2.1 等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第一课时　不等关系与不等式 新知讲解 以下生活中常见的标志你都认识吗？你能用数学语言表示它们吗？ 1.识别实际问题中的不等关系； 2.用不等式表示的步骤：①设变量；②列不等关系. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不超过 符号语言 >  <  ≥ ≤ 典型例题 √ 例1.(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（ ） A.80＋20n≥300 B.80＋20n≤300 C.80＋20(n－1)≤300 D.80＋20(n－1)≥300 (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96m2，靠墙的一边长为xm.试用不等式(组)表示其中的不等关系是______________. 新知讲解 关于实数的大小比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么; 如果等于，那么； 如果是负数，那么 即;; 作差法 要比较两个实数的大 小，可以转化为比较 它们的差与0的大小. 典型例题 例2. 比较下列各组中两个代数式的大小 （1）与； （2）与； （3）与 情境探究 当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题(1)你有什么发现？ 一般地，a,b，有a2＋b2≥2ab.当且仅当时，等号成立. 从这个题开始，渗透取等条件及其书写格式，为后面学习基本不等式作铺垫。 典例分析 例3.已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. 典例分析 训练3.已知a>0，求证：. 这道题目的讲解过程不错，讲了作差同分，请学生回答了作差构造完全平方式，还讲了分析法的基本格式，另外提到了马上要学习的基本不等式的方法. 典例分析 训练4.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因. 多加一道题，对从数学问题中抽象中不等关系和不等式有更深的体会. 课堂小结 2.关于实数大小的基本事实： ; ; 1.从实际问题中抽象出不等关系，表示不等式（设变量）； 作差法 要比较（证明）两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第二课时　等式性质与不等式性质 新知讲解 类比等式的基本性质，你能猜想到不等式 的基本性质并加以证明吗？ 不等式的性质 性质1 如果,那么;如果,那么即 性质2 如果,,那么 即 , 性质3 如果,那么 *性质4 如果,,那么 如果,,那么 不等式两边同乘以一个整数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 新知讲解 不等式的性质 性质1 如果,那么;如果,那么即 性质2 如果,,那么 即, 性质3 如果,那么 *性质4 如果,,那么 如果,,那么 性质5 如果,,那么 性质6 如果,,那么 性质7 如果,那么. 实数大小的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据。 可加性 可乘性 同向可加性 同向可乘性 典型例题——运用性质证明不等式 例1.已知，求证 ①作差法； ②利用不等式的性质等价变形. 典型例题——运用性质证明不等式 训练1.（教材P43综合运用7）已知，求证 典型例题——性质运用 √ √ ①③ 能否为该不等式创建一个现实情境? (教材P43综合运用10) 典型例题——性质运用 训练2.(1)已知a＋b<0，且a>0，则（ ） A.a2<－ab<b2 B.b2<－ab<a2 C.a2<b2<－ab D.－ab<b2<a2 √ √ √ 典型例题——利用不等式的性质求范围 例3.已知1<a<4，2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围. 变式1.在本例条件下，求的取值范围. 典型例题——利用不等式的性质求范围 变式2.已知1<2a＋3b<4，2<a－b<8，试求的取值范围. 典型例题——利用不等式的性质求范围 课堂小结 不等式的性质 性质1 如果,那么;如果,那么即 性质2 如果,,那么 即, 性质3 如果,那么 *性质4 如果,,那么 如果,,那么 性质5 如果,,那么 *性质6 如果,,那么 性质7 如果,那么. 1.利用不等式的性质求取值范围，要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系（整体思想），最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 探究 如图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的. 你能从图中发现哪些相等关系和不等关系？ 等式有以下基本性质： 性质1如果a＝b，那么b＝a； 性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3如果a＝b，那么a＋c＝b＋c； 性质4如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5如果a＝b，c≠0，那么＝. 例2.(1)(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有（ ） A.|a|>|b| B.a<b C.a＋b<ab D.a3>b3 (2)给出下列命题： ①若a>b，>，则a>0，b<0；②若a>b，c>d，则ac>bd； ③对于正数a，b，m，若a<b，则<. 其中是真命题的序号是________. (2) (多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题错误的是（ ） A.若a<b，c<d，则ac<bd B.若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C.若a>b，c>d，则a－d>b－c D.若a>b，c>d>0，则> ∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π. 训练4.已知－<β<α<，求2α－β的取值范围. ∵－<α<，－<β<，∴－<－β<， $$