第13章 轴对称 单元检测题2024-2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第13章 轴对称 单元检测题（原卷版） 一．选择题 1．（2024•镜湖区校级开学）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　） A．50° B．65°或50° C．65° D．80° 3．（2024•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点A（2，1）向右平移3个单位长度得到点B，则与点B关于y轴对称的点B′的坐标为（　　） A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，﹣1） D．（5，1） 4．（2024•金牛区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，若AB＝5，AC＝4，则△AEF的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 第4题 第5题 第6题 第7题 5．（2024•白塔区校级开学）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D．①∠CAD＝∠BAD；②若CD＝2，则点D到AB的距离为2；③若∠B＝30°，则∠CDA＝∠CAB；④S△ABD＝2S△ACD；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024春•文山州期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．18 C．23 D．28 7．（2024•泾川县校级模拟）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 8．（2024•株洲模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（　　） A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC＝60° C．点D在线段AB的垂直平分线上 D．S△ABD：S△ABC＝1：2 9．（2024春•宝安区期末）在△ABC中，已知，BC＝6，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E，点F和点G分别是线段DE和BC边上的动点，则CF+FG的最小值为（　　） A． B．6 C． D．5 10．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 二．填空题 11．（2023秋•黑龙江期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣1）关于x轴对称，则m+n的值是 　 　． 12．（2024春•济宁期末）如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，且DE＝8，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 　 　． 13．（2024秋•长沙月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个三角形的顶角为　 　． 14．（2024春•南岸区校级月考）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 　 　． 15．（2024春•南昌期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 　 　． 第15题 第16题 第17题 16．（2023秋•新抚区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为　 　． 17．（2024•武汉模拟）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为B，P是射线BD上一动点，M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为 　 　． 18．（2024春•济宁期末）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC＝6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最小值为 　 　． 三．解答题（共8小题） 19．（2024•青秀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＞BC．（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，交BC于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）若∠C＝80°，∠B＝40°，求∠ADB的度数． 20．（2024春•衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形． 21．（2024春•大埔县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 22．（2024•高州市校级开学）如图所示，在正方形网格上有一个△ABC．（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）在MN上找一点P，使得PA+PB最小；（3）若网格上每个小正方形边长为1，求△ABC的面积． 23．（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是边AB上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点G是AC上一点，且∠CDG＝15°．（1）求证：AG＝BD；（2）若EF＝1，求AC的长． 24．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线交△ABC的边于点G，D，E，H，连接AD，AE，AP．（1）求∠DAE的度数；（2）求证：AP平分∠DAE． 25．（2023秋•宜州区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第13章 轴对称 单元检测题（解析版） 一．选择题（共10小题） 1．（2024•镜湖区校级开学）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．版权所有 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2024春•泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　） A．50° B．65°或50° C．65° D．80° 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°， 故选：C． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点A（2，1）向右平移3个单位长度得到点B，则与点B关于y轴对称的点B′的坐标为（　　） A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，﹣1） D．（5，1） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．版权所有 【分析】根据点的平移规律和关于y轴对称的点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：将点A（2，1）向右平移3个单位长度得到点B（5，1）， ∴与点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣5，1）， 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形的变化﹣平移，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2024•金牛区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，若AB＝5，AC＝4，则△AEF的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBO和△CFO等腰三角形，从而可得EB＝EO，FO＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可解答． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∵AB＝5，AC＝4， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝AE+EO+OF+AF ＝AE+EB+CF+AF ＝AB+AC ＝5+4 ＝9， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 5．（2024•白塔区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D．①∠CAD＝∠BAD；②若CD＝2，则点D到AB的距离为2；③若∠B＝30°，则∠CDA＝∠CAB；④S△ABD＝2S△ACD；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】根据角平分线的性质定理即可一一判断； 【解答】解：如图作DE⊥AB于E． 由作图可知，DA平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAB，故A正确， ∵DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE，故B正确， 若∠B＝30°，则∠CAB＝60°， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝60°， ∴∠CDA＝∠CAB，故C正确， 无法判断BD＝2CD，故D错误， 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．（2024春•文山州期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．