22.2二次函数与一元二次方程　课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 人教版·九年级数学·第22章 二次函数 学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式） 之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不 等式的解集.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 第一课时 二次函数与一元二次方程的关系 思考：一次函数y＝kx＋b的图象与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？ 问1、一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ ， ） 问2 、一元一次方程 x＋2＝0的根为________ －2 0 x=－2 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 自主学习 结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的 就是一元一次方程kx＋b＝0的根 横坐标 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： 考虑以下问题： h=20t-5t2 新知探究 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：令h=15，则 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？ h=20t-5t2 1. 二次函数与一元二次方程的关系 解得：t1=1，t2=3. 15=20t-5t2, （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ 20 2 解：令h=20，则 答：当球飞行2秒时，它的高度为20米. h=20t-5t2 解得：t1=t2=2. 20=20t-5t2, （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 ∴球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 解：令h=20.5，则 即 t2-4t+4.1=0, ∵ Δ=(-4)2-4 ×4.1<0, ∴此方程无实数根. 20.5=20t-5t2, （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 解：令h=0，则 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. 20t-5t2=0 解得：t1=0,t2=4. 从上面发现，二次函数 y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 知识来敲门 二次函数与一元二次方程的关系： 例 已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数值求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 思考 2. 深入讨论二次函数与一元二次方程的关系 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ 无公共点 先画出函数图象： 公共点的函数值为 。 0 对应一元二次方程的根是多少？ x1 =-2， x2 =1. x1 =x2 =3. 方程无实数根 有两个不等的实根 有两个相等的实根 y=x2+x-2 y=x2-6x+9 y=x2-x+1 0=x2+x-2 0=x2-6x+9 0=x2-x+1 你可以得到什么结论呢 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系. 成果展示 练习1 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 练习2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数， 求正整数m的值． 3.图象法解一元二次方程 例 如图所示， 　－2 2 2 4 6 4 －4 8 －2 －4 O x 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的． 一元二次方程的图象解法 方法举例：利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. （1）用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； （2）观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值); （3）确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3，x2≈2.5. 方法归纳 例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 小结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _____________; 不等式ax2+bx+c>0的解集是__________; 不等式ax2+bx+c<0的解集是_________. x1=-1， x2=3 x<-1或x>3 -1<x<3 4. 二次函数与一元二次不等式的关系（拓展） 合作探究 拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 1 (2,0) x=2 0 解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 1 O 无交点 无交点 全体实数 无解 无解 无解 无解 全体实数 1 O 1 O 要点归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 当堂练习 1、已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 B 2、二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 D 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 3、根据下列表格的对应值: 4、已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， 求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. $$