函数与导数-天津市部分区2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

天津市部分区2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·天津北辰·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津河北·二模）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 6．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津南开·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②在上是单调函数； ③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根 A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024·天津河东·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·天津河西·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 14．（2024·天津和平·二模）已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ． 15．（2024·天津河东·二模）已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 16．（2024·天津北辰·三模）若函数有四个零点，则实数的取值范围为 . 17．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 18．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 19．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 20．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 21．（2024·天津河东·一模）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)函数，证明：． 22．（2024·天津和平·一模）已知函数，（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间： (2)设在处的切线方程为，求证：当时，； (3)若，存在，使得，且，求证：当时，. 23．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)若函数为增函数，求的取值范围； (2)已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 24．（2024·天津河北·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时. （ⅰ）求的单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； (3)设，且，求证：. 参考答案： 1．B 【分析】根据题意，由给定的函数的图象，结合函数的单调性与奇偶性性质，结合排除法，即可求解. 【详解】对于A中，函数，当时，可得， 所以，不满足图象，所以A错误； 对于C中，函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数， 此时函数的图象关于轴对称，所以C错误； 对于D中，函数，当时，可得， 由反比例函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，所以D错误， 经检验，选项B中函数满足图中的性质，所以B正确. 故选：B. 2．B 【分析】利用奇函数的定义与性质可判定①②，通过导数研究函数的单调性、最值可判定③④. 【详解】不妨令，则 因为为奇函数，所以，即①错误； 由上可知， 令可得或0，有三个零点，即②错误； 对于， 显然时，此时单调递减， 时，此时单调递增， 不难发现时，，时， 所以，时，， 所以时，， 由奇函数的性质可知的解集为； 且时，，故时有， 则，都有， 所以恒成立，即③④正确； 故选：B 【点睛】思路点睛：根据奇函数的对称性性质结合导数研究函数的单调性、极值与最值计算即可，另外多积累常用的几类函数会帮助比较大，形如等. 3．D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可. 【详解】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 4．D 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 5．C 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 6．C 【分析】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案． 【详解】， ， ，则, 故. 故选：C. 7．B 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小. 【详解】由函数是增函数，则，所以， 由函数是增函数，则，所以， 由函数是减函数，则，所以， 由，， 由函数是增函数，则，即， 故选：B. 8．C 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小. 【详解】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 9．A 【分析】由指数函数与对数函数的性质确定的范围，进而确定大小关系. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，，，， 所以， 故选：A. 10．C 【分析】由偶函数的性质分析求出,根据复合函数的单调性，即可判断①，结合导数判断函数单调性即可判断②，根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④. 【详解】函数是偶函数， 则有， 即， ，①正确； 则， 设，由于，易知在上单调递增，则， 所以在上为增函数， 而为增函数，则在上是单调函数，②正确； ，当且仅当时，等号成立， 则的最小值为，③正确； 为偶函数且在上为增函数，其最小值为， 由于，所以，故方程没有实数根；④错误． 故选：C． 11．A 【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解. 【详解】， 故, 故选：A 12．A 【分析】先解出需要比较大小的数，找中间变量结合指数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为所以 由得，故， 构造，又，故单调递增， 则有，显然， 所以 故选：A. 13． 【分析】根据，得到，根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可. 【详解】由得， 由得， 令得， 因为的图象关于直线对称，所以， 由得， 由得， 则，， 所以，为周期为4 的周期函数，， 在中，令得，则， 在中，令得，则， 令得，则，， . 故答案为：. 14．,,． 【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围． 【详解】方程，即， 结合，得，原方程可化为， ①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意； ②，记， 的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以的最小值为， 结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； ③，则， 在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为， 的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值， 当时，即时，函数的最小值， 观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； 当时，函数的最小值， 方程即的根的判别式△， 且方程即的根的判别式△， 结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意． 综上所述，或，即实数的取值范围是,,． 故答案为：,,． 【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15．,,． 【分析】作出的图象，分、、、及五种情况，分别作出图象进行讨论，即可得答案． 【详解】依题意画出的图象如图所示： 因为函数， 所以， 当直线与相切时， 由，得， ，解得， 由图可知，①当时，函数的图象与的图象无交点，不满足题意； ②当时，函数的图象与的图象交于点，不满足题意； ③时，当经过函数图象上的点时，恰好经过函数图象上的点， 则要使方根恰有2个不同的实数根， 只需，即，故； ④当时，函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意； ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意． 综上，或． 所以的取值范围为：,,． 故答案为：,,． 【点睛】方法点睛：求解函数零点个数的常用方法： (1) 直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 16． 