4.2指数函数教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019） 必修第一册

《指数函数》第一课时 教学设计 1、 教材分析 （1） 内容分布 指数函数内容位于2019年人教A版数学教材必修第一册第四章第二节。本单元包括指数函数的概念、图象和性质，共2课时，第1课时的主要内容是指数函数的概念，第2课时的主要内容是指数函数的图象和性质。本节教学内容为第1课时指数函数的概念。 （2） 内容解析 本节是再函数的概念和性质、幂函数、指数及其运算性质的基础上，进一步研究指数函数的概念、图象和性质。指数函数作为基本初等函数之一，是函数内容的重要组成部分；是对数函数、等比数列、概率统计、导数等高中数学内容的基础，其思想方法与其他数学内容还有紧密的联系；同时作为重要的函数模型还有广泛的应用，又是分析和解决大量数学问题和实际问题的重要工具。 指数函数是一类具体的函数，有了研究幂函数的经验，便可以按研究一个函数的基本方法去研究指数函数的主要内容。指数函数的概念体现了指数函数变量间对应关系的本质，是研究其图象和性质的基础。指数函数的概念教学应该在函数概念的基础上，重点揭示指数增长或衰减的规律：在自变量增加1个单位，相应的函数值之比为常数，这反映了指数函数变化规律的特征。在教学时要引导学生通过实例抽象概括出这个特点。 在指数函数中，教科书通过表格、图象，学生能直观地感受指数函数地变化规律。教科书以两地景区游客流量变化的问题为例，首先利用表格中的数据反映了游客人次的增长变化。再通过图象，A景区呈现线性增长，B景区呈现非线性增长。然后为了定量刻画变化规律，教科书引导学生通过减法和除法发现数据中蕴含的规律，一种变化的本质是相邻两年的增量不变，另一种变化的本质是相邻两年的增长率不变。这两种规律分别是线性增长和指数增长，将指数函数与一次函数直线增长的进行对比，引入指数函数，突出指数函数爆炸性增长的特点，体现学习指数函数的必要性。再以碳14的衰减的问题为例，介绍指数函数衰减的特点，以帮助学生更好地把握指数函数的变化规律。 2、 学情分析 （1） 已有基础 学生已经在第三章中学习过函数的概念和性质，并且已经学习过幂函数，体会了“概念—图象—性质”的研究具体函数的一般思路。在上一节中学习了指数，已将指数的范围扩展到全体实数。 （2） 能力发展 通过具体实例引入，引导学生从实际情境中抽象出指数函数，培养分析、归纳问题的能力，提升数学抽象素养。 （3） 数学核心素养 提升数学抽象的能力，体会数形结合的思想方法，渗透直观想象的素养。 3、 教学目标 （1） 目标 1、 通过具体的两个实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 2、 通过对指数函数概念的研究，学生能够从实际问题中通过观察、数学运算、归纳、数形结合等方法抽象出数学概念，提升数学抽象和直观想象素养。 （2） 目标解析 1、 能结合教材中游客增长和碳14衰减的问题，通过运算发现其中具体的增长和衰减规律，体会实际问题中的变量间的关系。从实例中知道指数函数的有关特征，知道指数函数的含义和表示，能够从具体情境中辨认出指数函数，并能阐述出指数函数与幂函数之间的区别，清楚其定义域和底数a的取值范围。 2、 通过具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程中，提升数学抽象素养。借助图象观察函数变化趋势，通过对比一次函数发现指数函数爆炸性增长的特点，体会数形结合的数学思想方法。 4、 重、难点 抽象、概括指数函数的概念是本节课的重点和难点。因为学生需要通过观察、分析、探究等一系列的思维活动，由具体的问题和图象进行归纳、演绎，并通过抽象概括得出其本质，从而得到指数函数的概念，所以在这个过程中学生可能会遇到困难。 在实例1中不仅要能想到将游客人次的变化用图象直观表示，还要能结合图象对已知数据进行运算后发现变化规律，并能根据实例1和实例2得到的两个解析式概括出统一的函数关系式。这些对学生的思维能力要求较高。 所以在教学中，教师要给学生探索和发现的机会，给予学生恰当的指导。当学生不能从实例1的数据中发现游客人次的变化规律时，可引导学生先根据已知数据作出图象进行观察，然后启发学生对数据进行运算，通过运算得到每年与上一年旅游人次的比例为常数，从而结合图象发现变化规律的本质。在这里，对数据进行哪些运算才有利于发现规律，是学生已有知识经验中缺乏的，教学中需要引导学生注意，并对“增加量”“增长率”的作用的强调。 5、 教学设计 （1） 问题驱动，情境导入 实例1：请阅读下面的信息，回答问题。 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，B地则取消了景区门票。表1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次。 时间/年 A景区 B景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 问题1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 学生活动预测：让学生先从表格中获得一些感性的认识，学生可能会发现：两地的游客每年都在增加，A景区增加的速度比较均衡，B景区的游客增加速度比A景区要快等，然后引导学生对定量刻画数据变化规律的思考。 追问：（1）能否更加直观地呈现这些数据？ 学生活动预测：在函数的三种表示中，图象法是最直观的，学生不难想到。 追问：（2）根据图象并结合增加量，说明两地游客人次的变化情况。 教师活动：教师可借助GGB画出散点图，用图象直观呈现数据的变化规律。根据图象学生可发现，A景区的散点图基本呈一条直线，可以用一次函数模型来刻画（要多问一句，为什么要用一次函数刻画它？仅仅是因为函数图象呈一条直线吗？更重要的是它们的增加量为同一个常数，符号一次函数的特点）；B景区的散点图是一条曲线，这里比较难确定，学生可能会认为是二次函数，可以让学生先尝试写出二次函数的解析式，再发现其余点不符合二次函数解析式。然后教师再引导学生对数据进行定量分析。图 2 B景区散点图 图 1 A景区散点图 追问：（3）我们发现，用“增加量”不能刻画B景区游客人次的变化规律，能不能换一个量来刻画？ 学生活动预测：学生或许想不到利用“增长率”，教师可适当地介绍“增长率”。 追问：（4）在常见地一些数据统计中，比如，国民收入、经济增长、工业产量等，除了考虑增加量外，还会进一步分析增加的速度，即增长率。