上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月）数学试卷

试卷第 页 共 3 页 1 桃浦中学高三数学阶段性评估(9 月) 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1~6 题每题 4 分,第 7~12 题每题 5 分) 1、设集合 2 1 0, , 2,A x x x R B x x x R ,则 BA =_. 2、不等式 3 0 4 x x 的解集是_. 3、数列 1,5,9,13,…的一个通项公式可能是 na =_. 4、函数 2 ( ) 4 1f x x x ( 1, 1x )的最大值等于 . 5、函数 xy 2 sin21 的最小正周期为 . 6、若复数 z 满足 2z i z ( i 是虚数单位),则 =z _. 7、直线 1 3 1 0l x y : , 2 5 0l x : ,则直线 1l 与 2l 的夹角为= . 8、 2 15 1 ( )x x 的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) . 9、圆锥的侧面展开图为扇形,已知扇形弧长为 2 cm,半径为 2 cm,则该圆锥的体积等于 3cm . 10、从5 名志愿者中选出 4 名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作(每项 1人),其中甲不参加 测温的分配方案有 种.(结果用数值表示) 11、在 ABC 中, 4AC ,且 AC AB在 方向上的数量投影是 2 ,则 ( R)BC BA 的最小值 为 . 12、设 Rk ,函数 2 4 3y x x 的图像与直线 1y kx 有四个交点,且这些交点的横坐标分别为 1 2 3 4 1 2 3 4, , ,x x x x x x x x ,则 2 2 2 2 1 2 3 4 x x x x k 的取值范围为 . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分) 13、已知 x a : , 1| 1x :| .若 是 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是( ) A. 0a B. 0a C. 2a D. 2a . 14. 某高中共有学生1200 人,其中高一、高二、高三的学生人数比为 4:5:6 ,现用分层抽样的方法从该校 所有学生中抽取一个容量为60 的样本,则高三年级应该抽取( )人. .A 16 .B 18 .C 20 .D 24 15、已知 4 cos 2 5 ,且sin 0 ,则 tan 的值为( ) A. 24 25 B. 24 7 C. 24 7 D. 24 7 . 试卷第 页 共 3 页 2 16、已知集合 )(),( xfyyxM ,若对于任意 Myx ),( 11 ,存在 Myx ),( 22 ,使得 02121 yyxx 成立,则称集合M 是“ 集合”. 给出下列 4 个集合: ① x yyxM 1 ),( ② 2),( xeyyxM ③ xyyxM cos),( ④ xyyxM ln),( 其中所有“ 集合”的序号是( ) A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④. 三、解答题(本大题共 5 题,满分 76 分) 17、(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 设 2| 8 15 0 , | 1 0A x x x B x ax . (1)若 1 5 a ,试判断集合 A 与集合 B 的关系; (2)若 B A ,求实数a组成的集合C . 18、(本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD是矩形, PA 底面 ABCD, E 是 PC 的中点,已知 2, 2 2PA AB AD ,求 (1) PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成角的大小. P A B C D E 试卷第 页 共 3 页 3 19、(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 在 ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b ,向量 )cos2,sin2( BBm , )cos,cos3( BBn ,且 1 nm . (1)求角B ; (2)若 2 b ,求 ABC 的面积的最大值. 20、(本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分) 已知椭圆C : )0(,1 2 2 2 2 ba b y a x , )3,1(P 、 )1,3(Q 、 )1,3( M 、 )2,0(N 这四点中恰有三点在椭 圆C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)点 E 是椭圆C 上的一个动点,求 EMN 面积的最大值; (3)过 1,0R 的直线 l 交椭圆C 于 A 、B 两点,设直线 l 的斜率 0 k ,在 x 轴上是否存在一点 0,mD , 使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21、(本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 1 ( ) log (0 1) 1 a x f x a x . (1)求函数 ( )f x 的定义域D ,并判断 ( )f x 的奇偶性; (2)如果当 ( , )x t a 时, ( )f x 的值域是 ,1 ,求a与 t 的值; (3)对任意的 1 2 ,x x D ,是否存在 3 x D ,使得 1 2 3 ( ) ( ) ( )f x f x f x ,若存在,求出 3x ;若不存在, 请说明理由.