3.2.1函数的单调性教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《函数的单调性》教学设计 1 教材分析 函数是人教A版高中数学必修一教材的主要内容.本节课的内容是人教A版（2019）数学必修第一册《函数的概念与性质》3.2函数的基本性质的一部分，它的“节引言”既总结3.1函数的概念及其表示所揭示的“函数是一种对应关系”，又引出本节对函数变化规律的研究，包含单调性与最大（小）值、奇偶性两个知识点. 此处，“节引言”除了发挥承上启下的作用外，还为学生呈现出函数图象，并采用认知性提示语“通过观察图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质？”说明了研究函数基本性质时应用的数学思想. 教材首先从学生熟悉的二次函数的数学情境引导学生用生活语言和文字语言对其进行描述，然后创设应如何用符号语言描述该变化的疑难情境，并结合二次函数对符号语言进行具体分析，进而抽象出一般函数单调性的概念.这节课将直接影响到学生对函数的进一步研究和学习，如函数的零点存在定理等. 概念教学重要的不是让学生知道函数单调性的概念，而是能让学生体会到概念形成的过程，认识概念的本质属性并能够用此概念严格证明一般函数的单调性. 2 学情分析 在学习本节课之前，学生已在初中阶段利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质、在函数的概念及其表示中学习了函数的三要素以及函数可以用来描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这些就为学生学习本节课奠定了良好的基础，是学生已有认知结构网络中可被提取出来的组块.另外，学习本节课时中学生处于高中的第一学期阶段，中学生仍处于由具体形象思维向抽象思维的过渡时期，特别是本节课要求学生将文字语言抽象为符号语言，这对学生的抽象概括能力要求较高，对学习过程会产生一定影响. 3 教学分析 3.1课程标准分析 《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）中对函数单调性内容的学习要求为，“借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性”、“理解它们的作用和实际意义.”此处的行为动词是“会”和“理解”，那就要求中学生能够根据函数图象描述其单调性的特征，在教师引导下理解函数单调性概念形成的过程，并能将其应用于现实问题的解决中. 3.2 教学目标分析 1.理解函数单调性的概念，掌握证明函数单调性的方法； 2.通过数学情境和现实情境让学生感知学习函数单调性，既是数学自身发展的需要也是现实需要，要做到导入自然; 3.通过学习函数单调性让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体的认知过程； 4.从学科核心素养角度来讲，培养学生数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 3.3 教学内容分析 《函数的单调性》是人教A版（2019）数学必修一第三章第3.2.1节内容.函数是描述客观世界中变量之间对应关系的一种模型，函数的性质是在其变化中揭示某种不变的规律.函数的单调性是在学生学习了描述函数变化的文字语言和函数的概念及其表示之后，需要学习的第一个函数性质.正因学生在初中阶段已学习过用文字语言描述函数的单调性，因此将其安排为函数基本性质的首要学习内容，还可为之后研究函数的最值和奇偶性提供研究思路和研究方法.函数单调性的研究还具有现实意义，例如物理学中的玻意耳定律便可通过此概念进行分析解释. 3.4 教学重难点分析 3.4.1 教学重点及突破策略 函数的单调性及对具体函数单调性的证明. 引导学生从初中阶段学习过的利用函数图象研究函数值随自变量的增大而增大（或减小）出发，为学生提供情境，思考如何将“增大（或减小）”抽象为符号语言.教师以问题串的形式、概念形成的步骤逐步引导学生展开相关的学习过程. 3.4.2 教学难点及突破策略 将函数值随自变量的增大而增大（或减小）的文字语言抽象为符号语言的过程，对于刚进入高中的中学生来说具有一定难度. 运用具有层次性的问题串启发学生和教师共同探究函数单调性的符号语言表达形式，采用学生熟悉的函数可能更有利于学生思考，同时要注重与学生的交流过程. 3.5 教学思路 通过呈现“上海市3.16-3.31新冠疫情本土新增人数折线图”的现实情境引出课题讨论一次函数、二次函数以及反比例函数图象的变化趋势思考如何判断、表达函数的增大（或减小）以及是否可以取特殊值归纳得出函数单调性的概念函数单调性的应用：利用概念严格证明一般函数的单调性，以此为明线给出“从特殊函数图象的变化趋势，抽象出‘增大（或减小）’的符号语言表达方式符号表示下定义”，并以此为暗线，体会数学概念的形成过程，掌握数学思想和方法，形成相应的技能. 