2024届福建省高三下学期数学模拟考试分类专项练习：立体几何部分

2024届福建省高三下学期模拟考试分类专项练习 立体几何部分 一、单选题 1．（2024·福建三明·一模）已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 2．（2024·福建漳州·一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 3．（2024·福建泉州·二模）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（    ） A．直线∥平面PCD B．直线AF与平面PBC所成角的最小值是 C．直线直线PC D．三棱锥的体积随BF的增大而减小 4．（2024·福建漳州·三模）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建莆田·三模）若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（    ） A． B．2 C． D．4 6．（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024·福建漳州·三模）如图，四棱锥中，底面，且，，平面与平面交线为，则下列直线中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建莆田·二模）在正方体中，点在平面上（异于点），则（    ） A．直线与垂直． B．存在点，使得 C．三棱锥的体积为定值 D．满足直线和所成的角为的点的轨迹是双曲线 10．（2024·福建龙岩·一模）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（    ） A．不存在使得 B．若四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 11．（2024·福建厦门·二模）如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（    ）      A．圆锥的体积为 B．当为中点时，线段在底面的投影长为 C．存在，使得 D． 12．（2024·福建宁德·一模）在棱长为的正方体中，点P在正方形内含边界运动，则下列结论正确的是（    ）． A．若点P在上运动，则 B．若平面，则点P在上运动 C．存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形 D．若，则四棱锥的体积最大值为1 13．（2024·福建厦门·一模）如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则（    ） A．平面 B．二面角随着的减小而减小 C．当时，五面体的体积最大值为 D．当时，存在使得半径为的球能内含于五面体 三、填空题 14．（2024·福建漳州·二模）已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为 . 15．（2024·福建泉州·二模）在四面体ABCD中，，且，则该四面体的外接球表面积为 ． 16．（2024·福建厦门·一模）已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为 ． 17．（2024·福建漳州·三模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 . 18．（2024·福建福州·一模）已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 19．（2024·福建南平·二模）在正四棱台中，，，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为的球上，则平面截球所得截面的面积为 . 20．（2024·福建漳州·三模）在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 21．（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 四、解答题 22．（2024·福建龙岩·一模）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面. (1)作出（不要求写作法）； (2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 23．（2024·福建厦门·一模）如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面． (1)证明：平面平面； (2)已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值． 24．（2024·福建漳州·一模）如图，为圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，，是底面圆弧的三等分点，，分别为，的中点． (1)证明：点在平面内． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 25．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，，点G是线段BF的中点． (1)证明：平面DAF； (2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离． 26．（2024·福建泉州·二模）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，，点E、F、G分别为线段CD、PD、PB的中点． (1)证明：平面PAD； (2)求平面AFG与平面PBC夹角的余弦值； (3)设直线PC与平面AFG的交点为Q，求四边形AFQG的面积． 27．（2024·福建南平·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.    (1)求证：平面； (2)若，设平面与平面所成的角为，求的最大值. 28．（2024·福建莆田·二模）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，． (1)证明：平面； (2)若平面，求二面角的正弦值． 29．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值 参考答案： 1．C 【详解】试题分析： 由题意知，．故选C． 2．A 【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为， 则石磨的侧面积为，解得. 故选：A. 3．C 【详解】不妨设， 对于选项A：因为∥，且平面，平面， 可得∥平面， 假设直线∥平面PCD，且，平面， 可得平面∥平面，可知平面与平面没有公共点， 显然点为平面与平面公共点， 两者相矛盾，假设不成立，故A错误； 对于选项C：因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 又因为，，平面，可得平面， 由平面，可知， 又因为，E为线段PB的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得：，故C正确； 对于选项B：由选项C可知：平面， 则直线AF与平面PBC所成角为，且F为线段BC上的动点， 可得，当且仅当点F与B重合时，等号成立， 且，则， 所以直线AF与平面PBC所成角的最大值是，故B错误； 对于选项D：由选项C可知：平面，且E为线段PB的中点， 则三棱锥的高即为， 所以三棱锥的体积（定值），故D错误； 故选：C. 4．