第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 课件 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第1课时　三角形中边的关系 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．如图是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是(　 　) 1 三角形的有关概念 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．(1)如图，图中共有__个三角形，它们是_______________ _______________________________. (2)以AD为边的三角形有__________________________. (3)∠C分别为△AEC，△ADC，△ABC中边______，_____，_____的对角． (4)∠AED是__________，__________的内角． (5)△AED的三条边是_____，_____，______，三个内角是 _________，________，__________. 6 △ABD，△ADE， △AEC，△ABE，△ADC，△ACB △ABD，△ADE，△ADC AE AD AB △ADE △ABE AD AE DE ∠ADE ∠AED ∠DAE 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图是三角形按边分类，图中小椭圆圈里的A表示(　 　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．若a，b，c为三角形的三条边长，且满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，则此三角形一定是________三角形． 2 三角形按边分类 D 等边 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．(2023·金华)在下列长度的四条线段中，能与长6 cm,8 cm的两条线段围成一个三角形的是(　 　) A．1 cm B．2 cm C．13 cm D．14 cm 6．如图，为估计荔香公园小池塘岸边A，B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则A，B两点之间的距离可能是(　 　) A．5 m B．15 m C．25 m D．30 m 3 三角形的三边关系 C B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是____________；当周长为奇数时，第三边长是________；当周长是5的倍数时，第三边长是______. 5＜c＜9 6或8　 6 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小． (1)求x的取值范围． (2)当x为何值时，围成的三角形的周长最大？请求出周长． 解：(1)由三角形的三边关系，得2＜x＜18. 因为x为最小，所以x的取值范围是2＜x≤8. (2)当x＝8时，围成的三角形的周长最大， 且周长为8＋10＋8＝26. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．若△ABC的三边长均为整数，周长为11，则这个三角形的最大边长是(　 　) A．7 B．6 C．5 D．4 10．长度分别为8,6,6,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(细木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　 　) A．8 B．10 C．12 D．14 11．已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是31，n－3,6n，则n的值是______. C B 5 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．沪科版八上教材P68例1改编小华准备用一根长为29 m的绳子围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：由三角形两边的和大于第三边，得 PA＋PB＞________①， PA＋PC＞________②， PB＋PC＞________③， AB AC BC AB＋AC＋BC ＞ 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)如图2，连接PA，PB，求证：AC＋BC＞PA＋PB. 解：(2)证明：延长BP交AC于点D. 因为BC＋CD＞PB＋PD①，AD＋DP＞PA②， 所以①＋②，得BC＋CD＋AD＋PD＞PB＋PD＋PA， 所以BC＋AD＋CD＞PA＋PB， 即AC＋BC＞PA＋PB. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)若该等腰三角形其中两条边分别为x和x＋1，请直接写出底边的长． 解：(1)设底边长为a，则腰长为2a. 根据题意，得a＋2a＋2a＝29，解得a＝， 故底边长为 m. (2)因为两条边分别为x和x＋1， 所以第三边为29－x－＝28－x. 当x＝x＋1时，解得x＝5， 所以底边为28－x＝19(m)(不能构成三角形，舍去)； 当x＝28－x时，解得x＝10， 所以底边为x＋1＝9(m)； 当x＋1＝28－x时，解得x＝， 所以底边为 m. 综上所述，底边的长为9 m或 m. 13．核心素养·几何直观已知点P是△ABC内任意一点． (1)如图1，连接PA，PB，PC，试比较(AB＋AC＋BC)与PA＋PB＋PC的大小关系．完成下列解答过程： ①＋②＋③，得2(PA＋PB＋PC)＞_____________，即PA＋PB＋PC______(AB＋AC＋BC)． $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第2课时　三角形中角的关系 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．已知△ABC中有一个角为130°，则△ABC一定是(　 　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 2．已知在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝∠C＝80°，那么△ABC是(　 　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正(等边)三角形 1 三角形按角分类 B A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．沪科版八上教材P71练习2改编如图，图中的直角三角形共有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C的度数是(　 　) A．100°　　　 B．80°　　　 C．60°　　　 D．40° 5．在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数是(　 　) A．125° B．100° C．75° D．50° 2 三角形内角和及其应用 B C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的度数是(　 　) A．54° B．62° C．64° D．74° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠C＝_____. 8．如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝_______. 