四、教学过程 （一）问题引入，感知概念 实例 上海市在3月疫情爆发，下图是上海市3月16日-3月31日本土新增人数随时间的变化曲线，请你根据折线图谈谈新增人数的变化情况？ 预设：学生的关注点不同，如新增人数的最值，某两日的新增人数相同，某时间段新增人数的变化等.（若学生没有说出时间段，可追问） 图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性.【板书课题】 设计说明：从熟知的生活情境导入课题，了解上海市的疫情情况，直观感知本土新增人数的变化，自然引入函数的单调性. 问题1：绘制、、的图象，并与同桌讨论这些函数图 象的变化趋势. 预设：根据初中对一次函数、二次函数和反比例函数的学习，学生可以说出函数在不同区间上的变化趋势.有的学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，借此对其进行纠正. 设计说明：从特殊函数出发研究函数的变化趋势，注重由图象直观感知、生活语言——上升、下降到文字语言——增大、减小的转变.教师用几何画板为学生展示函数的变化趋势，强调函数的单调性是相对某区间而言的，属于函数的局部性质.为之后准确表述函数单调性概念做铺垫. （二）引导探索，生成概念 问题2：（1）观察刚刚的三个函数图象，你是如何判断出函数上升或下降的呢？ （2）如何用符号语言描述“函数值随着自变量的增大而增大（或减小）”呢？ 预设：通过观察函数曲线的变化，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）. 当时，或【板书】 设计说明：学生头脑中实现将文字语言抽象概括为符号语言. 问题3：（1）有“当时，或”就可说明函数的单调性了吗？ （2）可以取特殊值吗？（反例） （3）将图象某一区间放大，取A、B、C三点，你可以根据我们刚才得出的定义证明区间上函数的单调性吗？ （4）那区间上的单调性呢？ 预设：学生可能忘记之前研究二次函数和反比例函数时进行分区间讨论，可以回顾两个函数的图象，引导学生想到函数单调性是函数的局部性质.函数的定义域为，，.【板书】 学生根据图象（左）判断该函数是单调递增，但有学生发现该坐标轴没有定义单位长度（若没有发现，可追问） 设计说明：以具有层次性的启发性提示语对学生进行提问，引导学生准确概括函数单调性的定义，并能通过实例理解概念的内涵. （三）学以致用，理解感悟 通过反例我们已经知道，单纯通过图象的上升、下降已无法准确判断函数的单调性，那我们应怎样做才能严格证明函数的单调性呢？我听到有同学说我们已经给出函数单调性的定义，可以用定义进行证明.我们不妨用一个例题尝试一下. 例1：根据定义，研究的单调性.【板书】 预设：学生能够假设的取值范围和大小比较，但在比较和时会考虑到作差和作商两种方法，可通过追问的方式引导学生说出作商的缺点（分母不能为0）.作差后学生能够考虑到对值进行分类讨论. 设计说明：对照板书进行示范，强调变形的目的是得出因式，让学生提炼证明函数单调性的一般步骤：取值作差定号下结论【板书】.在此过程中还可以培养学生分类讨论的思想. 那函数的单调性在我们生活中有哪些应用呢？老师今天给大家介绍一个物理学上的玻意耳定律…… 例2：物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体， 当其体积减小时，压强将增大.试对此用函数的单调性证明. 预设：学生刚开始看到题目的时候有点懵，可能需要较长的时间理解题意.教师可以帮助学生分析玻意耳定律的公式：是一个以体积为自变量，压强为因变量的反比例函数.学生可能会认为定义域是和，提醒学生自变量是体积，不能取负值.根据例1总结的证明过程让学生自己练习. 设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力以及数学建模的学科核心素养. 练习：绘制函数的图象，并根据定义证明其在区间(1,+∞)上是增函数. 设计说明：巩固函数单调性的证明过程，请两位学生板演，然后由其他学生完善步骤，最后教师通过PPT展示关键步骤. （四）回顾反思，深化认识 课堂小结： 设计说明：引导学生回顾课堂探究过程，对函数单调性的描述由生活语言到文字语言再抽象到符号语言.前两种语言是已存在于学生认知结构中的，可通过观察图象给出，符号语言是这节课的学习重点，需要经严格证明才能得到.在这个学习过程中用到了数形结合和分类讨论的数学思想. 类比初中二次函数的学习过程，思考函数还可能有哪些性质？（最值，对称） （五）布置作业 课堂作业：完成课本P86习题3.2第3题. （六）板书设计 函数的单调性 一、定义 一般地，设函数的定义域为， 例1： 区间：如果，当 证明：对于，且， 时，都有（或 则 ），那么就称函数 （问题3（3）的图象绘制）= 在区间上单调递增（减）. 由，得. 特别地，当函数在它的定义 ∴①当时，，于是 域上单调递增（减）时，我们就称 ，即 它是增（减）函数. ②当时，，于是 二、证明函数单调性的一般步骤 ，即 取值作差定号下结论 学科网（北京）股份有限公司 $$