从2001年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？可以借助计算器计算。 学生活动预测：学生通过运算能够得到，B景区游客人次年增长率为常数，进而将其用函数来描述。 教师活动：教师在黑板上利用数学符号语言表示出得到这个等式的过程。设经过年后游客人次为2001年的倍，则 图 3 函数图象 【设计意图】选择这一实际情境，一是基于培养学生数学阅读、信息表征能力以及了解国家经济水平的现状；二是引导学生对数据作出定性和定量的分析，这是数学建模的第一步；三是为了通过该实例的解决，回答“指数函数是怎样的函数模型”这一问题。 实例2：展示良渚遗址的图片，作简单介绍。图 5 良渚遗址 图 4 良渚遗址 https://v.qq.com/x/page/v0895vyehgq.html（有关良渚遗址的视频，在课程结束后可观看）图 7 良渚遗址出土的玉琮 图 6 良渚遗址出土文物 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现。这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑。考古学家推测出古城存在时期为公元前3300年—2300年。你知道考古学家是通过什么来测定遗址的年代吗？ 补充课外知识：在考古界通过碳14含量来测定生物样本的年代已经是一种成熟的技术手段。因为碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率）。 追问：（1）若衰减率为p，能否刻画出生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系吗？ 学生活动预测：学生能根据已知条件，设死亡生物体内碳14含量为y，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，则死亡n年后，生物体内碳14含量为。 追问：（2）科学家发现，当生物死后，它机体内原有的碳14含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据半衰期的时间，你能确定出p的值吗？ 学生活动预测：学生能够根据已知条件得出，生物死亡5730年后体内的碳14含量为，则，可求出，从而。在这个问题中，生物死亡时间x与碳14含量y之间的函数解析式为。 追问：（3）在这个函数中，x的取值范围是什么？ 学生活动预测：学生能够根据x的实际含义知道，。 教师可利用GGB画出函数图象。 课外知识补充：国家文物局指出:良渚遗址群将成为实证中华五千年文明史的圣地。2012年良渚遗址被列入《中国世界文化遗产预备名单》。2019年“良渚古城遗址”申报世界文化遗产成功，自此中国世界遗产总数位居世界第一。目前，在杭州开发了开放了良渚博物院和美丽州公园，大家有机会要去参观一下，亲身感受中华五千年的文明。 【设计意图】通过碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准备。同时向学生普及课外知识，进行课程思政教育，增强国家文化自信！ （2） 概念生成，辨析探究 教师提问：（1）通过以上两个实例的分析，从游客人次增长和碳14衰减的图象看，它们的变化有什么共同特征？ 教师提问：（2）我们得到了两个函数，。它们有什么共同特征？ 学生活动预测：学生能通过函数图象发现指数增长和衰减的特点，并通过解析式进行归纳概括出指数函数的特点，抽象出指数函数的定义。在这个过程中学生可能会联想到幂函数，这时教师可将幂函数当作先行组织者，让学生自己总结出二者的区别，并形成指数函数的定义。 教师提问：（3）指数函数其中的底数a的范围是什么？ 学生活动预测：学生也许不能一下子准确的说出指数函数底数a的取值范围，因此教师要进行引导。当a=0时，会出现什么情况？当a<0时，又会出现什么情况？通过共同分析得出指数函数底数a的取值范围。 【设计意图】通过分析、比较两个实例，概括出它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属性，得出指数函数的概念。 （3） 例题示范，概念运用 例1：已知指数函数 【设计意图】通过求函数解析式，并根据函数解析式求出不同函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念。 练习1：判断下列函数是否为指数函数 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 【设计意图】通过辨析，呈现正例和反例促进学生对指数函数概念的深刻理解。 练习2：已知函数， ,求函数解析式。 【设计意图】利用函数的不同表达形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进一步明确概念，学会表示指数函数。 （4） 变式训练，巩固概念 例2：（1）在实例1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A景区的门票价格为150元，比较15年间A,B两地旅游收入变化的情况。 （2）在实例2中，某生物死亡后，过了10000年，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 【设计意图】在引入概念的两个实例的基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从问题出发又回到问题，从而巩固对概念的理解，体现出课程的完整性。 练习3：设一位学生原有的知识含量为1,若该学生每天可以基于前一天的知识量增长1%，试求出一年后（365天）该学生的知识量。若该学生每天基于前一天的知识量下降1%，试求出一年后（365天）该学生的知识量。 【设计意图】贴近学生的实际生活创设数学问题，鼓励学生利用学习的知识去解决，不仅使学生熟悉了不同指数增长的函数模型，同时也利用指数函数的增长和衰退来启迪学生每天都要有进步！ （5） 自主归纳，升华概念 抽象、概括 函数模型 指数增长和指数衰减 指数函数的概念 两个实例 体会 数学建模 【设计意图】通过让学生自主归纳，反思本节课的学习内容，能够更好的明晰指数函数概念的探究过程，体会其中的数学抽象素养、数学建模思想和数形结合的思想方法。 6、 板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$