期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：人教A版2019必修第一册第1-3章）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

期中押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：人教A版2019必修第一册版第1-3章 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 6．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 10．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 11．（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 13．（23-24高一上·云南保山·期中）若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大． 14．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 16．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 17．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 18．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：人教A版2019必修第一册版第1-3章 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】因为集合或， 所以 所以， 故选：B 3．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项B、D， 又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：A. 5．（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 6．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得. 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得， 解得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 7．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 8．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围后，要分类讨论a的范围，再求解相应不等式，这里也很容易出错. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】根据题意，先将集合化简，再由集合子集的定义求解，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 当时，，符合题意； 当时，则，则或，解得或； 综上所述，或或. 故选：ABC 10．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB. 11．（23-24高一上·四川乐山·期中）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 13．（23-24高一上·云南保山·期中）若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大． 【答案】5 【分析】先求出年平均利润关于机器运转时间的解析式，再利用基本不等式求解最值. 【详解】每台机器运转年的平均利润为，且， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元. 故答案为:5. 14．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数的定义域为，满足， 当时，， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 因为对任意，都有， 当时，令，解得或，如下图所示： 由图可知，，故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案； （2）根据两个方程有公共解可求实数的值． 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 16．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）转化问题转化为恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）不等式，即为， 则有， 解得或， 所以不等式的解集为或． （2）不等式，即为， 所以，只需的最小值大于或等于即可， 因为， 当且仅当即时取等号． 所以的最小值为，所以， 故的取值范围是 17．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 18．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． （2）解：由题意，函数，令，可得， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 19．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】（1）因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； （2）依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$