陕西省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编：函数与导数

陕西省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·三模）设函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 4．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·陕西商洛·三模）已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B．3 C．9 D． 10．（2024·陕西榆林·一模）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 二、填空题 11．（2024·陕西商洛·模拟预测）若函数的最小值为0，则 . 12．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 . 13．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数在上只有两个零点，则实数的取值范围为 ． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 15．（2024·陕西渭南·三模）设定义在R上的函数满足，且，则在R上的最大值为 ． 16．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为 . 17．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程有两解，则的值为 . 18．（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 三、解答题 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若，求的取值范围； (3)设，证明：． 20．（2024·陕西榆林·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 21．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，的图像在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，，其中，若对，总，使成立，求整数的取值范围． 22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数为的导函数. (1)若是的极大值点，求的取值范围； (2)已知，若存在，使得成立，证明：. 23．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围． 24．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数. (1)证明：当时，； (2)若与有两条公切线，求a的取值范围. 25．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 26．（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 参考答案： 1．D 【分析】运用复合函数单调性知识，结合对数函数和二次函数单调性可解. 【详解】设，则其对称轴为，抛物线开口向下， 是减函数，要使在区间单调递减， 则在区间单调递增，即且，即， 故实数的取值范围是. 故选：D. 2．C 【分析】根据题意，由奇函数的性质以及，分析可得，求出，，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则． 因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，， 所以． 故选：C 3．D 【分析】由函数奇偶性的定义判断AB，由函数单调性判断CD. 【详解】由，得是奇函数，且定义域（全体实数）关于原点对称， 由，且定义域（全体实数）关于原点对称，得为偶函数，故A，B选项均错误． 由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增， 由，得，从而，即C选项错误． 由，得，从而，即D选项正确． 故选：D. 4．B 【分析】根据函数的奇偶性即可求值． 【详解】解：由于为偶函数，则恒成立， 则，则有， 可得， 经验证满足恒成立． 故选：B． 5．B 【分析】由函数的对称性、单调性即可列出不等式求解. 【详解】因为为偶函数，所以函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故选：B． 6．B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 7．C 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 8．A 【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小，再利用函数在区间上单调递减，就可以比较各选项. 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 9．D 【分析】首先判断函数的周期，再根据周期和条件求值. 【详解】，所以函数是周期为8的周期函数， . 故选：D 10．C 【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解. 【详解】因为为奇函数， 故， ， ， ， 故. 故选：C. 11． 【分析】先把恒成立不等式同构再结合函数的单调性得出恒成立，再由导数求出最小值即可. 【详解】由题意可知恒成立， 所以恒成立. 令，则是增函数，且， 所以，即恒成立且等号能成立. 令，则. 当时，，单调递减； 当时，单调递增. 所以的最小值为，所以. 故答案为：. 12．（答案不唯一） 【分析】由为奇函数可得的图象关于点中心对称，结合偶函数的性质可构造符合题意. 【详解】由为偶函数，知的图象关于轴对称； 由为奇函数，知的图象关于点中心对称， 据此构造函数，则是偶函数； 为奇函数，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 13． 【分析】由题意可得，将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数确定函数的单调区间及最值，作出图象，利用思想结合的思想求解． 【详解】令，则有， 因为，所以， 令，则直线与的图象有两个交点， 因为， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以． 又当时，，当时，， 故的图象如图所示： 所以． 所以实数的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 14．8 【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为，（且）， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以， 所以， ，，当且仅当，即等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 15． 【分析】构造函数，对其求导，结合已知可求,进而可求，再由导数与最值关系可求. 【详解】令，则 可知，即， 因为，即，则 当时，，可知函数在上单调递增， 当时，，可知函数在上单调递减， 所以函数的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据的形式，构建函数，结合导数关系求得. 16．