桃浦中学高三数学阶段性评估(9月)参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） （2 2、(-0,-4)儿U[3+0) 3、4n-3 4、4 5、π6、2 7、 8、3003 9、 3 10、96 11、25 182 12、 -0,一3 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13、B 14、A15、C16、A 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分） 17、解：(1)由x2-8x+15=0得x=3或x=5,所以A={3,5}.2分 若0号得10，即=5，所以8=闯。4分 故BCA6分 (2)因为A={3,5},又BA. ①当B=☑时，则方程ax-1=0无解，则a=0:9分 ②当B≠0时，则a40,由ar-1=0,得x=,所以上=3或上=5，即a=}或a= 1 1 a aa 3 5 13分 合c= 14分 18、解：(1) :PA⊥平面ABCD,.,PA⊥CD |PA⊥CD 由CD⊥AD →CD⊥平面PAD…3分 PA,ADS平面PAD ∴CD⊥PD 又在R1PAD中，PD=VPA2+AD2=2V3…5分 5m0D-P0-225=25…7分 (2) 1 连接ED :BC∥AD∠EAD就是异面直线BC与AE所成的角或其补角…9分 在RIAABC中，AC=VAB2+BC2=2V5 在RPAC中，PC=√PA2+AC2=4 E是PC的中点，AE=PC=2 2 同理可求得DE=2…11分 在△4DE中，c0s∠EAD=AE+AD2-DE2V5 ∠EAD=T13分 2AE·AD 2 4 ÷异面直线BC与AE所成的角的大小为T…14分 4 19、解：(1)mn=1,.2 sin B.5cosB-2cos2B=1,2分 3sin 2B-cos2B=2,sin(2B)=1,...... 6 又0<B<π，- <2B-π11z 6 6下6,2B-2=， 62’B= 36分 (2)b=2,b2=a2+c2-2 ac.cos B,∴.4=a2+c2-2ac…cos5,即4=a2+c2-ac9分 3 ∴.4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,即ac≤4，当且仅当a=c=2时等号成立.11分 Sem8-5es5.当u=b=6=2r5.4分 20、(1)Q,M关于x轴对称，则椭圆C过Q,M点 ->0可得点P不在椭圆C上 故椭圆C过Q,M,N这三点… …2分 b=2 a2=12 代入得{91 解得 a+6=1 b2=4 所以椭圆C的方程为十卫 =1…4分 124 (2)直线MW的方程为l:y=一x+2…5分 3 设1：y=。x+m与椭圆C相切，联立得4x2+6r+9(m2-4)=0 3 2 △=36m2-44-9m2-4）=0求得m=±45（舍正）…7分 3 直线，1的距离d= 6+45 …8分 V10 又MW=VI0 所以△EMN面积的最大值是ViO.6+4V3 =3+25…9分 √10 另解：（参数法）设点E的坐标为 x=2√3cos0 ,0∈[0,2π）…5分 y=2sin 0 直线MN的方程为1：x-3y+6=0…6分 则点E到直线MN的距离 23 cos 0-6sin 0+6 4V3cos0+ +6 3 4V3+6 V10 √10 10 所以ABMN面积的最大值是0.6+45=3+25.9分 V10 (3)设1：y=kx+1, y=kx+1 与椭圆方程联立 x2+3y2=12 得(3k2+12+6kx-9=0…10分 设A(x,y)B(x2,y2】 由韦达定理得x+5 -6k -9 3k2+1,53k2+ …11分 由DA,DB为邻边的平行四边形为菱形得(DA+DB⊥AB DA+DB=(k-m,y)+(x2-m,y2)=(k+x2-2m,y+2） =(x+x2-2m,k(+x2)+2) AB的一个方向向量是(1，k) D4+DB)4B=+x2-2m,k(x+x2)+2)(1.k)=0 3 即x+x2-2m+k2(6+x2)+2k=0 2m=0+k2X+5)+2k=二46 …14分 3k2+1 故m= -2k-2 3k2+13k+ 1 由题知k>0,则3k+之25…15分 所以存在m∈ ,0时，使得以DA,DB为邻边的平行四边形为菱形.…16分 3 21、解：(4)令->0，解得-1<x<1,D=(-1)…2分 1+x 1+x log 对任意x∈D,f(-)=log:-x -g.( 所以函数f(x)是奇函数.4分 (2)由=-1+之知，函数g)=在(1山）上单调递减， 1+x x+1 1+x 因为0<a<1,所以f(x)在(-1,1)上是增函数…6分 又因为x∈(t,a)时，f(x)的值域是(-o,I),所以(t,a)s(-l,1) 旦g)H在么，a)的值城是a,+o 故ga)=二0=a且1=-1（结合g)图像易得1=-1）…8分 1+a a2+a=1-a解得a=V2-1(-V2-1舍去).所以a=√2-1，t=-1l0分 (3)假设存在x∈(-1,1)使得(x)+f(x2)=f(x)11分 1-为=1og1+x3 1+log+x 即1oga1+4 1-x .)=o81+31+1+名1+6 l1og.1+x1+ g1-5→1-五.1-五=1-无，解得5=十5,4分 1+x,x2 +五-.即证花<1 下证：为=1+x 1+xx2) 4 2 证明： x+x2 -1=出+x广-0+x-+-1-。--0- 1+xx2 1+xx2) (1+xx2)月 (1+xx2) x2e(-1,),1-x2>0,1-x22>0,1+xx2)>0 0-x0-20,即 +五 2 +<1 (1+xx2)2 1+xx2 -1<0,+ 所以存在x=t∈（仁1，，使得fx)+f)=f化）…18分 1+xx2 5