ECF中，∵ 证明：(1)∵BQ为∠ABC的平分线， ∴∠QBC＝∠ABC. ∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，且∠BAC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝80°，∴∠QBC＝×80°＝40°， ∴∠QBC＝∠C，∴BQ＝QC， ∴△BQC为等腰三角形． 在△AMP和△ACP中，∵ ∴△AMP≌△ACP(AAS)，∴AM＝AC. ∵AM＝AB＋BM＝AB＋BP，AC＝AQ＋QC＝AQ＋BQ， ∴AB＋BP＝AQ＋BQ. $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15．3　等腰三角形 第4课时　含30°角的直角三角形的性质 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，则BC的长是(　 　) A．3 B．4 C．6 D．不确定 1 含30°角的直角三角形的性质 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量∠ABC＝30°，则树高是(　 　) A．6 m B．9 m C．10 m D．12 m B　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是中线，且AD＝3 cm，则AB的长是______cm. 6 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若CD＝4，则BC＝________. 12　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝______. 　2　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足．求证：△DEF是等边三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°. (1)求该斜坡的高度BD. (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，已知OA＝12，点P是射线ON上一动点，∠AON＝60°. (1)当△AOP是等边三角形时，OP的长为________. (2)当△AOP是直角三角形时，OP的长为____________. 12 6或24 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若CD＝3AE，BC＝15，则AE的长为______. 3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝6，点D为BC上的一点，且BD＝2DC，连接AD.求证：AD＝AC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴DE＝BE－BD＝5－4＝1，CE＝CD－DE＝2－1＝1， ∴点E是CD的中点， ∴AE垂直平分CD， ∴AD＝AC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，等边三角形ABC的边长为8，点E为边AC上的一动点，ED⊥AB于点D，DF⊥BC于点F. (1)若CE＝2，求CF的长． (2)若DE＝DF，求CE的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)如图所示，△AND为所求作三角形． (2)连接CD. ∵△AND与△AMN关于直线AN对称， ∴AM＝AD，∠MAD＝2∠MAN＝120°. ∵∠BAC＝∠MAD＝120°，∴∠BAM＝∠CAD. 又∵AB＝AC，∴△ABM≌△ACD(SAS)， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 证明：∵∠A＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴DE＝BD，DF＝DC，∠BDE＝∠CDF＝60°， ∴∠EDF＝60°. ∵点D是BC的中点，即BD＝DC，∴DE＝DF， ∴△DEF是等边三角形． 解：(1)∵∠BAD＝30°，BD⊥AD，AB＝20 m， ∴BD＝AB＝10 m. (2)∵C，A，D三点共线，∠BAD＝30°，∠ACB＝15°， ∴∠ABC＝∠BAD－∠ACB＝15°， ∴AC＝AB＝20 m. 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM，AN.若MN＝2，则NF的长是(　 　) A． B．1 C．2 D．4 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. ∵∠B＝60°， ∴∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴BE＝AB＝5. ∵BC＝6且BD＝2DC， ∴BD＝4，CD＝2， 解：(1)∵CE＝2，AC＝8， ∴AE＝6， ∴AD＝AE＝3，∴BD＝5， ∴BF＝BD＝， ∴CF＝CB－BF＝8－＝. (2)设CE＝x，则AE＝8－x，AD＝， ∴BD＝8－. ∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠BFD，DE＝DF， ∴△ADE≌△BFD(AAS)， ∴AE＝BD，∴8－x＝8－，∴x＝，即CE的长为. 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点M，N在边BC上，且∠ANB＝45°，∠MAN＝60°. (1)画出△AMN关于直线AN对称的△ADN. (2)求的值． ∴BM＝DC，∠ACD＝∠B＝∠ACB＝30°. ∵∠AND＝∠ANB＝45°，∴∠DNC＝90°. 在Rt△DNC中，∠NDC＝30°，∴CN＝DC， ∴＝＝. $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线 第1课时 　作角的平分线 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线． 作法： (1)以点______为圆心，__________为半径画弧分别交OA，OB于点M，N. (2)分别以点__________为圆心，以___________的长为半径画弧，在∠AOB的内部相交于点C. 1 利用尺规作角的平分线 O 任意长 M，N 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (3)作射线OC，射线OC即为所求．这种作已知角平分线的方法的依据是______ (填序号)． ①SSS　　②SAS　　③AAS　　④ASA 请你填空并根据提示作出∠AOB的平分线OC. ① 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法作射线CP，使CP∥AB.(保留作图痕迹，不写作法) 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，根据作图痕迹，这个作图是(　 　) A．平分已知角 B．作一个角等于已知角 C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线 2 过一点作已知直线的垂线 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．已知直线l及直线l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.(尺规作图，保留作图痕迹) 解：如图所示，直线PQ即为所求． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论中错误的是(　 　) A．∠DAC＝∠DAB B．DE⊥AB C．∠EDB＝∠CAB D．BE＝AE D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．(2023·河南)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)． (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE＝BE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)如图所示，即为所求． (2)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE. ∵AB＝AD，AE＝AE， ∴△BAE≌△DAE(SAS)， ∴DE＝BE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 大于MN 解：∵CP∥AB， ∴∠B＝∠PCD. ∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∠ACD＝2∠B， ∴∠PCD＝∠ACD，CP为∠ACD的平分线． 如图所示，射线CP即为所求． $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线 第2课时　角的平分线的性质 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1 角的平分线的性质 1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若DE＝6，则DF的长是(　 　) A．2 B．3 C．4 D．6 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CB＝6，则DE＋DB＝(　 　) A．4 B．5 C．6 D．7 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点A，B.