2 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0， 所以函数最大值和最小值之和为0， 则函数的最大值和最小值之和为2. 故答案为：2. 17．49或 【分析】由已知可得是以为周期的周期函数，结合已知可作出函数的图象，关于的方程有两解，可得与的图象有两个交点，数形结合可求的值. 【详解】由，可得， 所以是以为周期的周期函数，又为偶函数，且，故可作出函数的图象如图所示： 若关于的方程有两解， 则与的图象有两个交点， 当，则过点,所以，解得， 当，则过点,所以，解得， 综上所述：的值为或. 故答案为：或. 18． 【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可. 【详解】由条件知，令， 则， 易知，即为奇函数， 又， 易知在时单调递减， 由复合函数的单调性及奇函数的性质得在R上单调递减， 对于， 所以. 故答案为：. 19．(1)答案见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.或者另运用数学归纳法证明． 【详解】（1）当时，， ， ， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． （2）令， 在上恒成立， 又， 令，则， ， ①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增． 因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去； ②当，即， ， 若，则， 所以在，上单调递减，，符合题意． 若，则， 所以在上单调递减，，符合题意． 综上所述，实数的取值范围是，． （3）由（2）可知，当时，， 令得，， 整理得，， ， ，， 即． 另运用数学归纳法证明． 当时，左边成立． 假设当时，不等式成立，即． 当时，要证， 只要证， 即证． 可令，则，，则需证明， 再令，则需证明． 构造函数，， ， 可得在，上递减， 则，所以原不等式成立， 即时，成立． 综上可得，成立． 【点睛】函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 20．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行分类讨论，即可求出结果； （2）将问题转化成求证，由（1）将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可证明结果. 【详解】（1）易知的定义域为，又， 当时，在区间上恒成立，此时，在区间上单调递减， 当时，当时，，时，，此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）当时，证原不等式等价于证， 由（1）知时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，得到，当且仅当时等号成立， 所以欲证，只需证，即证， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，得到 所以，所以当时，. 21．(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求出结果； （2）先利用二次函数性质得，再结合上问得，利用导数研究单调性，结合隐零点得最小值，解不等式即可. 【详解】（1）易知的定义域为，且， 又，所以， 得到的图象在处的切线方程为， 将代入，得. （2）， 当时，取得最小值，， 由（1）知，所以，得，易知的定义域为， 则，易知单调递增， 又，， 即在区间上有唯一解，使，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 在处取得极小值也是最小值， 则， 又，所以， 所以对，总，使成立， 必须且只需，得， 故整数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第二问问题等价于，利用导数研究函数的单调性，结合隐零点计算其最小值，利用对勾函数单调性考察其在哪两个整数相邻之间，根据二次函数求，然后根据题意，得到整数的不等式，解不等式即可. 22．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由极值的必要条件得的关系，然后对分类讨论检验充分性是否成立即可求解； （2）不妨设，由题意将条件等式转换为，化简得，故只需构造函数，并证明对成立即可. 【详解】（1）. 因为是的极大值点，所以，即， 所以. 当时，，此时是的极大值点，符合题意， 当时，令，可得或， 因为是的极大值点，所以，解得. 综上，的取值范围为. （2）不妨设，因为， 所以， 即，所以， 由，得， 则， 即， 所以. 设，构造函数， 则， 所以在上为增函数，所以， 即，又，所以. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得到：只需构造函数，并证明对成立即可顺利得证. 23．(1)0 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得到函数的最值. （2）先利用端点效应猜想的取值范围再利用导数研究函数的单调性，求证出猜想的正确性. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （2）因为恒成立，所以，得， 下面证明：当时，． 证明如下：因为在上单调递减， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又因为，所以时，． 综上，的取值范围为． 24．(1)证明见解析 (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）等价于证明，令，求导判断出的单调性，求出最值可得答案； （2）设一条公切线与切点分别为，求出切线方程，根据是同一条直线可得，转化为与的图象有两个交点，利用导数得出的大致图象可得答案. 【详解】（1）当时，，， 等价于证明， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以， 所以，即； （2）设一条公切线与切点分别为， 则， 可得切线方程为，， 因为它们是同一条直线，所以， 可得，令， 若与有两条公切线，则与的图象有两个交点， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，所以， 且当时，，当时，，可得的大致图象如下图， 所以. 25．(1)递减区间为，无递增区间； (2). 【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号， 即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）当时，恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 26．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据判别式分类讨论，即可根据导数的正负确定函数单调性， （2）将所证不等式等价变形后构造，利用导数求解函数的单调性，即可求证. 【详解】（1）， 当，即时，此时，，故在上单调递增. 当，即时，令， 则. ①当时，在上单调递增，在上单调递减. ②当时，，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，， 证原不等式等价于证，令， 则，且，故只需证，即证 令，则， 令，则， 由于，令则， 在上单调递增，在上单调递减.又， 当时，，即，当,时，，即， 在上单调递增，在上单调递减， ， 所以，当时，1. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$