80° 35° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，一块模板规定AF，DE的延长线相交成85°的角，因交点不在模板上，不便测量，工人师傅连接AD，测得∠FAD＝32°， ∠ADE＝65°，这时AF，DE 的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？ 解：不符合规定．理由如下： 如图，作AF，DE的延长线使其交于点G. 在△ADG中， ∠GAD＋∠ADG＋∠AGD＝180°， 所以∠AGD＝180°－65°－32°＝83°≠85°. 故不符合规定． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B＋∠C＝2∠A，则此三角形(　 　) A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11. 人教版八上教材P16T4改编如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠2，∠C＝65°，则∠BAC的度数为_______. 70° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，已知点E为AC上的一点，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D.求证：AB∥CD. 证明：因为BE⊥DE，所以∠BED＝90°， 所以∠1＋∠2＝90°. 在△ABE中，∠1＋∠A＋∠B＝180°， 在△ECD中，∠2＋∠C＋∠D＝180°， 所以∠1＋∠A＋∠B＋∠2＋∠C＋∠D＝360°. 因为∠1＝∠B，∠2＝∠D，∠1＋∠2＝90°， 所以∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，在△ABC中，点D为边AB上的一动点，点E为边BC上的一点，∠BCD＝∠BDC. (1)若∠BCD＝70°，求∠ABC的度数． (2)求证：∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC. 解：(1)因为∠BCD＝∠BDC＝70°， 所以∠ABC＝180°－∠BCD－∠BDC＝40°. (2)证明：因为∠EAB＋∠AEB＋∠ABE＝180°，∠ABC＋∠BCD＋∠BDC＝180°， 所以∠EAB＋∠AEB＝∠BCD＋∠BDC. 又因为∠BCD＝∠BDC， 所以∠EAB＋∠AEB＝2∠BDC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14. 核心素养·几何直观【提出问题】如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AO交AB于点D，探究∠C与∠BOD的数量关系． (1)【特例探究】若∠CAB＝50°，∠CBA＝68°，则∠C与∠BOD的数量关系为______________. (2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗？请说明理由． ∠C＝2∠BOD 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)∠C＝2∠BOD. (2)成立．理由如下：设∠OAB＝x，∠OBA＝y. 因为AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA， 所以∠CAB＝2x，∠CBA＝2y， 所以∠AOB＝180°－x－y，∠C＝180°－2x－2y＝2(90°－x－y)． 因为OD⊥OA，所以∠AOD＝90°， 所以∠BOD＝∠AOB－90°＝90°－x－y， 所以∠C＝2∠BOD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第3课时　三角形中几条重要线段 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的____________. 1 三角形的角平分线 角平分线 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，若∠1＝∠2＝∠3，则AM为_________的角平分线，AN为__________的角平分线． △ABN △AMC 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝8 cm，BC＝10 cm，点P为边BC的中点，则△APC的面积是(　 　) A．5 cm2 B．10 cm2 C．20 cm2 D．40 cm2 2 三角形的中线 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线．若CE＝9 cm，则BC＝________cm. 12 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．沪科版八上教材P74练习4改编如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线．若AB＝8 cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，则AC＝________cm. 10 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则(　 　) A．线段CD是△ABC的边AC上的高线 B．线段CD是△ABC的边AB上的高线 C．线段AD是△ABC的边BC上的高线 D．线段AD是△ABC的边AC上的高线 3 三角形的高线 7．如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD，CE分别是AC，AB上的高，BD，CE相交于 点H，则∠BHC＝_________. B 135° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，在△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝4，CD＝2. (1)请画出AE，CD. (2)求△ABC的面积． (3)若AE＝3，求BC的长． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论：①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.其中正确的有(　 　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是(　 　) A．15° B．20° C．25° D．30° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是______. 2 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC.若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数是_______. 50° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E在边AB上，△BDE与四边形ACDE的周长相等． (1)求证：BE＝AE＋AC. (2)若AB＝10，AC＝6，求AE的长． 解：(1)证明：因为△BDE与四边形ACDE的周长相等，所以BD＋DE＋BE＝AC＋AE＋CD＋DE. 因为BD＝DC，所以BE＝AE＋AC. (2)设AE＝x，则BE＝10－x. 由(1)，得BE＝AE＋AC， 所以10－x＝x＋6，解得x＝2， 所以AE＝2. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14．请仅用无刻度的直尺作图并填空，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)如图1，△ABC的中线CD，BE交于点O. ①作出边BC的中点F； ②若S四边形ADOE＝4，则S△ABC的值为________． 