1.4.2.2用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　用空间向量研究夹角问题 ·人教A版选择性必修第一册· 思 问题引入 1. 空间中的角包括哪些？ 2. 向量的夹角怎么求？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面的夹角． 用向量方法研究 思 新知探究 1.直线与直线的夹角 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. l1 l2 l1 l2 O O 思 练习巩固 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A C B A1 C1 B1 F1 D1 x y z 思 新知探究 2.直线与平面的夹角 思考：若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为，则直线a与平面α所成角θ与向量夹角<， >的区别与联系是什么？ 思 例题解析 B A A1 B1 C1 C F x y z 例1:. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=AB，AB=AA1，∠BAA1=60°.若平面ABC平面AA1B1B，求直线A1C与平面BB1C1C所成的角的正弦值. O 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 优化学案P63 思 新知探究 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. 平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交所形成的4个二面角中，把其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 二面角θ的范围是[0，π] 思 新知探究 3.平面与平面的夹角 l l 本质：平面与平面的夹角就是它们的法向量所成角或其补角. 思 方法小结 设直线与的方向向量分别为，，平面与平面的法向量分别为， 1、直线与直线所成角： 2、直线与平面所成角： 3、平面与平面所成角 二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角（肉眼观察），添加正负号 思 例题解析 例2-1:. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB=，AF=1，求平面ADF与平面BDF夹角的大小. x y z B A C D E F 优化学案P65 思 例题解析 例2-2:. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB=，AF=1，试在线段AC上找一点P，使得PF与CD所成的角是. x y z B A C D E F 优化学案P65 思 例题解析 例3:图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到). 解：设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为. 因为，所以在上的投影向量为. 所以8根绳子拉力的合力 又因为降落伞匀速下落，所以 所以 所以 思 练习巩固 2. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线BC所成角的大小; D B C A x y z O 课本P38 思 练习巩固 2. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小; D B C A x y z O 课本P38 思 练习巩固 2. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. D B C A x y z O 课本P38 检 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 设直线与的方向向量分别为，，平面与平面的法向量分别为， 1、直线与直线所成角： 2、直线与平面所成角： 3、平面与平面所成角 二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角（肉眼观察），添加正负号 练 课后作业 优化学案、小本 $$