3.1.1　函数的概念教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《函数的概念》教学设计 一、教学内容分析 1.背景分析 17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。诸如此类的问题都需要探索两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，因此，函数应用而生。“function”一词最早由德国数学家莱布尼兹在1692年使用，在我国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”。 随着对微积分的深入研究，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了，德国数学家狄利克雷较清楚地说明了函数的内涵。19世纪70年度以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表达，这就是本节学习的函数概念。 2.功能分析 通过对函数概念的学习，培养学生的数学抽象、数学运算素养，使学生体验从特殊到一般的研究方法，养成严谨的学习态度。 3.结构分析 本节课选自人教A版《普通高中教科书数学必修第一册》的第三章3.1.1节函数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的关系引出了函数。在初中已初步研究了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象。到了高中，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式、数列、三角函数、导数等知识都互相关联。函数的学习也是今后继续研究高等数学的基础。 二、学习者特征分析 学生在初中阶段已经对函数的概念有初步的认识，从对应的角度刻画函数。在高中阶段，已经学习了集合的相关知识，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，提供了知识基础。学生已经具备了一定的归纳、概括能力，但缺乏严谨的逻辑思维能力，对贴近生产生活的素材有浓厚的兴趣。 三、教学目标分析 1.通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应，了解构成函数的三要素，掌握函数相等的判定方法，会求一些简单函数的定义域、值域。 2.使学生经历函数概念的形成过程，函数概念的辨析过程，函数定义域的求解过程以及求函数值的过程，发展学生逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养。 3.通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间关系的重要数学模型，学会用集合来刻画函数，体验函数思想，了解函数的发展历史，激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生严谨的学习态度，体会辩证唯物主义思想。 四、教学重难点分析 重点：函数的概念，符号y=f(x)的理解 难点：用集合语言和对应关系刻画函数，符号y=f(x)的理解 五、教学方式设计 启发式教学为主，教师讲解为辅，借助多媒体，引导，探究，讲解，练习相结合。 六、教学过程设计 1.复习旧知，温故知新 问题1：我们在初中已经学习了函数，初中学习的函数的概念是什么，你能举出几个函数的具体例子吗？ 问题2：与是同一个函数吗？ 学生通过回忆初中学习的函数知识，能够说出初中所学的函数的概念，并能说出一次函数、反比例函数等特殊函数的例子。但无法判断与是否是同一函数。 设计意图：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么？要探明这一点，并据此进行教学。通过问题，激活学生的原有知识，推动学生的思维参与，通过回忆初中函数的概念以及用概念去判断是否是同一函数来培养学生的逻辑推理素养。从学生熟知的知识引入，使新旧知识建立联系。通过问题2，营造疑难情境，使学生产生认知冲突，原有的知识不够用，需要进一步学习函数的概念。 2.引导探索，形成概念 实例1：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时。 （1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t的（单位：h）的关系如何表示？自变量和应变量可以取哪些值？ （2）根据对应关系，这趟列车加速到后，运行1h就前进了，你认为这个说法对吗？ 实例2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。 （1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ （2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 实例3：下图1是北京市2016年某天的空气质量指数变化图。 图1北京市2016年某天的空气质量指数变化图 （1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数的值I？ （2）这里的I是t的函数吗？ 问题3：小组讨论，上述3个实例中的函数有哪些相同点和不同点？ 学生通过观察、思考，发现相同点是：3个函数都有一个对应关系，都可以用非空数集A、B表示自变量和应变量的取值范围，在A中的任意一个数x，按照对应关系，在B中都有唯一确定的数y和它对应。不同点是：非空数集A、B是不同的，对应关系也是不同的。 教师归纳学生的语言，师生共同得到函数的概念：一般的，设 A，B 是两个非空的实数集。如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称对应f：A→B 为集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A}叫做函数的值域。若 C＝{f（x）| x∈A}，则 CB。 问题4：根据定义，你能说说确定一个函数需要几个要素？ 学生在教师引导下，自然得出函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 问题5：实例1与实例2中的函数又相等的对应关系，它们是同一个函数吗？ 学生通过观察、思考，发现他们的定义域与值域不同，不是同一个函数。 教师介绍函数的发展史，函数符号y＝f（x）是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。 设计意图：在实例1中，学生用初中函数概念很顺利判断出S是 t 的函数后，用问题（2）让学生认识到变量是在一个范围内取值的，可以用集合来表示这个范围，从而为用集合语言刻画函数概念做好伏笔，更是让学生真实的感受到定义域的地位及重要性。通过实例2、3，使学生感受用集合表示定义域与值域的优越性，用3个实例归纳概括出函数的定义，明确函数的三要素。通过对比实例1和实例2得到相等函数的概念。通过函数发展的发展史，渗透数学文化与数学史。 3.深入理解，辨析概念 问题6：思考辨析：下列哪些是函数，如果是，写出其定义域、值域，如果不是，说明理由。 （1）；（2）y = 1；（3）；（4）； 问题7：回到开始的问题2，与是同一个函数吗？ 设计意图：通过4个问题，对函数概念进行正例与反例的辨析。概念的反例提供了最有利于辨别的信息，对概念认识的深化有非常重要的作用。通过学生比较、分析、概括，可以使概念的关键属性变得清晰。回到问题2的解答，使学生理解相等函数的概念。 4. 典例示范，巩固概念 例1：已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求的值； （3）当时，求的值。 设计意图：巩固学生对函数概念及其构成要素的理解学习概念的目的是应用，为了更好地运用概念，需要将概念具体化，通过具体问题的分析，为学生更好地应用概念解决问题奠定基础。 5.课堂小结，构建网络 问题8：本节课你有什么收获？ 学生有以下思考： （1）学习了函数的概念和函数的三要素，通过函数的三要素能判断相等函数。 （2）高中学习的函数与初中学习的函数不同，高中的函数定义更严谨。 （3）事物是不断发展变化的，要以发展的眼光看问题。 教师引导学生共同构建知识结构网络图，如图2 图2 函数的概念知识结构网络图 设计意图：数学学习是以学生已有知识和经验为基础，主动的、不断形成新的数学认知结构的过程。数学学习的结果是围绕关键概念建构起来的具有网络结构的知识。对函数概念的相关知识进行归纳、重组，建立函数概念的知识结构网络图，有利于学生建立新旧知识的联系，理解、迁移和应用函数概念解决问题。 6.分层作业，巩固知识 （1）巩固运用：教材第67页习题第1⁓3题。 （2）拓展思考：除了解析式，还能用哪些方法表示函数？ 设计意图：分层布置作业，面向全体学生，巩固所学知识，为后续研究函数的性质奠定基础。 七、板书设计 函数的概念 一、定义 三、相等函数 复习 二、函数的三要素 例1 课后作业 八、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$