下列结论中不一定成立的是(　 　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB于点A，AD＝3，点P为边BC上一动点，则DP长的最小值是______. 3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝______. 1 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于点E，点F在边AC上． (1)求证：DC＝DE. (2)若AC＝4，AB＝5，且△ABC的面积等于6，求DE的长． 解：(1)证明：∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC. 又∵∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB， ∴DC＝DE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，OC＝OD，PC＝PD，PM⊥OC于点M，PN⊥OD于点N.求证：PM＝PN.(提示：连接PO) 证明：如图，连接PO， 易证△OPC≌△OPD(SSS)， ∴∠POC＝∠POD. 又∵PM⊥OC，PN⊥OD， ∴PM＝PN. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(　 　) A．8 B．6 C．4 D．2 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．沪科版八上教材P147练习5改编如图，已知OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝3 cm，过点P作PE∥OA交OB于点E.若∠AOB＝30°，则PE＝______cm. 6 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1∶3 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，已知AM平分∠BAC，点O是AM上一点，OD⊥BM于点D，OE⊥CM于点E. (1)OD与OE相等吗？为什么？ (2)若AB＝AC，则OD＝OE吗？请说明理由． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)OD与OE不一定相等． 因为缺少一个条件证明△ABM≌△ACM，得不出∠AMB＝∠AMC，就不能利用角平分线的性质证OD＝OE. (2)当AB＝AC时，OD＝OE. 理由如下： ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴△ABM≌△ACM(SAS)， ∴∠AMB＝∠AMC，即AM平分∠BMC. ∵OD⊥BM，OE⊥CM， ∴OD＝OE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，AP是△ABC的外角平分线，PM⊥BA，交BA的延长线于点M，且∠BPC＝∠BAC. (1)求证：PB＝PC. (2)求证：AC－AB＝2AM. (3)若BM＝3，求AB＋AC的值． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)过点P作PN⊥AC于点N. ∵PM⊥AM，PA平分∠MAC，∴PM＝PN. ∵∠BPC＝∠BAC， ∴∠ABP＝∠PCA. ∵∠BMP＝∠CNP＝90°， ∴△PMB≌△PNC(AAS)，∴PB＝PC. (2)∵△PMB≌△PNC， ∴BM＝CN，易证△PAM≌△PAN，∴AM＝AN， ∴AC－AB＝(AN＋CN)－(BM－AM)＝2AM. (3)AB＋AC＝(BM－AM)＋(AN＋CN)＝BM＋CN＝2BM＝6. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)∵DC＝DE， ∴S△ABC＝S△ACD＋S△ABD， ∴S△ABC＝AC·CD＋AB·DE， ∴6＝×4×DE＋×5×DE，解得DE＝. 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则S△DAC∶S△ABC＝________. 在△ABM与△ACM中，∵ $$第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线 第3课时　角的平分线的判定 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1 角平分线的判定定理 1．如图，点P是∠BAC内一点，且到AB，AC的距离PE，PF相等，则可以判定______________≌____________，依据是__________，所以∠____________＝∠____________. △APF △APE HL CAP BAP 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，已知∠CDA＝∠CBA＝90°，且CD＝CB，则点C一定在__________的平分线上，点A在__________的平分线上． ∠DAB ∠DCB　 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D.若QC＝QD，则∠AOQ＝__________. 35° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：点D是BC的中点． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， 且DE＝DF， ∴AD是∠BAC的平分线． ∵在△ABC中，AB＝AC， ∴点D是BC的中点． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，BD＝CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点F.求证：点F在∠BAC的平分线上． 证明：易证△BDF≌△CEF(AAS)， ∴FD＝FE. 又∵FD⊥AB，FE⊥AC， ∴点F在∠BAC的平分线上． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2 三角形三条角平分线的交点的性质 6．在三角形中，到三边距离相等的点是(　 　) A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是8,12,16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为(　 　) A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，已知△ABC的周长是10，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1，则△ABC的面积是(　 　) A．1 B．8 C．2 D．5 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有(　 　) A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 D 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC于点E.若AD＝DE，且∠C＝50°，则∠ABD＝__________. 20° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝____________. 125° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，△ABC的外角∠DAC，∠ACE的平分线AF，CF相交于点F.下列结论：①AF＝CF；②点F到BD，AC，BE的距离相等；③点F在∠ABC的平分线上．其中结论一定正确的是_________(填序号)，请说明理由． ②③ 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：如图，过点F分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点G，M，N. ∵∠DAC，∠ACE的平分线相交于点F， ∴FG＝FN，FM＝FN， ∴FG＝FM＝FN，即点F到BD，AC，BE的距离相等， ∴BF平分∠ABC，即点F在∠ABC的平分线上， ∴结论②和③是正确的． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC. 解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)请猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并证明． 解：(2)AB＋AC＝2AE.证明如下： 由(1)得Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF， ∴AB＋AC＝AB＋AF＋CF＝AB＋AE＋BE＝2AE. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB的中点，ED平分∠ADC. (1)求证：CE平分∠BCD. (2)求证：AD＋BC＝CD. (3)若AB＝12，CD＝13，求S△CDE. 解：(1)证明：如图，过点E作EF⊥CD于点F， 证EA＝EF＝EB即可． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)证明：易证△ADE≌△FDE， △BEC≌△FEC， ∴AD＝DF，BC＝CF， ∴AD＋BC＝CD. (3)∵△ADE≌△FDE，△BEC≌△FEC， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 在Rt△DBE和Rt△DCF中，∵ ∴S△CDE＝S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AB＝·CD·AB＝×13×12＝39. $$