2.2基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第一课时 基本不等式 复习回顾 重要不等式,当且仅当时,等号成立. 如果用分别代替上式中的可得 当且仅当时,等号成立. 新知讲解——基本不等式 基本不等式:,当且仅当时,等号成立. (1)的算数平均数,叫做正数的几何平均数; (2)代数意义:两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数. ②不等式揭示的是积与和的齐次关系; ①不等式成立的前提是都是正实数; ③联系重要不等式,变形得到不等式链 新知讲解——基本不等式的证明 法一作差法 法二分析法 要证 只要证 要证②,只要证 要证③,只要证 要证④,只要证 ① 2 ② 2 ③ ④ ⑤ 新知讲解——基本不等式 观察 探究 如图,是圆的直径,点是上一点, 过点垂直于的弦, 连接,.你能利用这个图形,得出基本 不等式的几何解释吗? (3)几何意义:圆的半弦长不大于半径长. 典例分析 √ 例1.(1)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) √ (2)若实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) 典例分析 这里注意需要根据题目需要调整为或强调结构把握. 探究认识——利用基本不等式求最值 法则:一正二定三相等 倒数结构会出现积定值,积为定值时,根据基本不等式的变形:可以求出和的最小值. 探究认识——利用基本不等式求最值 变式1. 已知,求的最小值. 法一:消元代入,回归探究. 当且仅当,即=2时,等号成立. 法一:直接使用基本不等式. 对变形,得到, 当且仅当,即=2,=1时,等号成立. 帮助学生分清在具体问题中使用基本不等式时,和 分别指什么. 变式2. 已知,求的最大值. 探究认识——利用基本不等式求最值 例3. 已知都是正数,求证: (1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值; (2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 探究认识——最值定理 ①积定和最小,和定积最大.(两个常用变形:) ②对目标式的变形要向构造积定值或者和定值靠拢. 典例分析——基本不等式求最值(配凑) 例4. 已知,求的最小值. 典例分析——基本不等式求最值(配凑) 训练4.(1),求的最小值. 法一:构造完全平方公式 当且仅当,即=2时,等号成立. 法二:利用平方差公式 典例分析——基本不等式求最值(配凑) 训练4.(2),求的最大值. 法一:二次函数 法二: 法三:令则已知求的最大值. 经验:动积结构不动和,动分子不动分母. 课堂小结 1.基本不等式:, 当且仅当时,等号成立. 的算数平均数,叫做正数的几何平均数; (2)不等式链:叫做正数的平方平均数. 2.利用基本不等式求最值:积定和最小,和定积最大. 两个常用变形:(1);(2) 关键是通过观察式子的结构特点,去找到或者构造出“积定值”与“和定值”. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第二课时 基本不等式的应用 1.基本不等式:,当且仅当时,等号成立. 不等式链: 2.利用基本不等式求最值 (1)两个常用变形:①(积定和最小);②(和定积最大). (2)常考题型:①配凑法求最值;②消元法求最值. 复习回顾 典例分析——基本不等式求最值(换元) 例2. (1)已知 (2),的最小值为_. 典例分析——基本不等式求最值(“1”的代换) 引例.(作业本P214第13题)已知,你能比较出4与的大小吗? 从这个例子出发引出结构上,“-1”和“+1”相乘可以出现常数和倒数结构,符合基本不等式使用的条件,积定和最小. 典例分析——基本不等式求最值(“1”的代换) 例2.(作业本P214第10题)已知都是正数. (1)若,求的最大值; (2)若,求的最小值. “-1”次的和式与“+1”次的和式相乘,得到常数之外,出现了共存的倒数结构,符合基本不等式使用条件,积定求和的最小值. 在引例的基础上,通过错法(即通过中间量xy,连用两次基本不等式)的呈现,加深同学们对于“1”的代换的使用,从运算上认识和记住这种处理方式. 典例分析——基本不等式求最值(“1”的代换) 训练2.已知都是正数. (1)若,则的最小值为_; (2)若,则的最小值为_. 25 借助引例,作两个变式,谁是定值要求谁不是重点,关键在于结构,(2)问中需要将式子作一定的变形,能够回归到引例中的问题. 典例分析——基本不等式求最值(“1”的代换) *变式训练2.已知都是正数. (1)若,则的最小值为_; (2)若,则取得最小值时,的值是_. 是“1”的代换问题的加强版变式训练,需要发觉结构特点,必要时用到换元的方法. 例3.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比公园所占面积关于的表达式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米, 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 思维升华 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造函数模型,利用基本不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)结论,回答实际问题. 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 训练3.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的 矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角 线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=_米时, 矩形花坛AMPN的面积最小. 4 例4.(教材P48复习巩固第3题)某公司建造一间背面靠墙的房屋,地面面积为, 房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的 费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低造价 是多少? 