4.1数列的递推公式微课课件设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版（2019）选择性必修二4.1第二课时 数列的递推公式： an= 眉山天府新区实验中学 张英 本节课主要解决数列递推：已知数列{an}的前n项和Sn,则an=的应用：解决两类问题 ⑴ 已知 与 n的关系 ⑵已知与an的关系 例1.已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3,n∈N*,求数列﹛an﹜的通项公式。 解：由2Sn=3an-3,n∈N*， 当n=1时，2a1=3a1-3,得a1=3, 当n时,2an=2Sn-2Sn-1 =3an-3-(3an-1-3), 整理得，an=3an-1 又an-1≠0,所以=3 所以数列﹛an﹜是首项为3，公比为3的等比数列。 即：an =3n 例2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n+1,n∈N*,则an=—— 解：由题意，Sn=2n2+n+1 当n=1时，S1=2×12+1+1=4， 所以a1=4 当n=2时，Sn=2n2+n+1① Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+1② ①-②,得Sn- Sn-1=2n2+n+1-〔2(n-1)2+(n-1)+1〕 所以an=4n-1 又当n=1时，a1=4×1-1=3≠4 所以an= 由Sn求an的步骤： ⑴ 当n=1时 a1 =S1 ⑵ 当 时， an = ⑶检验 练习1已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,且6Sn-4an=1,求数列﹛an﹜的通项公式。 解1. 当n=1时，由题意，6S1-4a1=1,即a1= 当 6 -4an =1①, 6 -4an-1 =1②, ①-②,得6()- 4an+4an-1=0, 即6an- 4an+4an-1=0 所以an=-2an-1 又当n=1时，a2=-2a1 所以﹛an﹜是以为首项，以-2为公比的等比数列。 即an=×（-2）n-1 练习2：记Sn为数列﹛an﹜的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan,求﹛an﹜的通项公式。 2.解：当n=1时，2S1=a1,即2a1=a1 所以a1=0 当，由2=nan,得2Sn-1=(n-1)an-1, 两式相减得2an=nan-(n-1)an-1 所以(n-1)an-1=(n-2)an, 当n=1时，a1=0 故当n≥3时， ＝ ,则 . … ＝ . … 整理得 ＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3). 当n＝1和n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. 课后作业： 1.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn=2n+1-2,求﹛an﹜的通项公式。 2. 设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,则an=　　　　　　　. 解：1. 当n=1时，S1=21+1-2=2，即a1=2 当n≥2时，Sn=2n+1-2，① Sn-1=2n-2,② 由①-②,得Sn- Sn-1=2n+1-2n 即an=2n 当n=1时, a1=2 所以an=2n。 2.当n=1时,a1=21=2. 当n≥2时， 因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 所以a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2n-1,② 由①-②,得(2n-1)an=2n-2n-1=2n-1,所以an=(n≥2). 显然当n=1时不满足上式, 所以an= 谢谢观看 $$ 作业设计模板 作业涉及教材版本： 人教版（2019） 册次：选择性必修二 单元（章节、主题、任务等）：第四章第一节 使用对象： 高二学生 预计完成时长：30分钟 作业设计类型 基础性前置作业（ √ ） 发展性前置作业（ ） 基础性随堂作业（ ） 发展性随堂作业（ √ ） 基础性课后作业（ √ ） 发展性课后作业（ ） （请在括号中点击勾选您选择上传的作业类型） 设计意图 基础性前置作业：要求学生课前预习解决，从简单的与an= 有关的题目，让学生从预习能解决问题，提升学生的学习兴趣。 发展性随堂作业：此两题比例题有一定的变化，使学生对此递推公式有更深入的理解，达到举一反三的作用。 基础性课后作业：课后作用基础，并从多角度应用此递推公式，提高学生的解题能力。 作业设计 基础性前置作业： 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝1. 求数列{an}的通项公式； 解：因为Sn＋an＝1， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－an－(1－an－1)，所以2an＝an－1， 又当n＝1时，2a1＝1，解得a1＝，所以an≠0，所以＝， 所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝. 