单元检测05 函数的概念与性质（基础卷）- 2024-2025学年高一必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019）

单元检测05 函数的概念与性质（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．或1 5．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 7．（24-25高一上·全国·课后作业）高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，满足的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河南商丘·期中）函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．是偶数 D．是奇数 11．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 13．（24-25高三上·北京·开学考试）若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 14．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 16. (15分) （21-22高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 17. (15分) （24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 18. (17分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 19. (17分) （24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元检测05 函数的概念与性质（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．或1 5．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 7．（24-25高一上·全国·课后作业）高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，满足的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河南商丘·期中）函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．是偶数 D．是奇数 11．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 13．（24-25高三上·北京·开学考试）若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 14．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 16. (15分) （21-22高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 17. (15分) （24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 18. (17分) （24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 19. (17分) （24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A A B C D ABC AD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 2．B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 3．D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 4．A 【分析】令，结合定义域求解即可. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 令,解得，又，所以. 函数的零点是1. 故选：A. 5．A 【分析】先计算，从而，由此能求出结果. 【详解】解：函数， ， . 故选：A. 6．B 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 7．C 【分析】确定函数的定义域，结合复合函数的单调性判断在时的单调性，即可求得的值域，根据高斯函数的定义，即可求得答案. 【详解】由，得，解得， 则的定义域为， 当时，令，函数在上单调递增， 在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为， 又因， 所以根据高斯函数定义可知的值域为． 故选：C 8．D 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 9．ABC 【分析】分别求解和，依次判断四个选项即可. 【详解】，，故选项A正确； ，，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，故选项D错误. 故选：ABC.. 10．AD 【分析】当为偶数，恒大于0，从而得出为奇数，再由结合图像得出. 【详解】当为偶数时，恒大于0，所以为奇数. 当时，，从图象可知此时，即. 故选：AD. 11．ABD 【分析】先根据条件确定函数的单调性及对称性，根据单调性来比较大小确定AC；利用单调性及对称性解不等式确定D；根据单调性求出最值确定B. 【详解】任意给定，都有，则函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 12．/ 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 13． 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知对任意正数恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 则的最大值是， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 15．（1）（2） 【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果； （2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 16．(1) (2)当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解． （2）当时，通过二次函数的配方法可得，取得最大值，当时，结合均值不等式公式可得，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时 ， 当时， ， 所以. （2）当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 17．(1)作图见解析 (2) (3)或 【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可； （2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的x的取值集合即可； 【详解】（1）由题意作出函数图象如图所示. （2）由图可知，单调递增区间为. （3）由图可知，使的x的取值集合为或. 18．(1) (2)图象见详解 【分析】（1）利用函数的解析式由内到外可逐层计算出的值； （2）根据函数的解析式可画出该函数的图象. 【详解】（1）因为， 则，； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    19．(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分及进行讨论，结合根的判别式计算即可得； （2）参变分离后借助换元法计算即可得； （3）令，则可结合一次函数的性质计算即可得. 【详解】（1）当时， ，此时，不符合要求， 当时，， 若不等式对任意恒成立，则有， 即，该不等式组无解， 故不存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）由题意可得：当时，恒成立， 令，则，则， 由在上单调递增，故， 则，故； （3）设， 由题意可得在上恒成立， 故有，即， 由①得或， 由②得， 即可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$