第1章一元二次方程章末检测卷 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程章末检测卷-数学九年级上册苏科版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 一元二次方程基础概念 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 解一元二次方程 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点三 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点四 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： 1 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 2 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 3 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2= 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有： ①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量； ③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 第二部分 典型例题 1．用合适的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)；（公式法） (4)．（配方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：移项得，， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 2．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，降低成本，2020年出厂价调整为100元． (1)这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)这两年平均下降率约为 (2)单价应降15元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）平均下降率为x，由2018年的出厂价下降率年出厂价可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设单价降价y元，则每天的销售量是台，根据总利润=每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结果． 【详解】（1）解：设这两年平均下降率为x， 根据题意得：， 解得， ∵， ∴； 答：这两年平均下降率约为； （2）解：设单价降价y元， 则每天的销售量是台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：单价应降15元． 3．设，是关于x的方程的两个实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．根据根与系数的关系及根的判别式计算即可 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 解得，； （2）解：根据题意得，， ，， ， 解得，（舍），， 综上所述，k的值为1． 第三部分 跟踪训练 一、单选题 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 3．方程中的根是（    ） A．， B．， C． D． 4．把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形的面积比正方形面积增加14cm2，那么原来正方形的边长是（   ） A．3cm B．5cm C．4cm D．6cm 5．下列方程同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 6．一个三角形的两边长分别为和，第三边的长，且满足，则这个三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 7．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（    ） A．或4 B．或4 C．或4 D．或 8．新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．当 时，代数式为完全平方式． 10．方程的根为 ． 11．已知，那么x与y的关系是 ． 12．已知关于x的方程，当 时，它是一元二次方程， 13．甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为 ． 14．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动，当 秒时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍． 15．已知、的坐标为，，点在直线上，若为等腰三角形，则这样的点共有 个． 16．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ． 三、解答题 17．按要求解下列方程： (1)； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)． 18．已知：，且，求的值． 19．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 20．已知菱形的边长是5，两条对角线交于点O，且的长分别是关于x的方程的两根． (1)求m的值； (2)求菱形的面积． 21．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 22．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C C B D B 1．D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、化简后得，是一元一次方程，故此选项错误； B、，是分式方程，故此选项错误； C、中当时，是一元一次方程，故此选项错误； D、，是一元二次方程，故此选项正确； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据的二次项系数为，一次项系数为，列式即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ∴方程整理得：． 结果一次项系数为， ， 即． 故选：B 3．B 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：，． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式． 此题的等量关系：所得的长方形的面积＝原正方形面积＋14，设未知数，列方程求解即可． 【详解】解：设原来正方形的边长为． 根据题意，可列方程为， 经解和检验后得． 即：原来正方形的边长为4cm． 故答案为：C． 5．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，结合一元二次方程的结构特点选取解法即可． 【详解】解：方程可同时适合使用直接开平方法与因式分解法求解， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及一元二次方程的求解，由题意得，求解一元二次方程可得，即可求解. 【详解】解：由题意得：， 即：， ∵， ∴， 即： ∴（舍） ∴这个三角形的周长 故选：B 7．D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，公式法解一元二次方程， 由相反数的定义得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解∶ 代数式与的值互为相反数， 则 整理得：， 解得：或， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据全班的人数，可得出每名学生需发送条祝福短信，利用发送短信的总条数全班人数（全班人数，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：全班共有名学生， 每名学生需发送条祝福短信． 根据题意得：． 故选：B． 9．或或或 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数及解一元二次方程．熟练掌握是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即或， 解得，或， 故答案为：或或或． 10．或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用平方差公式把原方程变形为，进而提取公因式分解因式得到，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 11．或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较低，关键根据题意正确运用根与系数的关系：，是方程的两根时，，．首先根据根与系数的关系求得一次项系数和常数项的值，再进一步得到方程即可． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系， 由甲看错了一次项系数，解得根为4和，得， 乙看错了常数项，解得根为2和3，得． 则得出方程：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到，进而列出一元二次方程求解，即可解题． 【详解】解：设时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间距离的2倍，即， 又四边形是矩形， 故， 故， ， ， ， 解得，， 当时，，故舍去， ． 故为3s时，P，D两点之间的距离是P，Q两点之间的距离的2倍． 故答案为：3． 15．5 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质．分三种情况①，②，③，再根据勾股定理可求出． 【详解】解：设， 因为、的坐标为，， ①当时，则， 故有一个点； ②当时，则， 解得， 故有两个点； ③当时，则 解得：， 故有两个点； 故答案为：5． 16． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元， 根据题意得：． 故答案为：． 17．(1)， (2) (3)， (4) 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及配方法是解答此题的关键． （1）直接根据开方法即可求出x的值； （2）把原方程化为完全平方式的形式，再直接开平方即可； （3）直接利用公式法求出x的值即可； （4）利用因式分解法求出x的值即可． 【详解】（1）解： 解得，， （2）解：， ， ， ， 解得，； （3）解：， ∵ ， ∴， ∴， （4）解： ∴ ∴． 18．3 【分析】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识．由题意．推出，可得结论． 【详解】解：由可知． 两边除以得到，． 即， 又，且，即． ，是方程的两根， ， ． 19．减去的小正方形的边长为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设减去的小正方形的边长为，根据无盖纸盒的底面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设减去的小正方形的边长为，根据题意得： ， 解的，（舍）， 答：减去的小正方形的边长为． 20．(1) (2) 【分析】本题考查菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式及解一元二次方程． （1）根据菱形的性质得到，由一元二次方程根与系数的关系及根的判别式即可解答； （2）由（1）知m的值，代入方程，解一元二次方程，求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：菱形中，， 由直角三角形的三边关系可得：， 的长分别是关于x的方程的两根 ，， ∴， 整理得：， 解得：或5． 又∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：将m的值代入方程得：． 解得，． ∴菱形的面积． 21．(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 22．(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 (2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． （2）解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$