统计概率部分-福建省2024届高三下学期数学模拟考试分类汇编

2024届福建省高三下学期模拟考试分类专项练习 统计概率部分 一、单选题 1．（2024·福建泉州·二模）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B． C．2.4 D．2.5 2．（2024·福建厦门·一模）已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（   ） A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲､乙两组数据的极差不相同 C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲､乙两组数据的方差相同 3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建莆田·二模）某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生､女生的平均身高分别为和，估计该校高三年级全体学生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建莆田·二模）若，则（    ） A．事件与互斥 B．事件与相互独立 C． D． 6．（2024·福建漳州·一模）将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建福州·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建厦门·三模）设A，B为随机事件，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·福建漳州·一模）某学校举行消防安全意识培训，并在培训前后对培训人员进行消防安全意识问卷测试，所得分数（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，则（    ） A．培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数 B．培训前得分的中位数大于培训后得分的中位数 C．培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数 D．培训前得分的平均数大于培训后得分的平均数 10．（2024·福建南平·二模）六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（    ） A．极差 B．众数 C．平均数 D．第25百分位数 11．（2024·福建厦门·一模）为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月 编号x 1 2 3 4 5 6 y/百亿元 11.107 参考数据：． 则下列说法正确的是（    ） A．经验回归直线经过点 B． C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元 D．相应于点的残差为0.103 12．（2024·福建宁德·一模）某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（    ） 参考公式： A．抽取的样本里男生有60人 B．每一位学生被抽中的可能性为 C．估计该学校学生身高的平均值为170 D．估计该学校学生身高的方差为236 13．（2024·福建漳州·三模）某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（      ） A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1 C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为 三、填空题 14．（2024·福建漳州·二模）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%） 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，． 15．（2024·福建福州·一模）甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件为“五名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选安全防范服务”，则 . 16．（2024·福建龙岩·三模）互不相等的4个正整数从小到大排序为，若它们的平均数为4，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的中位数为 . 四、解答题 17．（2024·福建龙岩·一模）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 未感染支原体肺炎 60 80 感染支原体肺炎 40 20 (1)试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ (2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为，求的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18．（2024·福建厦门·一模）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队． (1)求三人均被分至同一队的概率； (2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求． 19．（2024·福建漳州·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0． (1)记发送信号变量为，接收信号变量为，且满足，，，求； (2)当发送信号0时，接收为0的概率为，定义随机变量的“有效值”为（其中是的所有可能的取值，），发送信号“000”的接收信号为“”，记为，，三个数字之和，求的“有效值”．（，） 20．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱． (1)求的概率； (2)求X的方差； (3)若，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？ 21．（2024·福建南平·二模）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3. (1)从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率； (2)每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为元，求的分布列及数学期望. 22．（2024·福建莆田·二模）某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”． (1)据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数； 附：若，则． (2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为． ①求顾客获得乙奖品的概率； ②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率． 23．（2024·福建厦门·一模）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求； (3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：. 24．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 25．（2024·福建南平·一模）某校为庆祝元旦，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，游戏规则如下：该游戏共两关，第一关中四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字，才能进入第二关；第二关中四字成语给出其中两个字，剩余两个字全部填对得10分，只填一个且填对得5分，只要填错一个或两个都不填得0分． (1)已知小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是，在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率． (2)在过第二关时，小李每个字填与不填是等可能的，且每个字填对与填不对也是等可能的．