三角函数与解三角形-陕西省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

陕西省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则 （   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在区间单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西铜川·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西商洛·三模）已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西渭南·二模）关于函数，给出如下结论： ①的图象关于点对称 ②的图象关于直线对称 ③的最大值是3 ④是函数的周期 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西铜川·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知中内角的对边分别为，若，则 . 12．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则 ． 13．（2024·陕西商洛·模拟预测）在中，所对的边分别为.若，则 . 14．（2024·陕西宝鸡·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，其中为锐角，的外接圆半径为，且满足，则边等于 ． 15．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，角的对边分别是，已知，三角形面积为12，则 ． 16．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且的外接圆半径，则面积的最大值为 ． 18．（2024·陕西渭南·二模） ． 19．（2024·陕西榆林·二模）在中，，则 . 三、解答题 20．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，设函数. (1)当时，求函数的值域； (2)已知在中，内角的对边分别为，若 ，且，求面积的最大值. 21．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若，点是线段上的一点，，，求的值． 22．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，角的对边分别是． (1)求证：； (2)若，面积为1，求边的长． 23．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求证：； (2)求的取值范围. 24．（2024·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 25．（2024·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．） ①记的面积为S，且；②已知． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 26．（2024·陕西西安·三模）在中,角的对边是,已知. (1)证明:; (2)若边上的高为,边上的中线为,求的面积. 参考答案： 1．B 【分析】由正弦函数的有界性可得或，再利用差角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，则，当且仅当取等号， 而，则或，因此， 所以. 故选：B 2．B 【分析】由的范围，可得函数的解析式，换元整理可得，函数上不单调，判断出A的真假；求出的解析式，可得函数图象关于对称，判断出B的真假；由A选项的分析，可得函数的最值，判断出C选项的真假；由B选项的分析，可得在的根关于对称，可得方程的根的和的集合，判断出D的真假． 【详解】A．因为，则， 设，且函数单调递增， 设，， 开口向下，对称轴， ，单调递增，，单调递减， 即函数在上不单调，所以A不正确； B．因为， 可得函数函数图象关于对称，所以B正确； C．由A选项的分析，当，， 显然，，所以C不正确； D．由B选项的分析，函数的图象关于对称，函数草图如下： 当方程在区间有一个实数根时，所有根之和； 当方程在区间有两个实数根时，所有根之和； 当方程在区间有四个实数根时，所有根之和； 所以所有的根之和组成的集合为，所以D不正确． 故选：B． 3．A 【分析】首先根据平方关系、商数关系求出，再根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，，可得，从而，． 故选：A. 4．A 【分析】根据和差角公式化简可得，即可根据二倍角公式求解. 【详解】， . 故选：A. 5．C 【分析】整体代入法求得的零点，根据题意列出不等式组即可求解. 【详解】令，则，可得， 故的零点有…，，…， 要使在上有且仅有4个零点， 则，解得． 故选：C． 6．A 【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解. 【详解】因为，其中， 因为的图象向右平移φ个单位长度得到函数， 所以，所以. 故选：A. 7．A 【分析】结合正弦函数图象的平移先求出的解析式，然后结合正弦函数的单调性即可求解． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数， 令，， 则，， 若函数在区间和上均单调递增， 则，解得． 故选：A． 8．B 【分析】根据是否成立即可判断①；根据是否成立即可判断②；令，再结合二次函数的性质即可判断③；根据是否成立即可判断④. 【详解】对于①，， ， 则， 所以的图象不关于点对称，故①错误； 对于②，， 所以的图象关于直线对称，故②正确； 对于③，， 令， 则， 则， 当时，， 所以的最大值是3，故③正确； 对于④，， 所以不是函数的周期，故④错误. 所以正确结论的个数为个. 故选：B. 9．A 【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案. 【详解】令， 由题意可得，则， 又因为，所以， 函数的对称轴为， 则， 即， 即，结合，解得. 故选：A. 10．