24.4 弧长和扇形面积 课件 2024-2025学年数学人教版九年级上册

24.4　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 知识导航 1.弧长公式 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为: l=  　. 注意:①在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180在公式中表示倍分关系,都不带单位. ②公式中出现的三个量l,n,R,只要已知其中任意两个量,就能求出第三个量. 2.扇形面积 在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为:S扇形=  　. 比较扇形面积公式与弧长公式,可以用弧长表示扇形面积:S扇形= 　 ,其中l为扇形的弧长,R为半径. lR 典例导思 题型一 有关弧长的计算 例1 (1)已知扇形的弧长为2π,圆心角为60°,则它的半径为　 　; (2)一个扇形的弧长是11π cm,半径是18 cm,则此扇形的圆心角是　 　度; 6 110 (3)(2023·青岛)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为　 　. π 跟踪训练 1.如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时,的长是 (　　) A.π B.π C.π D.π B 2.已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为　 　. 90° 3.如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC. (1)求证:AE=ED; (1)证明:∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°, 即OC⊥AD,∴AE=ED. (2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长. (2)解:∵OC⊥AD,∴ = , ∴∠ABC=∠CBD=36°, ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°, ∴ ==2π . 题型二 有关扇形面积的计算 例2 (1)如图1,已知点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,半径AO=2,则扇形COD的面积为  　; (2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=2,以点C为圆心,BC为半径作圆弧交AC于点D,交AB于点E,则图中阴影部分的面积为  　; + (3)如图3,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是上的一点,过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若点D为OA的中点,则图中阴影部分的面积为　 　. 2π 4.(1)若扇形面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为　 　; (2)一个扇形的弧长是10π cm,面积是60π cm2,则此扇形的圆心角的度数为　 　. 跟踪训练 3 150° 5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,∠BAD的平分线交BC于点O,以点O为圆心、OA长为半径画弧,这条弧恰好经过点D,则图中阴影部分的面积为　 　. 2π-4 6.如图,在Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°, BO=4 cm,将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O,点C'在BO的延长线上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为　 　cm2.(结果保留π) 4π $$第2课时　圆锥的侧面积 和全面积 知识导航 1.圆锥的相关概念 圆锥是由　 　和　 　围成的几何体,连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的　 　. 注意:(1)区分母线和圆锥的高,圆锥的高是从圆锥顶点到圆锥底面的垂直距离. 一个底面 一个侧面 母线 (2)圆锥与其展开图(扇形)的对应关系: ①圆锥的顶点→扇形的　 　. ②圆锥的母线→扇形的　 　. ③圆锥的侧面积→扇形的　 　. ④圆锥的底面周长→扇形的　 　. 圆心 半径 面积 弧长 2.圆锥的侧面积和全面积 设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r, 则圆锥的侧面积:S圆锥侧=　 　, 圆锥的全面积:S圆锥全=S侧+S底=　 　. π rl π rl+π r2 归纳:如右图, ①圆锥侧面积公式:S圆锥侧=πrl; ②圆锥全面积(含底面)公式: S圆锥全=πr(l+r); ③h2+r2=l2; ④l'=2πr; ⑤θ=×360°.(θ为扇形展开图的圆心角) 典例导思 题型一 圆锥的侧面展开图 例1 (1)若圆锥的母线长为5 cm,底面半径为2 cm,则这个圆锥的侧面积为 (　 　) A.10 cm2 B.10π cm2 C.20 cm2 D.20π cm2 B (2)如图1,圆锥的侧面积为15π,底面半径为3,则该圆锥的高AO为 (　 　) A.3 　　　　B.4 C.5 　　　　D.15 B (3)如图2,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,恰好围成一个圆锥模型,如果圆的半径为r,扇形的半径为R,那么r∶R=　 　; 1∶4 (4)如图3,圆锥的侧面展开得到扇形,此扇形的半径CA=6,圆心角∠ACB=120°,则此圆锥高OC的长度是　 　. [方法点拨] 圆锥的侧面展开图是扇形,满足以下三个关系:圆锥的母线长=扇形的半径;圆锥的底面周长=扇形的弧长;圆锥的侧面积=扇形的面积. 4 跟踪训练 1.(1)一个圆锥的底面圆半径为6 cm,圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°,则该圆锥的母线长为　 　cm; (2)用一块弧长16π cm的扇形铁片做一个高为6 cm的圆锥形工件侧面(接缝忽略不计),则这个扇形铁片的面积为　 　cm2. 9 80π 2.(2023·湖南)如图,将半径为15 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的高是　 　. 12 cm 题型二 最短距离问题 例2 如图所示,已知圆锥底面半径r=10 cm,母线长l=40 cm. (1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积; 解:(1)=2π×10,解得n=90, ∴它的侧面展开图的圆心角为90°. 圆锥的表面积为π×r2+π rl =π×102+π×10×40=500π(cm2). (2)若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,请你动脑筋想一想它所走的最短路线的长度是多少?为什么? (2)如答案图,由圆锥的侧面展开图可知,甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长. 在Rt△ASB中,SA=40 cm, SB =SA'= 20 cm, ∴AB ==20 cm. ∴甲虫所走的最短路线的长度是20 cm. [方法点拨] 空间最短距离问题的处理方式是转化空间图形为平面几何图形,然后利用两点之间线段最短来解决,这种转化思想是学习几何的精髓. 跟踪训练 3.如图,圆锥的底面圆半径为1 cm,母线长为3 cm.底面圆周上有一蚂蚁位于点A处,它从点A出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径的长. 解:把圆锥沿过点A的母线展成如答案图所示的扇形,连接AA',过点O作OD⊥AA',交AA'于点C,交于点D,则蚂蚁运动的最短路径为线段AA'. ∵圆锥的底面圆半径为1 cm,母线长为3 cm, ∴OA=OA'=3 cm, 的长为2π cm. 设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n°, 则2π=, 解得n=120,即∠AOA'=120°. ∵OA=OA',OD⊥AA',∴∠AOD=60°,AA'=2AC, ∴∠OAC=30°,∴OC=OA= cm,AC= OA= cm, ∴AA'=2AC=3cm, 即蚂蚁运动的最短路程是3cm. $$