记表示小李在第二关中得到的分数，求的分布列及数学期望． 26．（2024·福建宁德·一模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； (2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； (3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 27．（2024·福建漳州·三模）某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统和系统），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统的得分为分. (1)求的分布列； (2)若系统和在试验开始时都赋予2分，表示“系统的累计得分为时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则，，其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若，则先启动系统；若，则先启动系统；若，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为. ①证明：； ②若，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率. 28．（2024·福建厦门·三模）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？ (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 29．（2024·福建莆田·三模）跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示. 性别 跑步 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 (1)依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关? (2)该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据； 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 30．（2024·福建漳州·一模）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. (1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； (2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； (3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值. 参考数据：. 参考答案： 1．D 【详解】因为相应于点的残差为，所以， 所以，解得. 故选：D. 2．D 【详解】由题设得，，解得， 甲组数据中，故第70百分位数为24，A错； 甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，所以甲､乙两组数据的极差相同，故B错； 乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错； 甲的平均数为， 乙的平均数为， 所以甲的方差为， 乙的方差为，故两组数据的方差相同，D对. 故选：D 3．C 【详解】由题意知这6幅作品排成两排挂在同一面墙上的不同挂法有：种， 由于美术作品不相邻，按以下情形分类： ①美术作品挂在第一排的不同挂法有：种； ②美术作品分挂在两排的不同挂法有：种； 所以美术作品不相邻的概率是：， 故选：C. 4．C 【详解】由题意可得：估计该校高三年级全体学生的平均身高为. 故选：C. 5．B 【详解】对于AB，，从而，故A错误B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 6．D 【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人， 则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有种选择， 再进行全排列，有种选择，故总的方法有种， 其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙， 再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有种选择， 所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为， 故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为. 故选：D 7．D 【详解】因为，，， 所以， 所以，则. 故选：D 8．D 【详解】对于A，由可知A，B为互斥事件，概率不一定相等，A错误； 对于B，由可知A，B相互独立，与概率大小无关，B错误； 对于C，抛掷一颗骰子，记掷出点数为事件A，掷出点数为事件B， 则事件表示掷出点数为，为不可能事件， 所以，，， 显然，由推不出，C错误； 对于D，， ， 若，则， 即，反之亦然， 故的充要条件是，D正确. 故选：D 9．AC 【详解】由频率分布直方图可知：两个频率直方图均为单峰。 且培训前直方图在右侧拖尾，培训后直方图在左侧拖尾， 可知培训前的中位数小于75，培训后的中位数大于75， 所以培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数，故A正确，B错误； 设培训前每组的频率依次为， 则培训后每组的频率依次为， 则培训前平均数估计为， 培训后平均数估计为， 则， 可得，即培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数，故C正确，D错误； 故选：AC. 10．BC 【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 而原数据：16，18，20，20，22，24， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数. 故选：BC. 11．AC 【详解】选项A：由题意得：， 因为，，所以，得， 因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确； 选项B：由A知，，得，故B错误； 选项C：由B得，则当时，， 故该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确； 选项D：当时，，相应于点的残差为， （相应于点的残差），故D错误， 故选：AC 12．ABD 【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确； 对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确； 对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误； 对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确. 故选：ABD 13．BD 【详解】设连续7天体温高于人数依次为 ，，，，，，，则，. 将，，，，，， 按顺序从小到大依次记为，，，，，，，且，. A选项： 由中位数为3得，又众数为2，所以，，的值无法确定，故选项A错误； B选项： 由中位数为1得，由均值小于1得， 有，，故选项B正确； C选项： 由均值为3得，，， 取，，，，满足众数为4， 但有1天有7人体温高于，故选项C错误； D选项： 由均值为2得，，， 由标准差为得， 所以，所以，故选项D正确. 故选：BD. 14． 【详解】因为100个数据，，，…，的平均值， 方差， 所以的估计值为，的估计值为． 设该市高中生的身体素质指标值为X， 由， 得， 所以． 故答案为：. 15． 【详解】事件：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同，所以其它4名同学排列在其它4个项目，且互不相同，为，事件：甲同学选安全防范服务，所以其它4名同学排列在其它4个项目，可以安排在相同项目，为，. 故答案为：. 16．/ 【详解】由题意可知，，， 所以，所以， 所以， 又因为，，，是互不相等的4个正整数从小到大排序的， 所以，，或，，， 所以这4个数据的中位数为． 