单元检测06 函数的概念与性质（能力卷）- 2024-2025学年高一必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019）

单元检测06 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·上海·期中）已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．函数和在上有相同的单调性 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 10．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C． D．的值域是 11．（23-24高一上·广东佛山·期末）已知全集为R，对于给定数集A，定义函数为集合A的特征函数，若函数是数集A的特征函数，函数是数集B的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 13．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 14．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 16. (15分) （23-24高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 17. (15分) （23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 19. (17分) （22-23高一下·北京顺义·期末）设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为． (1)若，求的一个二阶划分，使得； (2)若．求证：不存在的二阶划分满足； (3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D A B A C ABC ABC 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 2．C 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义为， 函数的定义域为    ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数与函数， 其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意. 故选：C. 3．C 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 4．D 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解. 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 5．A 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 6．B 【分析】利用数形结合，这里面有两个等腰直角三角形，再结合几何意义就能找到最小值点. 【详解】 解：过点D作于点M，延长交y轴于N，如图所示： ∵一次函数与坐标轴交于点， 于，设，则， 延长交y轴于N， ， 当时，则，此时，取到最小值， ，∴此时，解得， 是的中点，轴，， 故选：B． 7．A 【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能. 【详解】对于选项A，当时，. 由可得， 与函数的定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增. 故，即. 因为 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于难题.常见函数解析式的求法为： （1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式； （2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式； （3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现； （4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式； （5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值. （6）反函数法：根据反函数的概念. 8．C 【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可. 【详解】对于A：，， 因为，所以， 因为，所以恒成立， 又因为不相等，所以，A选项错误； 对于B：， 所以恒成立， 所以，又因为不相等，， 所以， 又，， ，， 所以， 所以，B选项错误； 对于C: 因为不相等，不妨设， 因为， 所以， 所以，C选项正确， 对于D：不妨设在上单调递增，任取，满足， 则， 因为， 所以，所以， 所以单调递减，D选项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围. 9．ABC 【分析】由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据，即可判断选项C；利用的定义域，即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，此时幂函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，此时幂函数（为常数）为奇函数，故B正确； 对于C，当时， ，故幂函数（为常数）的图象始终经过点，故C正确； 对于D，当时，幂函数（为常数）的定义域不包含0，故D错误. 故选：ABC 10．ABC 【分析】对于A：根据分式的意义运算求解；对于B：根据单调性的性质分析判断；对于C：直接代入运算即可；对于D：分析可知，分类讨论即可得结果. 【详解】对于选项A：令，解得， 所以的定义域为，则A正确； 对于选项B：若，则， 因为在上单调递增，且， 可知在上单调递减，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则，且，可得， 当时，； 当时，； 所以的值域是，故D错误； 故选：ABC． 11．ABC 【分析】根据特征函数的定义，一一验证选项中的函数是否满足特征函数的定义，即可判断出答案. 【详解】对于A，由集合A的特征函数的定义可知A不为空集， 则不为空集，如图示：Ⅰ部分表示，Ⅱ表示， Ⅲ表示表示，Ⅳ表示， ， 当时，，故， 当时，中至少有一个为0,，此时， 符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，A正确； 对于B，当时，如上图， 若x取值在Ⅰ部分，则，则； 若x取值在Ⅱ部分，则，则； 若x取值在Ⅲ部分，则，则， 当时，，则， 符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，B正确； 对于C，当时，，则； 当时，即x取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分， 若x取值在Ⅰ部分，，则， 若x取值在Ⅲ部分，，则， 若x取值在Ⅳ部分，，则， 故此时符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，C正确； 对于D，当时，即x取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分， 当x取值在上图中Ⅳ部分时，此时，则， 不符合特征函数定义，故不是集合的特征函数，D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解集合A的特征函数的定义，明确其含义，从而结合定义去判断一个函数是否为一个数集的特征函数. 12． 【分析】根据题意，列出不等式求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴的定义域为． 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14． 【分析】由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案． 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即函数在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得． 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， 同理可得， 设， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式； （2）分析每支函数的单调性，结合函数的单调性得出间断点处函数值的大小关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）令，得，则 得即 （2）当时，在上不单调． 当在上单调递增时，得． 当在上单调递减时，得． 综上，的取值范围为． 16．(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元 (2)年产量为吨时，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得； （2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求. 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 17．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 18．（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据二阶划分的定义，结合第一问的条件，即可求解； （2）首先假设存在的二阶划分满足，再计算，即可推出矛盾，即可证明； （3）根据二阶划分的定义，并结合奇数集合和偶数集合，即可推理求解. 【详解】（1）中所有元素之和为中所有元秦之和为 且 ∴ ∴，即可知 ∵ ∴ （2）假设存在符合条件的一个二阶划分满足， 则，从而是3的倍数 又∴ ∵55不是3的倍数 ∴假设不成立 ∴不存在的二阶划分满足 （3）任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以2，…经过次以后． 商必为奇数，此时记商为，即，其中为奇数． ∵，则，即 ∴若为奇数时，，即；当为偶数时，； ∴A中的任意一个偶数的位置都是确定的，且与的位零相关． ∴可知是由中的奇数1，3，5，…的位置确定． 设表示中所有的奇数的集合，则等于的子集的个数． 当是奇数时，中的奇数个数有个，此时的子集个数有个，即 当是偶数时，中的奇数个数有个，此时的子集个数有个， 即 所以 【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义问题，以及推理证明的综合应用，难度较大，本题的关键是理解二分划分的定义，以及理解的定义. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元检测06 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·上海·期中）已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．函数和在上有相同的单调性 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 10．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C． D．的值域是 11．（23-24高一上·广东佛山·期末）已知全集为R，对于给定数集A，定义函数为集合A的特征函数，若函数是数集A的特征函数，函数是数集B的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 13．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 14．（23-24高一上·四川成都·期中）若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 16. (15分) （23-24高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 17. (15分) （23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 19. (17分) （22-23高一下·北京顺义·期末）设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为． (1)若，求的一个二阶划分，使得； (2)若．求证：不存在的二阶划分满足； (3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$