D 【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）, 由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故, 所以, 所以为外接球的半径，故外接球表面积为， 故选：D 5．B 【详解】设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即， 该圆锥的侧面积. 法一、因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 法二、令， 易知时单调递减，时单调递增，即， 所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 故选：B 6．B 【详解】因为平面平面，平面，平面面， 所以， 因为平面平面，平面，平面面， 所以， 所以，所成角即为所成角， 而所成角为，设正四面体的棱长为， 所以，所以， 所以.    故选：B. 7．D 【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设， 根据其对称性可知，过点， 又该八面体为正八面体，则面，又面，故； 显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，， 则，在直角三角形中，； 由可得，则； 故该八面体的表面积. 故选：D. 8．BCD 【详解】分别取PD、PC的中点，连接AE、EF、BF， 因为EF是的中位线，所以且， 又且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且， 又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD， 又平面与平面交线为，平面PAD，所以， 又，E是PD的中点，所以, 因为底面，平面，所以， 又，所以，又平面PAD， 所以平面PAD，又平面PAD， 所以，，，平面PDC， 所以平面PDC，又，所以平面PDC， 又平面PDC， 所以，故BCD对 由，，所以， 所以与PB所成的角就是BF与与PB所成的角即， 令， ， 在中，由余弦定理得, ，所以，故l与PB不垂直，故A 错； 故选：BCD    9．ACD 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面， 故，又,且平面， 故平面，平面，故， 同理可证,平面, 故平面,平面,故，A正确； 对于B，由于，假设存在点，使得，而平面， 平面，则平面，则平面或平面， 而直线与平面显然相交，故B错误； 对于C，由于，故四边形为平形四边形， 则，平面，平面，故平面， 同理可证平面，平面， 故平面平面，即平面和平面之间的距离为定值， 而平面，故M点到平面的距离为定值， 由于的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 则三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，直线和所成的角为，则M轨迹为以为轴、以所在直线上的线段为母线的圆锥被平面所截得的曲线， 由于平面，结合圆锥曲线的形成（淡蓝色部分为双曲线）， 可知满足直线和所成的角为的点的轨迹是双曲线，D正确 故选：ACD 10．ACD 【详解】正方体中，由，故中，不可能是直角三角形的斜边， 即不存在使得，A选项正确； 分别是棱的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形， 则四点共面，有，B选项错误； 若，则为上靠近点的三等分点， 取上靠近的三等分点，的中点，连接 则在正方形中，可得， 平面，平面，则有平面， 同理可由，证明平面， 平面，，所以平面平面， 点在侧面内，且平面，所以即为点的轨迹， ，C选项正确； 若，则为的中点，平面分割该正方体所成的两个空间几何体和， 平面在正方体上的截面为正六边形， 某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球， 正六边形的边长为，面积为， 正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为， 设该球的半径为，由体积法可得， 解得，所以该球的表面积为，D选项正确. 故选：ACD 11．BCD 【详解】对于A，设圆锥的底面半径为R，高为h，由题意知， 圆锥的母线长为，故， 故圆锥体积为，A错误； 对于B，当为中点时，设M在底面上的投影为H，则H为的中点， 则为线段在底面的投影， ，而，在中， ， 即，即线段在底面的投影长为，B正确； 对于C，作于T，作于，连接， 设圆锥底面直径为，由于， 即，则， ，则为正三角形，故T为的中点， 则，故，即为的四等分点， 由于平面底面，平面底面，底面， ，故平面，平面，故， 又，平面，故平面， 平面，故， 故当M与重合时，，C正确； 对于D，由C的分析知，，而， 故，D正确， 故选：BCD 12．ABD 【详解】A：因为平面，而平面，所以，而， 平面，所以平面，因为点P在上运动， 所以平面，因此，所以本选项结论正确； B：连接，因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 而平面，因此平面平面，当平面，所以有点P在上运动，因此本选项结论正确； C：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，所以本选项结论不正确； D：正方体的面积为，当点P在上时，高最长， 此时有：，而，所以， 所以的体积最大值为，本选项结论正确， 故选：ABD 13．ACD 【详解】A：由题设，面，面，则面， 由面面，面，则， 面，面，则平面，对； B：设二面角的大小为，点到面的距离为，则， 点到面的距离，仅在面面时取得最大值， 当时取最小值，即取最小值，即二面角取最小值， 所以，二面角先变小后变大，错；    C：当，如图，把五面体补成直三棱柱， 分别取的中点，易得面，， 设，则， ， 令，则， 令，可得或（舍），即， ，，递增，，，递减， 显然是的极大值点，故. 所以五面体的体积最大值为，C对； D：当时，和所在平面均垂直于面时构成正三棱柱， 此时正三棱柱内最大的求半径，故半径为的球不能内含于五面体， 对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，    由C分析结果，当五面体体积最大时，其可内含的球的半径较大， 易知，当时，， 设的内切圆半径为，则，可得， 另外，设等腰梯形中圆的半径为，则， 所以，存在使半径为的球都能内含于五面体，对. 故选：ACD 14． 【详解】做圆台的轴截面，如图：    由题意得：圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为，高为， 则该圆台的侧面积，解得， 所以. 故答案为：. 15． 【详解】如图，作平面ABC，连接AH，HB，HC， 易得，因平面DAH， 所以平面DAH，平面DAH，故， 由题可得，则． 不妨设，则有①， 中，由余弦定理，， 在中，②， 将两式相减化简即得：． 取线段AC中点E，过点E作平面ABC， 其中点O为外接球的球心，设外接球半径为R， 由余弦定理求得，    在直角梯形中，，由计算可得：， 则该四面体的外接球表面积为． 故答案为：. 16．2 【详解】设圆台的母线长为，高为，则， 因为圆台上、下底面的半径分别为1和2， 所以圆台的侧面积，轴截面面积， 由已知，化简得， 所以 解得． 故答案为：2. 17． 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 18．