2024届福建省高三下学期数学模拟考试分类专项练习:函数与导数部分

2024届福建省高三下学期模拟考试分类专项练习 函数与导数部分 一、单选题 1．（2024·福建厦门·一模）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．3 B． C．0 D．1 3．（2024·福建龙岩·二模）已知，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·福建龙岩·一模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．的周期为3 5．（2024·福建三明·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．（2024·福建宁德·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建厦门·三模）设，，，设a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建泉州·二模）已知，若，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 10．（2024·福建莆田·二模）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论： ①在区间上“优于”； ②在区间上“优于”； ③在区间上“优于”； ④若在区间上“优于”，则． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 11．（23-24高三下·福建龙岩·三模）已知函数，则（      ） A．在上单调递增 B．是的零点 C．的极小值为 D．是奇函数 12．（2024·福建泉州·二模）定义在的函数满足：任意，则（    ） A．恒成立 B．可能是周期函数，且没有最小正周期 C．若在上单调，则一定是奇函数 D．若在上单调，则存在，使得 13．（2024·福建南平·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.  满足，的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 14．（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 15．（2024·福建福州·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（    ） A．的图像关于点对称 B． C． D． 三、填空题 16．（2024·福建龙岩·一模）定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为 . 17．（2024·福建三明·一模）已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ． 18．（2024·福建龙岩·三模）已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为 . 19．（2024·福建厦门·一模）已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为 . 20．（2024·福建厦门·三模）已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 四、解答题 21．（2024·福建南平·二模）已知函数，且图象在处的切线斜率为0. (1)求的值； (2)令，求的最小值. 22．（2024·福建漳州·一模）已知函数，且． (1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点． (2)讨论函数的单调性． 23．（2024·福建福州·一模）已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)设函数有两个极值点，且，若恒成立，求最小值． 24．（2024·福建厦门·一模）已知函数有两个极值点，． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 25．（2024·福建龙岩·一模）已知函数是大于0的常数，记曲线在点处的切线为在轴上的截距为. (1)若函数，求的单调区间； (2)当时，求的取值范围. 26．（2024·福建莆田·二模）已知函数． (1)证明：当时，； (2)若函数有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：． 27．（2024·福建厦门·三模）在平面直角坐标系中，两点的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点的“曼哈顿距离”为5，记为. (1)若点是满足的动点的集合，求点集所占区域的面积； (2)若动点在直线上，动点在函数的图象上，求的最小值； (3)设点，动点在函数的图象上，的最大值记为，求的最小值. 28．（2024·福建龙岩·三模）若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数k，b，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数. (1)判断函数是否为恒切函数，并说明理由； (2)若函数为恒切函数. （i）求实数的取值范围； （ii）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：. （注：是自然对数的底数.参考数据：） 参考答案： 1．D 【详解】当时，，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以，且， 所以 故选：D 2．C 【详解】因为，则， 由题意可得：，解得，所以. 故选：C. 3．A 【详解】因为，且在上单调递增，所以， 又在R上单调递减, 所以, 所以，成立， 时，不能得出成立. 故选：A. 4．C 【详解】令 ， 得得 或 ， 当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ； 令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ； 令 ， 得 ， 所以 ， 所以 ， 则，则， 所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ； 令 ， 得 ， 因为 所以 ，所以 ， 故C正确. 故选：C. 5．A 【详解】令，得，即， 令，得，得，所以函数为偶函数， 令，得， 令，得， ，或， 若，解得与已知矛盾， ，即，解得，， 令，得， ，，， ，所以函数的周期为4. . 故选：A. 6．B 【详解】设函数，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， 又，，， 因为，故，即， 故选：B 7．A 【详解】解：构造函数，则， 当时，，函数在上为减函数， 而，，，又， 所以，即， 故选：A 8．D 【详解】因为为奇函数，则， 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 令，可得，即， 由可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知8为的周期， 可知， 所以. 故选：D. 9．B 【详解】因为，所以， 设，则， 当单调递减，当单调递增， 所以，即， 综上，，即，所以， 设是直线上的点，是圆上的点， 而目标式为， 又，故． 故选：B 10．B 【详解】对于①：若在区间上恒成立， 结合余弦函数的图象可知：， 若，此时与必有两个交点， 由图象可知：不恒成立， 即不存在实数，使得对任意恒成立，故①错误； 对于②：对于，， 结合正切函数图象可知，不存在在实数，使得对任意恒成立，故②错误； 对于③：构建， 则， 令，解得；，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即； 构建， 则， 令，解得；，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即； 综上所述：， 即存在实数，使得对任意恒成立， 所以在区间上“优于”，故③正确； 对于④：因为，且， 若在区间上“优于”， 可知符合条件的直线应为在处的公切线， 则，可得，则切线方程为， 构建在即内恒成立， 可得； 由③可知：，可得; 综上所述：. 