A 【分析】利用和差公式、辅助角公式化简得，然后通过整体代换，根据诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】， . 故选：A. 11． 【分析】利用正弦定理边化角，再利用基本不等式，结合正弦函数的有界性求解即得. 【详解】在中， 由及正弦定理，得，即， 当且仅当时取等号，而，因此，且， 所以. 故答案为： 12．/ 【分析】利用余弦定理、正弦定理可得答案. 【详解】，， 两式相减，得， 即， 由正弦定理可得， 又，． 故答案为：． 13．2 【分析】应用余弦定理计算求参即可. 【详解】由余弦定理得，代入数据得，解得. 故答案为：2. 14． 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用辅助角公式求出，然后利用正弦定理求出. 【详解】在中，，外接圆半径为，由正弦定理得， 而为锐角，则，由，得， 整理得，即，由，得， 则，即，由正弦定理得. 故答案为： 15．6或8 【分析】由三角形面积公式得到，由同角三角函数关系得到，分两种情况利用余弦定理求得的值. 【详解】在中，因为三角形面积为12，所以， 解得，所以． 当时，由余弦定理得，解得； 当时，由余弦定理得，解得，综上，或． 故答案为：6或8. 16． 【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即. 【详解】中，，， 所以，所以， 根据正弦定理，， 即， 因为，所以， 由为三角形内角可知，， 根据正弦定理，， 所以 ， 其中，， 当时取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 17． 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边，再利用余弦定理结合基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 此时，则， 所以面积的最大值为. 故答案为： 18．/ 【分析】综合运用对数恒等式、对数的运算性质和三角函数诱导公式进行计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 19． 【分析】利用余弦定理结合已知条件直接求解即可 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为： 20．(1) (2)1 【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域； （2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值. 【详解】（1）， ， 当时，， ， 所以函数的值域为 （2）由（1）可知， 又，所以， 因为，所以，故， 因为，由可知，， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立， 故三角形面积， 即面积最大值为. 21．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解； （2）由的面积比值得（角平分线定理），设，则，， ，再通过余弦定理列式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以 . 即, 由正弦定理得， 又、，则或（舍去）． 所以. （2）因为，设中边上的高为， 所以，所以， 设， 由，，, 所以，则，， , 在中，由余弦定理得，   设的中点为，连接， 如图所示，由,则， 在中，， 所以，   解得或（舍去）， 所以. 22．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据题中等式利用同角三角函数商关系公式，两角和的正弦公式，三角和内角和定理，正弦定理化简得到结果； （2）利用（1）的结果计算，再利用三角形面积公式计算出，最后利用余弦定理计算出； 【详解】（1）证明：根据，以及，， 得，． 所以，即， 根据，得． 所以， 由正弦定理，得，因此． （2）由（1）知，，， ， 所以，得，， 又， 所以由余弦定理得． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理变形，利用两角和差公式求得，然后利用正弦函数性质即可求得； （2）利用三角恒等变换得，由条件求的范围，结合正弦函数性质求解范围即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为为锐角三角形内角，所以，， 所以，所以，即； （2）， 由题意得，解得，所以， 所以，所以， 即的取值范围为. 24．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到，求出； （2）由余弦定理得到，根据三角形面积得到方程，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； （2）因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 25．(1)； (2). 【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦化简即得. （2）利用正弦定理化为角B的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围. 【详解】（1）选条件①，由，得，整理得，而， 所以. 选条件②，由及正弦定理，得， 而，则，整理得，而， 所以. （2）由（1）知，由正弦定理得， 因此 由为锐角三角形，得，解得，因此， 则，于是，， 所以周长的取值范围是. 26．(1)证明见解析; (2)的面积为. 【分析】（1）利用三角函数恒等变换以及正弦定理化简已知等式可得,可求,可得 ,即可证明; （2）由题意可求,在△BEC中, 由余弦定理可得,利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：因为 则, 由正弦定理得：, 因为 所以 又因为，所以, 所以 所以 因为 所以所以，即得证； （2）因为BC边上的高AD为2,AC边上的中线BE为, 所以 所以, 在△BEC中,由余弦定理得: , 所以,即 ,解得, , 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$