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 例5.(教材P48综合运用第5题)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费(单位:万元)与仓库到车站的距离(单位:km)成反比,每月库存货物费(单位:万元)与成正比,若在距离车站10km处建仓库,则和分别为2万元和8万元. 这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小? 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 典例分析——利用基本不等式解决实际问题 *例6.(教材P49拓广探索第8题)如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB′交DC于点P,设AB=x. (1)用x表示DP,并求出x的取值范围; (2)求面积的最大值及此时的值. 解: 所以面积的最大值为. 课堂小结 1.利用基本不等式求最值 (1)换元法求最值;(2)“1”的代换. 2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造函数模型,利用基本不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)结论,回答实际问题. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第三课时 基本不等式的综合应用 复习回顾 已知实数,且求的最小值. 因为x>0,y>0,x+8y=xy, 典例分析——基本不等式求最值(消元法——单变量分离消元) 例1.(2)已知实数且求的最小值. 典例分析——基本不等式求最值(消元法——单变量分离消元) 训练1.已知实数且则的最小值是( ) A. 4 B. 5 C.7 D.9 典例分析——基本不等式求最值(整体消元法) 例2.已知实数且求的最小值. 典例分析——基本不等式求最值(整体消元法) 训练2.已知实数求的最小值. 典例分析——利用基本不等式证明不等式 例3.(创新设计P41例1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证: (1);(2). 典例分析——利用基本不等式证明不等式 例3.(创新设计P41例1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证: (1);(2). (2)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1, 上述三个不等式两边均为正,分别相乘, 典例分析——利用基本不等式证明不等式 训练3.(创新设计P41例1)已知a,b,c为不全相等的正实数. 求证:. 因为a>0,b>0,c>0, 典例分析——利用基本不等式求参数范围 例4.已知恒成立,则的最大值是( ) A. 10 B.9 C.8 D.7 典例分析——基本不等式求最值(整体消元法) 训练1.已知实数且则的最小值是( ) A. 4 B. 5 C.7 D.9 典例分析——基本不等式求最值(整体消元法) 训练1.已知实数且则的最小值是( ) A. 4 B. 5 C.7 D.9 又-a=(-)>0,即>a,排除D项. 法二 取a=2,b=8,则=4,=5,所以a<<<b. A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 法一 ∵0<a<b,∴a<<b,排除A,C两项. 所以0<a<,<b<1,排除D. 又>=,故a2+b2>,知排除A. 由a2+b2>2ab,所以a2+b2最大. A. B.a2+b2 C.2ab D.a 由题设知0<a<b,且a+b=1, 探究 已知x>0,求x+的最小值. (1)本题中求最小值的“代数式”有什么特点? (2)是否可以利用基本不等式求x+的最小值? (3)是否必须说明“当且仅当x=时,等号成立”? 由a2x=4 000,得a=. 则y=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20) +160=80+4 160(x>1). (2)80+4 160≥80 2+4 160 =1 600+4 160=5 760. 当且仅当2=,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 设BM=x(x>0),则由DC∥AM得=,解得ND=, ∴矩形AMPN的面积为S=(4+x)=24+3x+≥24+2=48,当且仅当3x=,即x=4时等号成立. 所以x+2y的最小值为18. 所以+=1,所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18, 当且仅当即时等号成立. 则+=y+3+=y-3++6≥2+6=8, 当且仅当y=4,x=时,等号成立. 故+的最小值为8. ∵实数x,y满足xy+3x=3, ∴x=,∴0<<,解得y>3. 所以x+2y=x+=x+=x+-1=(x+1)+-2 ≥2-2=4. 当且仅当x+1=,即x=2时等号成立. 所以x+2y的最小值为4. 由x+2y+2xy=8,可知y=, 因为x>0,y>0,所以0<x<8, 解:(1)++=++ =3+++≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 得≥ =8, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 故≥8. 同理-1≥,-1≥. 所以-1==≥, 即a+b+c≥++. 由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立, 所以a+b+c>++. 所以a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2. 所以2(a+b+c)≥2(++), 只需m≤(2a+b)恒成立, 又(2a+b)=4+++1≥5+4=9, 当且仅当a=b时,等号成立,所以m≤9. 故实数m的最大值为9. 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使+≥恒成立, $$