3 【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为，则. 故答案为：3. 19．/ 【详解】      由球的表面积为，所以，可知球的半径为， 设上下底面的中心分别为，因为， 从而可知球的球心与下底面的中心重合； 分别取和的中点，连接， 则在直角梯形中得， 则在直角梯形中得， 过点作的垂线，垂足为， 由于平面， 平面，所以， 由，，平面，从而平面， 在中，设， 则，则，和， 联立解得：， 又因为平面截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径， 所以圆面面积为. 20． 【详解】因为，，为的中点， 则有，， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面， 又为等腰直角三角形，所以其外接圆的半径， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 21． 【详解】由直三棱柱可知，平面， 又，所以两两垂直， 设直三棱柱外接球的半径为R， 通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同； 过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小， 因为， 则所求截面面积最小值为. 故答案为：. 22．(1)作图见解析；(2)为线段的中点，理由见解析；(3). 【详解】（1）延长交于点，经过点画直线，则直线即为所作直线，如图：   平面，则平面，同理平面，又平面，平面， 因此平面平面，即平面平面， 所以直线即为所作直线. （2）点为的中点，使平面.    由，得，而，则，即为的中点， 又为的中点，于是，而平面平面， 因此平面，所以线段的中点，使平面. （3）分别取中点，连接，则，而，则有， 又平面，于是平面， 即平面，而平面，则，由为中点，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 设向量为平面的法向量，则，取，得， 又为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 23．(1)证明见详解(2) 【详解】（1）    设AC与BD的交点为O，连接OF， 因为，且，所以， 因为，所以，，， 且，，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面EAC， 所以平面EAC， 又因为平面，且平面EAC， 所以平面平面 （2）    因为，平面， 所以两两垂直， 如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 因为点F为棱的中点， 所以， 设平面FBD的一个法向量为， 则，所以， 取，得， 所以平面FBD的一个法向量为， 记直线AD与平面FBD所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 24．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，如图， 因为，是底面圆弧的三等分点， ， ， 均为等边三角形， ，则四边形为菱形，， 因为，分别为，的中点，， ，故点在平面内. （2）作，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，则， 故， 设平面的法向量，则， 令，得，所以， 易知平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为 25．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取中点，连接，如图所示： 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，，，所以. 因为平面，且直线与圆柱底面所成角为， 所以，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 故点到平面的距离. 26．(1)证明见解析(2)(3)． 【详解】（1）取线段AB的中点M，连接ME、MG，如图所示， 点E为线段CD的中点， ， 又平面PAD，平面PAD 平面PAD， 中，点G为线段PB的中点，点M为线段AB的中点， ， 又平面PAD，平面PAD 平面PAD， 又，平面， ∴平面平面PAD， 又平面MEG 平面PAD （2）设平面AFG与平面PBC夹角为， 连接BD和AC交于点O，过点O作直线OH垂直于平面ABCD， 如图，以O为坐标原点， 以向量分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 , 所以. 设平面AFG的法向量为， 则，取 设平面PBC的法向量为， 则，取 则， 即平面AFG与平面PBC夹角的余弦值为． （3）设， 则， 故， 依题意可得向量与共面， 由平面向量基本定理可得，存在实数m，n，使得 得，故， 故，又 因为，所以， 所以， 故四边形AFQG的面积为． 27．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法一：因为，，， 所以，，即 又平面，所以 因为，平面， 所以平面； 解法二：同解法一. （2）解法一：设，如图所示，建立空间直角坐标系.    令，，设， 则有， 即，解得 同理可得 设平面的法向量为， 由 令，则，. 得平面的一个法向量为 又由（1）可知是平面的一个法向量，则有 当且仅当，即时取“” 又，所以的最大值 解法二：不妨设，由，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，    则根据题意可得： ，， 设平面的一个法向量为， 取，， 于是， 当且仅当，即时取“=” 又，所以的最大值. 28．(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）如图： 取中点，中点，连接， 一方面：因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 又， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 从而， 又因为面，面， 所以面， 另一方面：又因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为面，面， 所以面， 结合以上两方面，且注意到平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面； （2）若平面，又平面， 所以， 又， 所以以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，即，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 设是平面的法向量， 则，即，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则， 所以，即二面角的正弦值为. 29．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面，故平面， 因为平面，所以. （2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）， 设，则，由于，故， 则，， 则，，， 记平面的法向量为， 则，即，令， 则，即， 平面的法向量可取为， 则. 所以二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$