18 C．23 D．28 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC，再求出BC＝2BC解答即可． 【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E， ∴DB＝DC，BE＝EC， ∵BE＝5， ∴BC＝10， ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝13， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝13+10＝23， 故选：C． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2024•泾川县校级模拟）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】等边三角形的性质．版权所有 【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°， 故选：A． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键． 8．（2024•株洲模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（　　） A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC＝60° C．点D在线段AB的垂直平分线上 D．S△ABD：S△ABC＝1：2 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；通过角度的计算得到∠BAC＝60°，∠CAD＝∠BAD＝30°，则可对B选项的结论正确；利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对C选项进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2CD，则BD＝2CD，所以BD：BC＝2：3，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，所以B选项的结论正确； ∵∠B＝∠BAD， ∴DA＝DB， ∴点D在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确； 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD， 而BD＝AD， ∴BD＝2CD， ∴BD：BC＝2：3， ∴S△ABD：S△ABC＝2：3，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 9．（2024春•宝安区期末）在△ABC中，已知，BC＝6，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E，点F和点G分别是线段DE和BC边上的动点，则CF+FG的最小值为（　　） A． B．6 C． D．5 【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】先根据线段的垂直平分线的性质和“垂线段最短”确定最小值，再根据勾股定理求解． 【解答】解：过A作AG⊥BC于点G，交DE于点F， ∵AC的垂直平分线DE， ∴CF+FG＝AF+FG≥AG， ∵AB＝AC， ∴BG＝BC＝3， ∴AG＝＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质和理解“垂线段最短”是解题的关键． 10．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【考点】轴对称﹣最短路线问题；平移的性质；平行线的性质．版权所有 【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，能够将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11．（2023秋•黑龙江期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣1）关于x轴对称，则m+n的值是 　3　． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵A（2，m）和B（n，﹣1）关于x轴对称， ∴n＝2，m＝1， ∴m+n＝2+1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12．（2024春•济宁期末）如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，且DE＝8，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 　16　． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】由角平分线可知∠BCD＝∠ACD，由平行可知∠BCD＝∠EDC，则∠ACD＝∠EDC，由等角对等边可知DE＝CE，然后根据AC＝2CE计算求解即可． 【解答】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于D， ∴∠BCD＝∠ACD， ∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠EDC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴DE＝CE＝8， ∵E是边AC中点， ∴AC＝2CE＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记以上性质和判定是解题的关键． 13．（2024秋•长沙月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个三角形的顶角为　50°或130°　． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【解答】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD＝40°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°﹣50°＝50°， ∴三角形的顶角为50°； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD＝40°，BD⊥AC， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝50°， ∵∠BAD+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝130° ∴三角形的顶角为130°， 故答案为：50°或130°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 14．（2024春•南岸区校级月考）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 　8或5　． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【解答】解：当腰为5时，另一腰也为5，则底为18﹣2×5＝8， ∵5+5＞8，符合题意， 当底为5时，腰为（18﹣5）÷2＝6.5，符合题意， ∴该三角形的底边长为8或5． 故答案为：8或5． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 15．（2024春•南昌期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 　30°或80°或52.5°或0°　． 【考点】含30度角的直角三角形；三角形内角和定理．版权所有 【分析】分四种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时；④当∠CAD＝3∠C时．根据“和谐三角形”的定义求解即可． 【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°． 当△ADC是“和谐三角形”时，分四种情况： ①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°； ②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°； ③当∠ADC＝3∠CAD时， ∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°， ∴∠CAD＝×150°＝37.5°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°． ④当∠CAD＝3∠C时，∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝0°． 综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°或0°． 故答案为：30°或80°或52.5°或0°． 【点评】本题考查了新定义，三角形内角和定理，理解“和谐三角形”的定义并且能够应用是解题的关键． 16．（2023秋•新抚区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为　80°　． 【考点】轴对称﹣最短路线问题．版权所有 【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案． 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝50°， ∴∠DAB＝130°， ∴∠HAA′＝50°， ∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝50°， ∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 17．（2024•武汉模拟）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为B，P是射线BD上一动点，M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为 　10　． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．版权所有 【分析】先根据轴对称的性质找出最短路径，再根据直角三角形的性质求解． 【解答】解：作点N关于BD的对称点E，过E作EM⊥AC于M，交BD于P， ∵BD⊥BC， ∴EP＝NP， ∴MP+NP＝MP+EP≥EM， 在等边△ABC中，有∠C＝60°，AC＝BC， ∴∠CEM＝30°， 设BE＝BN＝x， 则：2x+6＝2×7， 解得：x＝4， ∴AC＝BC＝CN+BN＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，掌握轴对称的性质及解直角三角形是解题的关键． 18．（2024春•济宁期末）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC＝6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最小值为 　11　． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】连接AD，AM，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，得出 MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AM， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，， ∴， 解得AD＝8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短为：CM+MD+CD＝AD+CD＝8+3＝11， 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 三．解答题（共8小题） 19．（2024•青秀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＞BC． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线，交BC于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若∠C＝80°，∠B＝40°，求∠ADB的度数． 【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得∠BAC，结合角平分线求得，再利用三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求． （2）∵∠C＝80°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝110°． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 20．（2024春•衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△ACD是等腰三角形． 【考点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACD度数，即可得到∠A＝∠ACD，继而得证． 【解答】证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵CD平分∠ACB， ∴． 又∵∠A＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD，即△ACD是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和，角平分线的定义，关键是根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACD度数解答． 21．（2024春•大埔县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，根据等边对等角可得∠A＝∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出△PBC的周长＝AB+BC，代入数据计算即可得解． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴AP＝BP， ∴∠A＝∠ABP＝35°， ∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°； （2）△PBC的周长＝BP+PC+BC， ＝AP+PC+BC， ＝AC+BC， ＝AB+BC， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴△PBC的周长＝5+3＝8cm． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 22．（2024•高州市校级开学）如图所示，在正方形网格上有一个△ABC． （1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）； （2）在MN上找一点P，使得PA+PB最小； （3）若网格上每个小正方形边长为1，求△ABC的面积． 【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．版权所有 【分析】（1）作出A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′即可； （2）连接CA′交MN于P，点P即为所求； （3）利用割补法求面积即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）连接CA′交MN于P，点P即为所求； （3）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短路径问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是边AB上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点G是AC上一点，且∠CDG＝15°． （1）求证：AG＝BD； （2）若EF＝1，求AC的长． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形性质得∠A＝∠B＝30°，CD⊥AB，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝60°，由此可得∠ADG＝∠AGD＝75°，进而得AG＝AD，据此可得出结论； （2）根据线段垂直平分线性质得DE＝BE，EF⊥BD，则∠EDB＝∠B＝30°，进而得∠CED＝60°，从而得△CDE为等边三角形，则CE＝DE＝BE，在Rt△BEF中根据EF＝1，∠B＝30°得BE＝4，由此得BC＝4，进而可得AC的长． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）＝30°， ∵CD是边AB上的中线， ∴CD⊥AB，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝60°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CDG＝15°， ∴∠ADG＝∠ADC﹣∠CDG＝75°， ∴∠AGD＝180°﹣（∠A+∠ADG）＝180°﹣（30°+75°）＝75°， ∴∠ADG＝∠AGD＝75°， ∴AG＝AD， ∴AG＝BD； （2）解：∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴DE＝BE，EF⊥BD， ∴∠EDB＝∠B＝30°， ∴∠CED＝∠EDB+∠B＝60°， ∵∠BCD＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CE＝DE， ∴CE＝BE， 在Rt△BEF中，EF＝1，∠B＝30°， ∴BE＝2EF＝4， ∴CE＝BE＝4， ∴BC＝CE+BE＝4， ∴AC＝BC＝4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键． 24．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线交△ABC的边于点G，D，E，H，连接AD，AE，AP． （1）求∠DAE的度数； （2）求证：AP平分∠DAE． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C＝80°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，求出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE＝80°，即可求出答案； （2）连接PB，PC，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义即可得到结论． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC边于点D、E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝60°； （2）证明：连接PB，PC， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC边于点D、E， ∴PB＝PA，PA＝PC， ∴PB＝PC， ∴∠PBD＝∠PCE， ∵PA＝PB，DA＝DB， ∴∠PAB＝∠PBA，∠DAB＝∠DBA， ∴∠PAD＝∠PBD， 同理∠PAE＝∠PCE， ∴∠PAE＝∠PAD， 即AP平分∠DAE． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 25．（2023秋•宜州区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．版权所有 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°，∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 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