故答案为：． 17．(1)有关 (2)分布列见解析； 【详解】（1）假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18．(1)； (2). 【详解】（1）三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队， 记事件“被分至甲队”， 事件“被分至甲队”， 事件“被分至甲队”， 当即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为； 当被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为； 当均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为； 所以，则， 同理知：新增登山爱好者均被分至乙队的概率也为， 所以三人均被分至同一队的概率为. （2）由题设，可能取值为， 为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则， 为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队， 设新增的第名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则 ，， ，， 所以， 为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则， 所以. 19．(1) (2)0.45 【详解】（1）由题意可知：，， 所以. （2）由题意可知：当发送信号0时，接收为0的概率为，接收为1的概率为， 可知：的可能取值有0，1，2，3， 则， ， 可得的“有效值” ， 即的“有效值”约为0.45. 20．(1) (2) (3)甲应该改选4号或3号箱． 【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品， 设分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子， 则，且两两互斥． 由题意可知，事件的概率都是，，． 由全概率公式，得． （2）依题意可得 ，同理可得， 故X的分布列为： X 1 3 4 P （3）在主持人打开1号箱的条件下，4号箱、2号箱、3号箱里有奖品的概率分别为 ， ， ， 通过概率大小比较，甲应该改选4号或3号箱． 21．(1) (2)分布列见解析，数学期望为元 【详解】（1）设事件为“取得的建盏是成品”，事件，，分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”. 则，，. 又，，， 所以 （2）设这3件中成品的件数为.由题可知. 因为，的可能取值为0，1000，2000，3000 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1000 2000 3000 所以元. 22．(1)16372 (2)①；② 【详解】（1）由题意 ， 若某天该商场有20000位顾客， 估计该天消费额在内的人数为； （2）设事件“顾客中龙腾奖”， 事件“顾客中旺旺奖”， 事件“顾客获得乙奖品”， 由题意知， 事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”， 则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况， 共有种； （ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况， 共有种； （iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况， 共有1种； 所有， ①由全概率公式可得， 即顾客获得乙奖品的概率为； ②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是， 所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是. 23．(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设事件表示共有次投中，事件B表示第二次没投中， 则表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中， 故， 表示一共投中2次，故， 则； （2）方法1：根据题意有可得取值为，的可能取值为， 故的可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以. 方法2：因为，， 所以，. 又因为，互相独立， 所以. （3）根据题意可知. ，， ， 记①， ②， 两式相减得， 故， 故. 所以 ， 又因为，且当时，， 所以. 24．(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. （2）（i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 25．(1) (2)分布列见解析，数学期望为. 【详解】（1）记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”， 则， 由全概率公式可得， 则所求概率为. （2）设事件表示小明填了个字，表示填到的字都是正确的. 的可能取值为0，5，10， ， ， . 随机变量的分布列为 故. 26．(1) (2) (3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15% 【详解】（1）由己知可得，，， 由题可列下表： 0 1 2 1.3 0.4 ， ． （2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述． 由小问1知，， ， 所求经验回归方程为． （3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%． 27．(1)答案见解析； (2)①证明见解析；②0.9988. 【详解】（1）的所有可能取值为. ， ， 所以的分布列为 -1 0 1 （2）①由题意， 得，所以 所以， 又， 所以 所以 ， 所以， ②记“该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统”为事件，“该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动系统”为事件， 因为， 所以由题意，得， ， 所以 ， 即该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率为0.9988. 28．(1)列联表见解析，能 (2)分布列见解析， 【详解】（1）列联表如下表 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关. . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01. （2）方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，. 所以； 的可能取值为：0，1，2，3 ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，. 所以. 因为. 所以，. 所以. 29．(1)能 (2)分布列见解析， 【详解】（1）解：零假设为：该校大学生是否喜欢跑步与性别无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于. （2）解：由题意可知抽取的男大学生有人，女大学生有人， 则随机变量的所有可能取值为， 可得，， ，， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以期望为. 30．(1) (2) (3)30 【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率 . （2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心， 则， 由全概率公式得. 故丁周日选择健身中心健身的概率为. （3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则， 设抽取次数为，则的分布列为 1 2 3 故， 又， 两式相减得， 所以 ， 所以在时单调递增， 可知当时，； 当时，； 当时，. 若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30. 学科网（北京）股份有限公司 $$