12 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)如图2，△ABC的三个顶点的坐标为A(0,4)，B(－1，b)，C(2，c)，BC经过原点O，AD，BE为△ABC的高． ①作出△ABC的高CF； ②S△ABO＝_____，S△ACO＝_____，AB·CF的值为______． 2 4 12 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)①如图1，连接AO，并延长AO交BC交于点F，则点F是BC的中点； ②设S△ADO＝a，S△AEO＝b. 因为CD，BE，AF是△ABC的中线， 所以AD＝BD，AE＝EC，BF＝FC， 所以S△ADO＝S△BDO＝a，S△AEO＝S△CEO＝b， S△BOF＝S△FOC，S△ABE＝S△BCE，S△ABF＝S△AFC， 即2a＋b＝S△BOC＋b，则S△BOC＝2a，所以S△BOF＝S△FOC＝a， 所以2a＋a＝2b＋a，即a＝b，所以S△ABC＝6a＝12. 故答案为12. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)①如图2，延长AD，EB交于点H，连接CH，交AB的延长线于F，则CF为AB上的高． ②因为A(0,4)，所以AO＝4， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)如图所示． (2)S△ABC＝·AB·CD＝×4×2＝4. (3)因为S△ABC＝·BC·AE＝4， 所以×BC×3＝4， 所以BC＝. 所以S△ABO＝×AO·|xB|＝×4×1＝2， S△ACO＝×AO·|xC|＝×4×2＝4， 所以S△ABC＝6＝×AB·CF， 所以AB·CF＝12. 故答案为2,4,12. $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第1课时　命题 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．下列语句中不是命题的是(　 　) A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作∠A的平分线 D．内错角相等 2．下列命题中是假命题的是(　 　) A．对顶角相等 B．同位角相等 C．两点确定一条直线 D．三角形的内角和等于180° 1 命题及真命题、假命题的概念 C B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．下列命题中是真命题的是(　 　) A．一个角的补角一定大于这个角 B．两点之间，直线最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．相等的角是对顶角 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．命题“对顶角相等”的条件是__________________，结论是________________. 5．把命题“凡能被2整除的数，末位数字必是偶数”写成“如果……那么……”的形式为_________________________ _______________________. 2 命题的条件与结论 两个角是对顶角 这两个角相等 如果一个数能被2整除，那么 它的末位数字必是偶数 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．请写出命题“如果a>b，那么b－a<0”的逆命题：______ ___________________. 7．以n＝________________为反例，可以证明命题“如果n为自然数，那么2n≥n2”为假命题． 3 互逆命题与反例 如果 b－a<0，那么a>b 3(答案不唯一) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的逆命题，判断逆命题的真假． (1)不相等的两个角不是对顶角． (2)等边三角形是等腰三角形． 解：(1)如果两个角不相等，那么它们不是对顶角． 逆命题：不是对顶角的两个角不相等，是假命题． (2)如果一个三角形是等边三角形，那么它是等腰三角形． 逆命题：等腰三角形是等边三角形，是假命题． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；③三角形的三条高中，必有一条在三角形的内部；④|－2|是一个负数．其中是真命题的是(　 　) A．①② B．②③ C．①③ D．③④ B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，组成一个正确的命题___ ______________________________________. 如 果a∥b，b∥c，那么a∥c(答案不唯一) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若是假命题，请举反例说明． (1)一个锐角和一个钝角一定互为补角． (2)一次函数y＝kx＋b，若k>0，b>0，则它的图象不经过第四象限． 解：(1)逆命题为“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”． 逆命题是假命题，反例是“两个角都是直角”． (2)逆命题为“一次函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限，则k>0，b>0”． 逆命题是假命题，反例是“当k>0，b＝0时，一次函数的图象也不经过第四象限”． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第2课时　定理与证明 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．下列说法中错误的是(　 　) A．命题不一定是定理，定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，这样得到的真命题就是定理 2．下列命题中是定理的是(　 　) A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．等腰三角形是等边三角形 1 定理的概念 C B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成(　 　) A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 2 演绎推理与证明 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，下列推理中错误的是(　 　) A．∵∠1＝∠2，∴a∥b B．∵b∥c，∴∠2＝∠4 C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c D．∵∠2＋∠3＝180°，∴a∥c D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图： (1)∵∠1＝∠ADC， ∴AB∥CD.(__________________________) (2)∵∠BAD＋∠ABC＝180°， ∴AD∥BC.(____________________________) 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，试说明AB∥DE.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，(已知) ∴∠1＝∠______＝60°. (__________________________) ∵∠1＝∠C，(已知) ∴∠C＝∠B＝60°.(等量代换) ∵AD∥BC，(已知) B 两直线平行，同位角相等 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠C＋∠_______＝180°，(__________________________) ∴∠________＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.