发展性随堂作业： 1.已知数列﹛an﹜的前n项和为且6 -4 an =1,求数列﹛an ﹜的通项公式。 2. (2023·全国甲卷)记为数列﹛an ﹜的前n项和，已知a2=1,2=nan,求﹛an ﹜的通项公式。 解1. 当n=1时，由题意，6S1-4a1=1,即a1= 当 6 -4an =1①, 6 -4an-1 =1②, ①-②,得6()- 4an+4an-1=0, 即6an- 4an+4an-1=0 所以an=-2an-1 又当n=1时，a2=-2a1 所以﹛an﹜是以为首项，以-2为公比的等比数列。 即an=×（-2）n-1 2.解：当n=1时，2S1=a1,即2a1=a1 所以a1=0 当，由2=nan,得2Sn-1=(n-1)an-1, 两式相减得2an=nan-(n-1)an-1 所以(n-1)an-1=(n-2)an, 当n=1时，a1=0 故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·， 整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3). 当n＝1和n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. 基础性课后作业： 1.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn=2n+1-2,求﹛an﹜的通项公式。 2. 设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,则an=　　　　　　　. 解：1. 当n=1时，S1=21+1-2=2，即a1=2 当n≥2时，Sn=2n+1-2，① Sn-1=2n-2,② 由①-②,得Sn- Sn-1=2n+1-2n 即an=2n 当n=1时, a1=2 所以an=2n。 2.当n=1时,a1=21=2. 当n≥2时， 因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 所以a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2n-1,② 由①-②,得(2n-1)an=2n-2n-1=2n-1,所以an=(n≥2). 显然当n=1时不满足上式, 所以an= 学科网（北京）股份有限公司 $$null 教学设计 教学目标：理解数列的递推公式，并能应用其解决问题。 教学重点：根据递推公式求数列的通项公式 教学难点：求通项公式 学习目标： 一.知识目标： 1.理解递推公式的意义，递推公式是数列的另一种表示方法 2.学生由递推公式求出数列的通项公式 二.能力目标 能应用公式an=解决数学问题 三.情感与评价 培养学生积极参与，大胆探索精神，增强学习数学的兴趣。 教具：PPT 教学过程: 1. 提出本节课内容：数列的递推公式: 已知数列﹛ an ﹜ ，为数列前n项和 ，则 an=的应用 2.分析此公式能解决的数学问题：数列的递推公式一般解决两类问题⑴ 已知数列前n项和 与项数 n的关系 ⑵已知数列前n项和与项an的关系。 3.例题1已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3,n∈N*,求数列﹛an﹜的通项公式。 解：由2Sn=3an-3,n∈N*， 当n=1时，2a1=3a1-3,得a1=3, 当n时,2an=2Sn-2Sn-1=3an-3-(3an-1-3), 整理得，an=3an-1 又an-1≠0,所以=3 所以数列﹛an﹜是首项为3，公比为3的等比数列。 即：an =3n 2. 例题2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n+1,n∈N*,则an=　　　 解：由题意，Sn=2n2+n+1 当n=1时，S1=2×12+1+1=4 所以a1=4 当n=2时，Sn=2n2+n+1① Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+1② ①-②,得Sn- Sn-1=2n2+n+1-〔2(n-1)2+(n-1)+1〕 所以an=4n-1 又当n=1时，a1=4×1-1=3≠4 所以an= 4.练习：1.已知数列﹛an﹜的前n项和为且6 -4 an =1,求数列﹛an ﹜的通项公式。 2. (2023·全国甲卷)记为数列﹛an ﹜的前n项和，已知a2=1,2=nan,求﹛an ﹜的通项公式。 5.总结用数列的递推公式解决的数学问题及解题步骤。 数列的递推公式an=一般解决两类问题⑴ 已知数列前n项和 与项数 n的关系 ⑵已知数列前n项和与项an的关系 步骤：⑴ 当n=1时 a1=S1 ⑵ 当 an=Sn-Sn-1 ⑶检验 6.作业：1.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn=2n+1-2,求﹛an﹜的通项公式。 2. 设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,则an=　　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$