【分析】分析可知关于直线对称，由对称性可知当时，有2个零点，令，化简整理可得：与在内只有一个交点，利用导数分析的单调性和极值，结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 可知关于直线对称， 原题意等价于：当时，有2个零点，且，即， 若，则， 显然， 若时，令，可得， 令，可知与在内只有一个交点， 则，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，又， 可得的图象如图所示， 由图象可知：或或，解得或或， 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是关于直线对称，根据对称性可得当时，有2个零点，这样可以去绝对值，把问题转化为常规问题. 17． 【分析】先作出的图象，根据k的范围分类讨论的图象，使得函数与函数的图象恰好有4个交点，求出对应k的范围即可． 【详解】时，，单调递增，的图象： 令， 函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点． ①当k＝0时，， 如图， 显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意； ②当k＜0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则； ③当k＞0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点， 则与在时有两个交点， 即有两个正实数根， 即有两个正实数根， 令， 则与在时图象有两个交点， ， 令，， 则，∴在时单调递增， ∵，，， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴， ∴如图： ∴． 综上所述，． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查利用导数和数学结合思想研究方程的根、函数的图象的交点问题，需要熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法，并能作出函数图象，结合图象进行求解． 18． 【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数在区间和上零点个数，然后根据在区间上有1个零点，函数在区间上有2个零点或根据在区间上有2个零点，函数在区间上有1个零点，即可得出结果. 【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根； 当时，令，得，该方程至多两个根， 因为函数恰有3个不同的零点， 所以函数在区间和上均有零点， 若函数在区间上有两个零点， 即直线与函数在区间上有两个交点， 当时，； 当时，，此时函数的值域为， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则或， 解得或， 若函数在区间上也有两个零点， 令，解得，， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则且， 解得； 所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得， 当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时, 需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，其中分段函数中一段可以有2个交点也可有1个交点，据此结合总共有3个交点求解，考查分类讨论思想，是难题. 19．(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，， 在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上有唯一实根， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ，同时取对数得， ， ，， （3）若时，由已知得最多有一个零点， 当时，由已知得当时，取得最小值， ， 当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，， 由， 故在有一个零点， ， ，， 设，， 在上单调递增， ，， ， 在上有一个零点， 在上有两个零点， 综上得到的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是对参数范围分类讨论，然后找到符合零点要求的参数范围，得到所要求的参数范围即可． 20．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导可得，由代入计算，即可求解； （2）求导可得，然后分讨论，即可求解； （3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果. 【详解】（1）因为，则， 由可得，解得. （2）函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时， 对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时， ，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时 ，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. （3）由，可得，即，其中， 令，， 若存在，不等式成立，则，， ，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在端点或处取得最小值． 因为，，所以， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是． 21．(1)； (2)0； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得，即可求得切线方程； （2）利用导数判断的单调性，即可求得函数最小值； （3）由，求得与的关系；对目标不等式分离参数，构造函数求得其最大值；再结合关系，即可证明. 【详解】（1） ，，切线斜率为 故切线方程为，即. （2） ，令，可得， 当，；，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数的最小值. （3），由① 欲证明，只需要， 令， 令 在区间上单调递增，则，故； 则在区间上单调递增，只需证明， 由①可知， 由（2）可知， 只需证明， 化简为：成立即可，令， 则在区间上单调递增， 故，所以得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是：对目标式分离参数，转化为求解的最大值，结合关系，消去参数后，构造函数，进而利用导数求其最小值即可证明. 22．(1)单调递增区间，单调递减区间 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导数，解不等式即可得解； （2）求出切线方程，令，利用导数求出函数的单调性，即可得证； （3）由的单调性，得出的单调性，转化为，可转化为，构造函数利用导数求最值即可得证. 【详解】（1）因为，定义域为， 令，即， 所以递减区间为，递增区间为. （2）因为，所以，而， 所以在点处的切线方程为：， 当时，令， 由，，当时，，当时，， 所以在递减，在上单调递增，故，即， 所以，所以， 所以在时恒成立， 即时，得证. （3）由题意可知， 因为时，， 令，所以在时单调递减， 所以，所以在上为减函数，且，此时， 则由（1）有在上单调递减，在上单调递增，且，此时， 由题意，设，    设与交点的横坐标为，则，有， 因为，且， 所以，又， 所以， 令，则 ， 令，则， 所以时，，时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以，即， 所以，， 所以在单调递增. 在时，， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三步证明困难，关键在于由，转化为，再利用导数求出在上的最值. 23．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【详解】（1）∵，则， 若是增函数，则，且，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递增，在递减， 故，∴的取值范围为. （2）（i）由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递减，在递增， 故， 即，当且仅当时等号成立， 令，可得， 综上； （ii）∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当时，； 当时，； 且，故对恒成立，故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则，可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 24．(1). (2)（i）的单调递增区间是，单调递减区间是 ； 极大值，没有极小值； （ii）. (3)证明见解析. 【分析】（1）求导数得，可求得切线方程； （2）求导数得单调区间，可求得最值，再对求导数，可得最值； （3）利用分析法和放缩法，可求出结果. 【详解】（1）时， ，整理得. 曲线在点处的切线方程为. （2）（ⅰ） 令，解得 . ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 函数单调递增区间是，单调递减区间是 有极大值，没有极小值； 的极大值 （ⅱ） 设， ， 令，解得. ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 而 的最小值为. （3）当时，要证 两边同时取对数，即证， 即证，两边同时乘以， 即证， 而， 由（2）可知， 令，则，代入上式，得 ， ， . 【点睛】求解函数单调区间的步骤: (1)确定的定义域: (2)计算导数; (3)求出的根; 4)用的根将的定义域分成若干个区间， 考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间： ，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； ，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 学科网（北京）股份有限公司 $$