所以符合题意，故④正确； 故选：B 11．BC 【详解】对于A，，当时，，， 所以，故在上递减，故A是错误的； 对于B，当时，，故B是正确的； 对于C，当时，，，，所以， 故在上递增，又由在上递减，所以的极小值为，故C是正确的； 对于D，由于的定义域为，定义域不关于原点对称，故D是错误的； 故选：BC． 12．ABC 【详解】解：对于A，令，则， 当时，，故，即； 当时，，故，即； 当时， 所以，，于是恒成立，故A选项正确； 对于B，令，显然符合题意，是周期函数，且没有最小正周期，故B选项正确； 对于C，令，则，解得或， 当时，令，于是，这与在上单调矛盾， 所以，同理，所以， 令，则， 所以，则一定是奇函数，故C选项正确； 对于D，由C，在上单调，则一定是奇函数，， 假设存在，使得，则， 若，则， 令，则，这与在上单调矛盾， 所以不存在， 同理，若，则， 令，则，这与在上单调矛盾， 不存在，故D选项错误. 故选：ABC 13．ABD 【详解】对于A，由可知， 即. 从而，即，故A正确； 对于B，在两边同时求导，可得， 即. 代入即得，故B正确； 对于C，考虑，，则， 且， ， 故此时满足全部条件，但并不是奇函数（因为显然不过原点），故C错误； 之前已证，再由的图象关于直线对称，知，即. 故. 所以，故D正确. 故选：ABD. 14．ABD 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 15．ACD 【详解】对于A中，设函数的图象关于对称， 则关于对称，可得关于对称， 因为函数的图像关于点对称，可得，解得， 所以函数的图象关于对称，所以A正确； 对于B中，由函数的图象关于对称，可得， 因为，可得， 则， 两式相减得，即，所以B不正确； 对于C中，令， 可得， 因为，所以， 所以函数是以4为周期的周期函数， 由，可得，所以， 因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数， 所以， 由，可得， 即，令，可得，所以， 所以，所以，所以C正确； 对于D中，因为，且函数关于对称，可得， 又因为，令，可得，所以， 再令，可得，所以， 由，可得， 可得 又由函数是以4为周期的周期函数，且， 所以 ，所以D正确. 故选：ACD. 16． 【详解】因为函数满足，则关于直线对称， 又因为在上单调递减，则在上单调递增， 则由得， 即，解得，则解集为， 故答案为：. 17． 【详解】由，定义域为，， 则切线斜率，又， 所以切线方程为：，化简为：； 又因为圆的圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 则. 故答案为： 18． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 19． 【详解】函数的定义域为， 当时，可得在上单调递增，，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值，也是最小值， 又因为且，所以， 则，得，所以， 设，，令，得， 当，， 当，， 所以在区间单调递减，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 20． 【详解】因为当时，， 所以， 令，则，单调递增， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 因为， 所以， 所以， 大致图象如图：    所以成立的的取值范围是， 故答案为：. 21．(1)1 (2)0 【详解】（1）因为，所以， 因为图象在处的切线斜率为0, 所以，即，所以. （2）由（1）知函数， 的定义域为， ， 则，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上递减，在上递增， . 22．(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 则，， 所以在处的切线方程为:， 当时，，故， 所以曲线在点处切线的方程过坐标原点. （2）由（1）得， 当时，，则，故单调递减； 当时，令则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 23．(1)极大值；极小值 (2) 【详解】（1）当时，有， 令，即，解得或， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以时，取得极大值，极大值为， 时，取得极小值，极小值为. （2）因为， 所以 由已知函数有两个极值点， 所以方程有两个相异的正根 所以，即或， 又，所以，，所以； 所以对称轴为，二次函数与轴交点为、， 且，所以在对称轴的右侧，则有， 因为，即 ， 所以，其中， 令， 则， 令，解得均不在定义域内， 所以时，，在上单调递减， ， 所以，即最小值为. 24．(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设且， 若，则在上恒成立，即递增，不可能有两个极值点，不符； 故，又有两个极值点，则，是的两个不同正根， 所以，可得，即实数的取值范围是. （2）由（1）且，，不妨设， 则 ， 要证，需证，即， 只需证，即，令，则证， 由（1），时，即， 所以在上递增，又，故，即， 综上，. 为关键. 25．(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，在区间上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）函数，求导得，切线方程为：， 令，得，由，得， 又，，，又由，得， 即，令，， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在区间单调递增，在区间单调递减， 而，则由，得， 所以的取值范围是. 26．(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可得：函数，且，， 若，则在内恒成立， 可知在内单调递增，可得； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得， 且，则，则； 综上所述：当时，. （2）①由题意可得：， 令，整理可得， 设，则， 且，可知， 令，解得；令，解得； 则在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：有两个零点，则，解得， 若，令，则 则， 可知在内有且仅有一个零点； 且当趋近于，趋近于，可知内有且仅有一个零点； 即，符合题意，综上所述：的取值范围为； ②由①可知：，即， 若，等价于， 等价于， 令，则， 令，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 即， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得； 令，则， 令，则， 因为，则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立，可知在内单调递增， 则，即， 不妨设，则， 且，在内单调递减，可得， 即，可得； 即， 所以. 27．(1)8 (2)3 (3) 【详解】（1）设点，由，得， 的图象是以原点为中心， 顺次连接四点所形成的正方形， 将其上移2个单位长度即得的图象， 所以点集所占区域是： 以四点为顶点的正方形及其内部，面积为8. （2）设，则， 将看成关于的函数，则在或时取得最小值， 即， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，此时， 所以的最小值为3. （3）设点，则， 若存在实数，使， 则对任意的成立， 令，则， 令，则， 所以： ， 所以， 令，则是上的偶函数， 当时，若，即， 则，当且仅当时等号成立； 若，则，当且仅当时等号成立， 所以存在实数且，使得的最小值为. 28．(1)是恒切函数，理由见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）设函数为恒切函数，则有， 使且，即， 解得，故函数是恒切函数. （2）（i）由函数为恒切函数可知， 存在，使得且， 即解得，， 设，， 当时，递增；当时，递减. ，即实数的取值范围是. （ii）当时，， 函数为恒切函数.又， 所以存在，使得，即. 令，则， 当时，递减；当时，递增. 所以当时， ，， 故在上存在唯一， 使得，即. 又由， 得， 由得，所以. 又，所以当时，有唯一零点， 故由得，即. . 学科网（北京）股份有限公司 $$