(等式的性质) ∵DE平分∠ADC，(已知) ∴∠1＝∠ADE，(等量代换) ∴AB∥DE.(____________________________) ADC 两直线平行，同旁内角互补 ADC 角平分线的定义 内错角相等，两直线平行 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，∠ACD与∠ACB互补，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题． ①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD. (1)由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来． (2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行证明． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：(1)上述问题有三个真命题，分别是命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①. (2)选择命题2：①③⇒②. 证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B. 又∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE. ∴∠A＝∠B. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°，(__________________) $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第3课时　三角形内角和定理的证明及推论 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．证明：三角形内角和等于180°. (1)请将下列证明过程补充完整(在括号内填写相应的推理依据)． 已知：如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 1 三角形内角和定理的证明 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 解：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB. ∵CE∥AB，(已作) ∴∠A＝∠1，(__________________________) ∠B＝∠2.(__________________________) ∵∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，(平角定义) ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.(____________) 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 等量代换 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)请根据图2的提示，再思考另外一种证明三角形内角和定理的方法并加以证明． 证明：如图2，过点A作DE∥BC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC. ∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°， ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．已知∠A，∠B为Rt△ABC的两个锐角，∠B＝54°，则∠A的度数为(　 　) A．60° B．36° C．56° D．46° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B－∠A＝10°，则∠A的度数为(　 　) A．50° B．40° C．35° D．30° 2 直角三角形的两锐角互余 B B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的高．若∠C＝38°，则∠B＝_______，∠DAB＝_______. 52° 38° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，已知DF⊥AB于点F，∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB＝_________. 100° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　 　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 7．下列条件：①∠A＋∠B＝∠C; ②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3; ③∠A＝∠B＝∠C; ④∠A＝∠B＝2∠C; ⑤∠A＝2∠B＝3∠C.其中能确定△ABC为直角三角形的条件有(　 　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3 有两个角互余的三角形是直角三角形 C A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P.求证：△EPF为直角三角形． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°. 又∵EP，FP分别是∠BEF，∠EFD的平分线， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠P＝180°－(∠PEF＋∠EFP)＝180°－90°＝90°， ∴△EPF为直角三角形． 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．如图，有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.若∠A＝60°，则∠ABX＋∠ACX的度数为(　 　) A．60° B．45° C．30° D．25° C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 10．如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F.当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数是(　 　) A．21° B．23° C．25° D．30° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．教材P91练习10改编如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE＝______. 39° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高．若∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB＝________. 100° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，AE，CD相交于点F. (1)求证：∠ACD＝∠B. (2)求证：∠CEF＝∠CFE. 证明：(1)∵∠ACB＝∠CDA＝90°， ∴∠BAC＋∠ACD＝90°， ∠BAC＋∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)∵AE是角平分线，∴∠CAE＝∠BAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°，∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEA， 即∠CFE＝∠CEF. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 14．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD＋∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD. (1)求证：AD⊥AC. (2)探求∠BAC与∠ACD之间有什么关系，并说明理由． 解：(1)证明：在△ABC中， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＋∠BAC＝90°. 在△ABD中，∠ABD＋∠ADB＋∠BAD＝180°. ∵∠ABD＋∠ADB＝∠ACB， 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠ACB＋∠BAD＝180°， 即∠ACB＋∠BAC＋∠CAD＝180°， ∴∠CAD＝90°， ∴AD⊥AC. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)∠BAC＝2∠ACD.理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－(∠BCD－∠ACD)． ∵∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°－∠ACD. ∵∠ADC＝∠BCD， ∴∠BCD＝90°－∠ACD， ∴∠BAC＝90°－(90°－∠ACD－∠ACD)＝2∠ACD. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） ∴∠PEF＝∠BEF， ∠EFP＝∠EFD， ∴∠PEF＋∠EFP＝(∠BEF＋∠EFD)＝90°， $$第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第4课时　三角形的外角性质 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 1 1．下列各图中的∠1是△ABC的外角的是(　 　) 三角形的外角性质 B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠ABD的度数是(　 　) A．110°　 　 B．120°　 　 C．130°　 　 D．140° B 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 3．在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝(2x＋10)°，∠C的外角大小为(x＋40)°，则x的值是(　 　) A．15 B．20 C．30 D．40 A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 4．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠A＝85°，∠ACE＝60°，则∠B的度数是(　 　) A．35° B．95° C．85° D．75° A 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 5．如图，∠ABD，∠BOC和∠BDC的大小关系是(　 　) A．∠ABD＞∠BDC＞∠BOC B．∠BDC＞∠ABD＞∠BOC C．∠BOC＞∠BDC＞∠ABD D．∠BDC＞∠BOC＞∠ABD C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 6.(2023·杭州)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝_______. 90° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 7．如图，把一副三角尺叠放在一起，已知∠C＝90°，∠D＝30°，∠B＝45°，则∠AOE＝_________. 165° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 8．如图是某零件的平面图，其中∠B＝∠C＝30°，∠A＝40°，求∠ADC的度数． 解：【方法一】延长AD交BC于点E. ∵∠B＝30°，∠A＝40°， ∴∠DEC＝∠A＋∠B＝70°. ∵∠C＝30°， ∴∠ADC＝∠C＋∠DEC＝100°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 【方法二】如图，连接BD并延长至E. 根据三角形外角的性质，可得∠ADE＝∠A＋∠ABD，∠CDE＝∠C＋∠CBD，　 ∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠C＋∠ABD＋∠CBD＝∠A＋∠C＋∠ABC＝100°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 9．一个三角形的三个外角之比为3∶4∶5，则这个三角形的三个内角之比是(　 　) A．5∶4∶3 B．4∶3∶2 C．3∶2∶1 D．5∶3∶1 10．如图，有一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(　 　) A．120° B．180° C．240° D．300° C C 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 11．(2023·徐州)如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝_______. 55° 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 12．如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数． (2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E. 解：(1)∵∠B＝35°，∠E＝20°， ∴∠ECD＝∠B＋∠E＝35°＋20°＝55°. ∵CE是△ABC的外角 ∠ACD的平分线， ∴∠ACD＝2∠ECD＝110°， ∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝110°－35°＝75°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE. ∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠ACE＝∠B＋∠E. ∵∠BAC＝∠ACE＋∠E， ∴∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 13．(1)如图1，求证：∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D. (2)如图2，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠ABC，∠ADC的平分线相交于点E.求证：∠A＋∠BCD＝180°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） 证明：(1)如图1，延长DC交AB于点E. ∵∠BEC是△AED的一个外角， ∴∠A＋∠D＝∠BEC. 同理，∠B＋∠BEC＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） (2)如图2，延长BC，DC分别交AD，AB于点F，G. 由题意，得∠AFC＝∠AGC＝90°. ∵在四边形AFCG中，4个内角的和为2个三角形的内角和， ∴∠AFC＋∠AGC＋∠A＋∠FCG＝360°， ∴∠A＋∠FCG＝180°. ∵∠FCG＝∠BCD， ∴∠A＋∠BCD＝180°. 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学八年级上（沪科版） $$