精品解析：北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考（第1～2章：勾股定理+实数）

八年级数学上学期第一次月考 范围：北师大版八上第1~2章：勾股定理+实数 一．选择题（共10小题） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（    ） A. 4的算术平方根是 B. 3的平方根是 C. 27的立方根是 D. 的平方根是 4. 下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求值，若结果保留整数，则值为（ ） A 17 B. 18 C. 19 D. 20 5. 若，则的值是（ ） A. 10 B. C. 3 D. 6. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知 下列关于与的结论正确的是（ ） A. 与互为负倒数 B. 与互为倒数 C. 与互为相反数 D. 与平方结果相等 8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 9. 在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：． 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是（ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于点M，于点N，，则的长是（ ）． A. B. C. 4 D. 二．填空题（共6小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 _______． 13. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______． 14. 如图，每个小正方形的边长为1，A、、是小正方形的顶点，则等于 _____度． 15. 若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为______． 16. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积______ 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是与． （1）求x和m的值； （2）求的平方根． 19. 如图，在中，是边上的一点，且，若，，求证：是直角三角形． 20. 如图是一个数值转换程序． （1）当整数x的值为16时，求输出y的值； （2）在输入整数x值后，始终输不出y值的情况？如果存在，请直接写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由； （3）一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，直接写出这样的x有多少个． 21. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式，第2式，第3式， 第4式． （1）根据规律填空：第5式______________； （2）若，求的值； 22. 如果三角形有一边上中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 23. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 24. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 25. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上学期第一次月考 范围：北师大版八上第1~2章：勾股定理+实数 一．选择题（共10小题） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的定义，算术平方根和立方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．，是有理数，故本选项不符合题意； B．是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．是分数，是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴是勾股数，符合题意； 故选：D． 3. 下列说法正确的是（    ） A. 4的算术平方根是 B. 3的平方根是 C. 27的立方根是 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念逐项判断即可，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：A、4的算术平方根是，故该选项错误； B、3的平方根是，故该选项错误； C、因为，，则27的立方根是3，该选项错误； D、，因为，则4的平方根为，故该选项正确； 故选：D． 4. 下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： x 18.3 18.4 18.5 18.6 187 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 34596 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值，若结果保留整数，则值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，结合表格，即可得到答案，熟知算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：结合表格可得， 结果保留整数为20， 故选：D． 5. 若，则值是（ ） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：A． 6. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．根据题意得出，进而求出，然后代入即可得出答案． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 7. 已知 下列关于与的结论正确的是（ ） A. 与互为负倒数 B. 与互为倒数 C. 与互为相反数 D. 与平方结果相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据的值，计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴与互为负倒数， 故选：A． 8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得： 故选：A． 9. 在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：． 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是（ ） A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】C 【解析】 【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断． 【详解】甲：， ∴甲正确； 乙：， ∵， ∴． ∴乙正确； 综上所述，甲、乙均对． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题． 10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于点M，于点N，，则的长是（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，设，则，于是，结合，，利用勾股定理，三角形面积不变性解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形面积的不变性，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 二．填空题（共6小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，首先根据二次根式有意义的条件，可得；然后根据一元一次不等式的解法，求出的取值范围是多少即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 12. 若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 13. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 根据平方根的性质列方程求解即可． 【详解】∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，每个小正方形的边长为1，A、、是小正方形的顶点，则等于 _____度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握基础知识是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理得：, ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴． 故答案为：45． 15. 若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为______． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，根据题意，得到，利用完全平方公式，求出的值即可得出结果． 【详解】解：设两条直角边为， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为：84． 16. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积______ 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）3． 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）利用零指数幂、绝对值、立方根和算术平方根计算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 一个正数x的两个不同的平方根分别是与． （1）求x和m的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质． （1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：将，代入中，得． ∵36的平方根是， ∴平方根是． 19. 如图，在中，是边上的一点，且，若，，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，勾股定理逆定理，连接，易得：，进而得到，进而推出，得到，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接． ，， ． ， ． ， ， 是直角三角形，， 是直角三角形． 20. 如图是一个数值转换程序． （1）当整数x的值为16时，求输出y的值； （2）在输入整数x值后，始终输不出y值的情况？如果存在，请直接写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由； （3）一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，直接写出这样的x有多少个． 【答案】（1） （2）1或0 （3）4个 【解析】 【分析】（1）将代入题目所给的程序，按照程序的运算步骤进行计算即可； （2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1； （3）根据题意，找出符合条件的两位数即可． 【小问1详解】 解：16的算术平方根是，4是有理数， 4是算术平方根是，2是有理数， 2的算术平方根是，是无理数， ∴输出y的值为； 【小问2详解】 解：∵1和0的任何次方根都是有理数， 当或0时，始终输不出y值； 【小问3详解】 解：∵25的算术平方根是，5的算术平方根是， ∴x可为25； ∵36的算术平方根是，6的算术平方根是， ∴x可36； ∵49的算术平方根是，7的算术平方根是， ∴x可为49； ∵64的算术平方根是，8的算术平方根是， ∴x可为64； 综上：这样的x有4个． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义和题目中程序的运算顺序． 21. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式，第2式，第3式， 第4式． （1）根据规律填空：第5式______________； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2）80 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化： （1）根据题意得出第5个式子即可； （2）先总结出规律，再求出n的值即可． 【小问1详解】 解：第1式， 第2式， 第3式， 第4式， 所以，第5个式子为：， 故答案为： 【小问2详解】 解：由（1）可得： ∴ ， ∴ 解得，， 经检验，符合题意， 所以：． 22. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）作的中线，根据三线合一得出，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义即可得出结论； （2）①作的中线，根据是“美丽三角形”,得出 ，根据勾股定理求得；②作的中线，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义得出，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，作的中线， ，是的中线， ，， 在中，由勾股定理得， ， 是美丽三角形. 【小问2详解】 解:①如图，作的中线，是“美丽三角形”, 当时，则 , 由勾股定理得 ②如图作的中线，是“美丽三角形”, 当时则， ， 在中，由勾股定理得 ， 则， 解得， ∴ 综上：或． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 23. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】此块空地全部种植花卉共需花费3600元 【解析】 【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，过A作于点E，三线合一求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再乘以单价即可． 【详解】解：如图，过A作于点E， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴（元）． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 24. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 25. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ， ， ， 即AB边上的高是 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得 ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$